1、第二章 函数的概念与基本初等函数()第五节 指数与指数函数栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择题、填空题，中档难度.1.逻辑推理2.数学运算3.直观想象 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1根式(1)概念：式子n a叫做 1
2、_，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数(2)性质：(n a)na(a 使 n a有意义)；当 n 为奇数时，n ana，当 n 为偶数时，n an|a|a，a0，a，a0.根式2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：amn 2 _(a0，m，nN*，且 n1)负分数指数幂：amn 3 _ 4 _(a0，m，nN*，且 n1)0 的正分数指数幂等于 5 _，0 的负分数指数幂无意义n am1amn1n am0(2)有理数指数幂的性质aras 6 _(a0，r，sQ)，(ar)s 7 _(a0，r，sQ)，(ab)r 8 _(a0，b0，rQ)3指数函数及其性质(1)概念：函数 yax(
3、a0 且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数arsarsarbr(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域9 _(0，)a10a1性质过定点 10 _，即当 x0 时，y1当 x0 时，11 _；当 x0 时，12 _当 x0 时，13 _；当 x0 时，14 _在(，)上 是 15_在(，)上 是 16_(0，1)y10y1y10y1增函数减函数常用结论1指数函数的单调性仅与底数 a 的取值有关2画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a.3.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1
4、)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx 的图象，底数a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大基础自测一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)4（4）44.()(2)(1)24(1)12 1.()(3)函数 y2x1 是指数函数()(4)函数 yax21(a1)的值域是(0，)()解析：(1)由于4（4）44 444，故(1)错(2)(1)244（1）21，故(2)错(3)由于指数函数解析式为 yax(a0，且 a1)，故 y2x1 不是指数函数，故(3
5、)错(4)由于 x211，又 a1，ax21a.故 yax21(a1)的值域是a，)，故(4)错 答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 1P59A 组 T4 改编)化简 4 16x8y4(x0，y0，且 a1)的图象经过点 P2，12，则 f(1)_解析：由题意知12a2，所以 a 22，所以 f(x)22x，所以 f(1)221 2.答案：24(必修 1P59A 组 T7 改编)已知 a3513，b3514，c3234，则 a，b，c 的大小关系是_解析：y35x是减函数，35133514350，即 ab1.又 c32343201，cba.答案：cb0，且 a1)的图象可能是(
6、)解析：选 D 当 a1 时，yax1a为增函数，且在 y 轴上的截距为 011a1，此时四个选项均不对；当 0a1 个单位长度得到的故选 D.6若函数 f(x)ax 在1，1上的最大值为 2，则 a_解析：若 a1，则 f(x)maxf(1)a2；若 0a0，b0)_解析：原式221310185.答案：852计算：278230.0021210(52)10_.解析：原式3225001210（52）（52）（52）1 4910 510 52011679.答案：16793化简：a438a13b4b2323 aba23a2323 baa3 a25a3 a_(a0)解析：答案：a2名师点津 1指数幂的
7、运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数考点 指数函数的图象及应用【例】(1)函数 f(x)axb 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若方程|3x1|k 有一解，则 k 的取值范围为_解析(1)由 f(x)axb 的图象可以观察出函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb 的图象是在 f(x)
8、ax 的基础上向左平移得到的，所以 b0.答案：(0，)2(变条件)若本例(2)的条件变为：函数 y|3x1|k 的图象不经过第二象限，则实数 k 的取值范围是_解析：作出函数 y|3x1|k 的图象如图所示 由图象知 k1，即 k(，1 答案：(，13(变条件)若本例(2)的条件变为：函数 y|3x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数 y|3x1|的图象知，其在(，0上单调递减，所以 k(，0名师点津 指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1，1a.(2)与指数函数有关的函数图
9、象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解|跟踪训练|1(2019 届河北武邑中学调研)函数 ye|x1|的大致图象是()解析：选 B 因为|x1|0，所以 0e|x1|e0，即 00 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_解析：(1)当 0a1 时，y|ax1|的图象如图.因为 y2a 与 y|ax1|的图象有两个交点，所以 02a1，所以 0a1 时，y|ax1|的图象如图，而 y2a1 不可能与 y|ax1|有两个交点综上，0abcBacbCcabDbca(2)设函数
10、 f(x)x2a 与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，则 M(a1)0.2 与 N1a0.1的大小关系是()AMNBMNCMN解析(1)由 0.20.6，0.40.40.6，即 bc.因为a20.21，b0.40.2b.综上，abc.(2)因为 f(x)x2a 与 g(x)ax(a1 且 a2)在区间(0，)上具有不同的单调性，所以 a2，所以 M(a1)0.21，N1a0.1N.故选 D.答案(1)A(2)D名师点津 指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同底的指数式，并要注意底数范围是(0，1)还是(1，)，若不能化为同底，则可化为同指数，
11、或利用中间量比较命题角度二 解简单的指数方程或不等式【例 2】(1)已知函数 f(x)a14x1的图象过点1，310，若16f(x)0，则实数 x 的取值范围是_(2)方程 4x|12x|11 的解为_解析(1)f(x)a14x1的图象过点1，310，a15 310，即 a12，f(x)1214x1.16f(x)0，1614x1120，1314x112，24x13，即 14x2，0 x12.(2)当 x0 时，原方程化为 4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0.2x3，即 xlog23；当 x0 时，原方程化为 4x2x100，令 t2x，则 t2t100(0t1)由求
12、根公式得 t1 1402均不符合题意 故当 xag(x)，当 a1 时，等价于 f(x)g(x)；当 0a1 时，等价于 f(x)0)，则 yt22t 的单调增区间为1，)，令 2x1，得 x0.又 y2x 在 R 上单调递增，所以函数 f(x)4x2x1 的单调增区间是0，)答案(1)(，1(2)0，)名师点津 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断|跟踪训练|1(2019 年全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc
13、BacbCcabDbca解析：选 B alog20.2201，c0.20.3(0，0.20)，即 c(0，1)，ac0，a1)的定义域和值域都是1，0，则 ab_解析：当 a1 时，函数 f(x)axb 在1，0上为增函数，由题意得a1b1，a0b0无解；当 0a1 时，函数 f(x)axb 在1，0上为减函数，由题意得 a1b0，a0b1，解得a12，b2，所以 ab32.答案：323已知函数 f(x)2|2xm|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数，则 m 的取值范围是_解析：令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间m2，上单调递增，在区间，m2 上单调递减而 y2t 为 R 上的增函数，所以要使函数 f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有m22，即 m4，所以 m 的取值范围是(，4 答案：(，4点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
