1、专题34 三角函数一、三角函数与相似三角形【典例】如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADBC，BC=12AD，AC与BD交于点E，ACBD，则tanBAC的值是 【解答】解：ADBC，DAB90，ABC180DAB90，BAC+EAD90，ACBD，AED90，ADB+EAD90，BACADB，ABCDAB，ABDA=BCAB，BC=12AD，AD2BC，AB2BCADBC2BC2BC2，AB=2BC，在RtABC中，tanBAC=BCAB=22；故答案为：22【巩固】如图，在RtBAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，求tanCAD的值二、三角函数在四
2、边形中的应用【典例】如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC2BF，连接AE，EF若AB2，AD3，则cosAEF的值是（）A12B1C22D32【解答】解：连接AF，如图所示：四边形ABCD是矩形，BC90，CDAB2，BCAD3，FC2BF，BF1，FC2，ABFC，E是CD的中点，CE=12CD1，BFCE，在ABF和FCE中，AB=FCB=CBF=CE，ABFFCE（SAS），BAFCFE，AFFE，BAF+AFB90，CFE+AFB90，AFE1809090，AEF是等腰直角三角形，AEF45，cosAEF=22；故选：C【巩固】如图，正方形ABCD的边长为
3、32，过点A作AEAC，AE1，连接BE，则tanE三、圆中的三角形相似【典例】如图，ABC内接于O，ABAC，CO的延长线交AB于点D（1）求证：AO平分BAC；（2）若BC6，sinBAC=35，求AC和CD的长【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：ABAC，OBOC，A、O在线段BC的垂直平分线上，AOBC，又ABAC，AO平分BAC；（2）解：延长CD交O于E，连接BE，如图2所示：则CE是O的直径，EBC90，BCBE，EBAC，sinEsinBAC，BCCE=35，CE=53BC10，BE=CE2-BC2=8，OAOE=12CE5，AHBC，BEOA，OAB
4、E=ODDE，即58=OD5-OD，解得：OD=2513，CD5+2513=9013，BEOA，即BEOH，OCOE，OH是CEB的中位线，OH=12BE4，CH=12BC3，AH5+49，在RtACH中，AC=AH2+CH2=92+32=310【巩固】如图所示，ABC内接于O，AB是O的直径，点D在O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AECE，连接CD（1）求证：DCBC；（2）若AB10，AC8，求tanDCE的值巩固练习1如图，在网格中小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则AOB的正弦值是（）A31010B22C55D10102下列计算错误的个数是（）sin60sin30
5、sin30；sin245+cos2451；(tan60)2=13；tan30=cos30sin30A1B2C3D43在ABC中，sinAcos（90C）=22，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定4如图，半径为1的O中，BC，AC为弦，D，N为BC三等分点，M为AD的中点，则sinACB的值可表示为（）ADNBDMCBDDMN5如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，连接AB，BC，CD，AE，线段AE的延长线交BC于点F，则tanAFB的值（）A12B33C49D146已知sin+cos=75，045，则tan（）A34B43C34或43D
6、357如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tanAPD的值为（）A2B5C3D68规定：sin（x）sinx，cos（x）cosx，sin（x+y）sinxcosy+cosxsiny据此判断下列等式成立的是 （填序号）cos（60）cos60=-12sin75sin（30+45）sin30cos45+cos30sin45=6+24sin2xsin（x+x）sinxcosx+cosxsinx2sinxcosx；sin（xy）sinxcosycosxsiny9已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：asin+bcosc0；ac
7、osbsin+d0（其中为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是： 10如图，AB为O直径，且弦CDAB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F（1）若M是AD的中点，连接ME并延长ME交BC于N求证：MNBC（2）若cosC=45，DF3，求O的半径（3）在（1）的条件下，猜测线段AE、BE、CN、CB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想11如图，已知在ABC中，D是AB中点，DCAC，cosDCB=45，求sinA12已知，如图：ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB10，D为ABC外一点，连接AD、BD，过D作DHAB，垂足为H，交AC于E（1）若ABD是等边三角形，求DE的长；（2
8、）若BDAB，且tanHDB=34，求DE的长13如图，在梯形ABCD中，ABCD，BCD90，且AB1，BC2，tanADC2（1）求证：DCBC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDCFBC，DEBF，试判断ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE：CE1：2，BEC135时，求sinBFE的值14如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC16，DC12，AD21动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动设运动的时间为t（秒）（1）设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AOOB时，求BQP的正切值；（4）是否存在时刻t，使得PQBD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由
