1、高三数学（理）一轮复习 教案 第十一编 概率统计 总第61期11.8 独立性及二项分布基础自测1.一学生通过一种英语听力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是 .答案 2.已知随机变量X服从二项分布XB（6，），则P（X=2）= .答案 3.打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次，可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是 .答案 4.一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是 .答案 5.已知P（AB）=，P（A）=，则P（B|A）= .答案 例题精讲 例1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中
2、有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问（1）从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？（2）从2号箱取出红球的概率是多少？解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.P（B）=，P（）=1-P（B）=，（1）P（A|B）=.（2）P（A|）=，P（A）=P（AB）+P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|）P（）=+=.例2 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有一人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.解 记“甲射
3、击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A或B；“至少有1人击中目标”是AB或A或B.（1）显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P（AB）=P（A）P（B）=0.80.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中（即A），另一种是甲未击中，乙击中（即B），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为：P=P（A）+P（B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0
4、.8=0.16+0.16=0.32.（3）方法一 “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P=P（AB）+P（A）+P（B）=0.64+0.32=0.96.方法二 “两人都未击中目标”的概率是P（）=P（）P（）=（1-0.8）（1-0.8）=0.20.2=0.04.至少有一人击中目标的概率为P=1-P（）=1-0.04=0.96.例3 （16分）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.（1）设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；（2）设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；（3）求这名
5、学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解 （1）将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故XB（6，）， 2分所以X的分布列为P（X=k）=，k=0，1，2，3，4，5，6.5分（2）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0，1，2，3，4，5.其中：Y=k（k=0，1，2，3，4，5）表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算. P（Y=k）=（k=0，1，2，3，4，5），而Y=6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P（Y=6）=.8分Y456P因此Y的概率分布为：Y0123P12分
6、（3）这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为X1=X=1或X=2或或X=6， 14分所以其概率为P（X1）=1-=0.912. 16分巩固练习 1.盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张（不放回），记“甲中奖”为A，“乙中奖”为B.（1）求P（A），P（B），P（AB），P（A|B）； （2）A与B是否相互独立，说明理由.解 （1）P（A）=，P（B）=， P（AB）=，P（A|B）=.（2）因为P（A）P（A|B），所以A与B不相互独立.2.甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进
7、行测试，至少答对2题算合格.（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.解 （1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=，乙考试合格的概率为P（B）=.（2）A与B相互独立，且P（A）=，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P（AB+A）=+=.3.（2008山东理，18）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.（1）求随机变量的概率分布和数学期望；（2）用A表示“
8、甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）.解 （1）方法一 由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且P（=0）=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)= =.所以的概率分布为0123P的数学期望为E()=0+1+2+3=2.方法二 根据题设可知,B（3，）,因此的分布列为P(=k)=,k=0,1,2,3.因为B（3，）,所以E()=3=2.(2)方法一 用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以AB=C+D，且C、D互斥，P（C）=（+）=,P(D)=（）=,由互斥事件的概率公式得P(AB
9、)=P(C)+P(D)= +=.方法二 用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“乙队得k分”这一事件，k=0，1，2，3.由于事件A3B0，A2B1为互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0+A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）.由题设可知，事件A3与B0独立，事件A2与B1独立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=+（+）=.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是 .答案
10、 0.6652.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该学生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响） .答案 3.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 . 答案 4.设随机变量XB(6,),则P（X=3）= .答案 5.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为 .答案 0.886.若每名学生测试达标的概率都是（相互独立），测试后k个人达标，经计算5人中恰有
11、k人同时达标的概率是，则k的值为 .答案 3或47.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 .答案 8.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：他第3次击中目标的概率是0.9；他恰好击中目标3次的概率是0.930.1；他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 （写出所有正确的结论的序号）.答案 二、解答题9.有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场
12、比赛中，甲对乙、丙、丁取胜的概率分别为0.6，0.8，0.9.（1）若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（2）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率；（3）若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为，求随机变量的概率分布.解 （1）甲和乙之间进行三场比赛，甲恰好胜两场的概率为P=0.620.4=0.432.（2）记“甲胜乙”，“甲胜丙”，“甲胜丁”三个事件分别为A，B，C，则P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（C）=0.9.则四名运动员每两人之间进行一场比赛，甲恰好胜两场的概率为P（AB+AC+BC）=P（A）P（B）1-P（C）+P（A）1-P（B）
13、P（C）+1-P（A）P（B）P（C）=0.60.80.1+0.60.20.9+0.40.80.9=0.444.（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3. 的P（=0）=0.40.20.1=0.008;P(=1)=0.60.20.1+0.40.80.1+0.40.20.9=0.116;由（2）得P（=2）=0.444；P（=3）=0.60.80.9=0.432.随机变量的概率分布为0123P0.0080.1160.4440.43210.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A= a1 a2 a3 a4 a5 ,其中A的各位数中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出
14、现1的概率为.记=a1+a2+a3+a4+a5,当程序运行一次时,(1)求=3的概率;(2)求的概率分布.解 (1)已知a1=1,要使=3,只需后四位中出现2个1和2个0.P(=3)=. (2) 的可能取值为1,2,3,4,5.P(=1)=.P(=2)=.P(=3)=.P(=4)=.P(=5)= =.的概率分布为12345P11.已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.(1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率
15、;(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.解(1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是P(A)=+=.(2)第二个小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数为=12.因此所求的概率为P(B)=12=.12.甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为,乙投进的概率为，求：（1）甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率.解 （1）甲投进2球的概率为=，乙投进1球的概率为=，甲投进2球且乙投进1球的概率为=.(2)在甲第一次投篮未进的条件下,甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A),或甲后两投一进且乙三投零进(记为B),P(A)=+=,P(B)=,故所求概率为P(A+B)= .
