1、专题33 基本不等式中常见的方法求最值一、题型选讲题型一 、消参法消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是 【答案】【解析】且，当且仅当，即时取等号.的最小值为.故答案为：.例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_.【答案】10【解析】因为,所以,所以 ,因为,所以,当且仅当,解得,此时,所以的最小值为:10.故答案为10例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy3x3，则的最小值为_
2、【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，所以y3y36268，当且仅当y3，即y4时取等号，此时x，所以的最小值为8.解法2 因为实数x，y满足xy3x3，所以y3(y3)，y360，所以66268，当且仅当6，即x时取等号，此时y4，所以的最小值为8.题型二、双换元若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，且，则的最小值是_.【答案】【解析】设，则，又当时，在题目要求范围内，即故答
3、案为：例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为 【答案】：【解析】、所以，因为所以题型三、“1”的代换1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（ ）A6BC3D【答案】C【解析】，且，当且仅当且即时，等号成立；故选：C例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线， ，则，则的最小值为，故选D.例8、（2020全国高三专题练习（理）已知圆关于直
4、线对称，则的最小值为_【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：9题型四、齐次化齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为_.【答案】.【解析】解：令，则，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：.例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为_.【答案】【解析】由题意得：，令，则， ，设，可得：，令，可得，其中舍去，可得当时，单调递减；当时，单调递增；可得当时，原式有最
5、小值，代入可得：，故可得的最小值为，故答案为：.二、达标训练1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是( )A1BC9D18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即 当即时等号成立故选：3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）A10B1
6、2C16D9【答案】D【解析】由已知，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，所以故选：D4、【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是_.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数满足则的最大值为_.【答案】【解析】根据柯西不等式：，故，当，即，时等号成立.故答案为：.7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数满足，且，则的最大值为_.【答案】【解析】实数x、y满足xy0，且log2x+log2y1，则xy2，则，当且仅当xy，即xy2时取等号故的最大值为，故答案为8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数满足，则的最小值为_【答案】【解析】令，则，即，且，即的最小值为.
