1、专题3.15 勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（提升篇）一、单选题1下列各组数为勾股数的是()A B C D2直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（）A6 B8 C13 D3在中，是延长线上一点，是上一点，连接交于点，若，则ED的长为（） A2.5 B4.5 C8.5 D104如图，长方形中，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为则的长为（） A13 B12 C10 D85如图，在中，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E若，则的长为（） A B C D 6在中，以A为圆心，的长为半径作弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，适
2、当长度为半径画弧，两弧交于点P连接，并延长交于D过D作于点E，垂足为E，则的长度为（） A B C2 D17如图，在直线m上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是3，6，9，正放置的四个正方形的面积依次是，则（） A6 B6.5 C7 D88如图，在ABC中，AC3 cm，BC4 cm，AB5 cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF的面积等于（） A1 B1.5 C2 D39如图，长为的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升到D点，则橡皮筋被拉长了（） A B C D10我国古代数学专著九章算术里记载了这样一个问题“今有垣高一丈倚木于垣，
3、上与垣齐，引木却行一尺，其木至地问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（）A49尺 B49.5尺 C50尺 D50.5尺二、填空题11已知ABC中，AB6cm，BC8cm，AC10cm，则ABC的面积是_cm212如图，在方格中，小正方形的边长均为1，则图中阴影正方形的边长是_ 13如图，三角形中，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_ 14如图，在中，D为BC边上一点将沿AD折叠
4、，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则CD的长为_ 15如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”若，则正方形的面积为_ 16如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为_cm（容器壁厚度忽略不计） 17如图，长方形中，E为边上的动点，F为的中点，连接，则的最小值为_ 18如图，在直角三角形纸片中，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，连
5、接，则的长为_三、解答题19如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，且，(1) 求修建的公路的长；(2) 若公路建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少？20（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为这种观点正确吗？说明你的理由（2）除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律?与同伴进行交流21如图，已知BEAE，AEBC60，AB4，BC212，CD23，DE3求证：(1) BEC为等边三角形；(
6、2) EDCD22做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按下图所示的方式拼成两个正方形利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2b2c223【证明体验】(1) 如图1，在中，为边上的中线，延长至，使，连接求证：【迁移应用】(2) 如图2，在中，为的中点，求面积【拓展延伸】(3) 如图3，在中，是延长线上一点，是上一点，连接交于点，若，求的长24在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延长交射线DC于点F，将ABE沿直线AE翻折到ABE，延长AB与直线CD交于点M(1) 求证：AM=MF；
7、(2) 当点E是边BC的中点时，求CM的长；(3) 当CF=4时，求CM的长参考答案：1B【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可解：A，不能构成直角三角形，故不是勾股数；B，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D，不能构成直角三角形，故不是勾股数故选：B【点拨】本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方2D【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可解：由题意得：直角三角形的斜边长为：，设斜边上的高为：，由直角三角形的面积相等可得：，解得：；故选D【点拨】本题考
8、查的勾股定理的应用，求直角三角形斜边上的高熟练掌握等积法是解题的关键3B【分析】延长到，使得，连接证明，得到，结合已知证明，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题解：延长到，使得，连接在和中，设，则，在中，【点拨】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题4A【分析】设为x，则为，在由勾股定理有，即可求得解：由折叠的性质可知，设为x，则为，四边形为长方形，在中由勾股定理有即化简得解得，故选：A【点拨】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定
9、理建立方程，进而可以求解5A【分析】设根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解解：设，在中，为直角三角形，在中，由勾股定理得：，解得：，即故选：A【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长6A【分析】直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，结合勾股定理得出答案解：如图所示：由题意可得：，在和中，设，则，故，解得故选：A【点拨】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键7A【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答解：如图，观察发现，在与中，（AAS
10、），即，同理，则，则故选：A【点拨】此题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理解决本题的关键是得到8B【分析】由三角形中位线的性质易得DEF的三边长，再由勾股定理的逆定理证出DEF是直角三角形，然后由三角形面积公式求解即可解：D，E，F分别是AB，BC，CA的中点EF，DE，DF都是ABC的中位线，EF=AB，DE=AC，DF=BC，又AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），1.52+22=2.52，DE2+DF2=EF2，EDF为直角三角形，SEDF=DEDF=1.52=1.5（cm2），故选：B【点拨】本题考查了三角形中位线
11、定理、勾股定理的逆定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理的逆定理证出DEF为直角三角形是解题的关键9A【分析】根据勾股定理，可求出AD长，再证明ADCBDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即为橡皮筋拉长的距离解：点C为线段AB的中点，AC=AB=4cm，RtACD中， CD=3cm；根据勾股定理，得：AD=5(cm)；CDAB，DCA=DCB=90，在ADC和BDC中，ADCBDC（SAS），AD=BD=5cm,AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；橡皮筋被拉长了2cm故选：A【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义
12、，解题的关键是勾股定理的应用，三角形全等判定与性质，线段中点定义，灵活运用所学知识解决问题10D【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，在中， ， ， 解得：故选：D【点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题1124【分析】由勾股定理的逆定理得出ABC是直角三角形，B90，ABC的面职为即可得出结果解：AB6cm，BC8cm，AC10cm，AB2+CB2100AC2，ABC是直角三角形，且B90
13、，ABC的面积是24（cm2），故答案为：24【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键125【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可得答案解：如图，在中，故答案为：5【点拨】本题考查了勾股定理，根据网格构造直角三角形是解决问题的关键13【分析】当时，的值最小，利用等面积法求解即可解：在中，点到直线，垂线段最短，当时，的值最小，此时：，即：，故答案为【点拨】本题考查垂线段最短熟练掌握点到直线，垂线段最短，利用等积法求斜边上的高，是解题的关键143【分析】根据勾股定理可以得到AC的长，然后根据翻折的性质和勾股
14、定理，即可求得CD的长解：ACB=90，AB=10，BC=8，将ABD沿AD折叠，点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，AE=AB=10，BD=ED，CE=AE-AC=10-6=4，设CD=x，则BD=8-x，DCE=90，CD2+CE2=ED2，即，解得x=3，CD=3，故答案为：3【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键154【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积解：直角三角形直角边的较短边为=6，正方形EFGH的面积=1010-8624=100-96=4故答案为：4【点拨】
15、此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键1634【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.解：如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【点拨】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；1715【分析】作F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值运用勾股定理求即可解：如图：作
16、F关于的对称点，连接，交于点E，则，的长即为的最小值长方形中，F为的中点，即的最小值为15故答案为：15【点拨】本题主要考查轴对称的性质及运用，能够熟练掌握并运用将军饮马模型是解题关键18【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点处，得，又再折叠纸片，使点与点重合，得，即可得，设，则，可得，即可解得解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，折叠纸片，使点与点重合，设，则，解得，故答案为：【点拨】本题考查了直角三角形中的翻折变换，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程19(1)修建的公路CD的长为；(2)总路程为【分析】（1）根据
17、题意可得：，利用勾股定理可得，再由三角形的等面积法计算即可得出；（2）由垂直的性质及（1）中结论，再利用勾股定理可得出长度，然后求长即可（1）解：，根据题意可得：，修建的公路CD的长为；（2）解：，根据题意可得：，总路程为【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练应用勾股定理是解题关键20（1）正确，见分析；（2）见分析【分析】（1）根据奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，奇数加奇数为偶数即可判断；（2）发现当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数解：（1）勾股数中一定有一个是偶数，如果全部为奇数，为偶数，而为奇数，两者不可能相等，即一定存在一个偶数（2）勾股数组中较大
18、的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，理由如下：不妨令最大整数为，跟它连续的整数为，根据勾股定理有，即最小数的平方为奇数【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握偶数的平方是偶数，奇数的平方是奇数，奇数加奇数是偶数21(1)见分析；(2)见分析【分析】（1）在RtABE中，求得AE2，BE212，从而有BEBC，即可得出BEC为等边三角形；（2）求得DE2+CD212EC2，所以CDE为直角三角形，且D90，即可解决问题解：（1）证明：根据题意可得：在RtABE中，A60，AEB90，ABE30AB4，AEAB2，BE2AB2AE212又BC212，BEBC又CBE60，BEC为等边三角
19、形（2）BEC为等边三角形，EC2BC212又DE29，CD23，DE2+CD212EC2，CDE为直角三角形，且D90，EDCD【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和其逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键22证明见分析【分析】根据不同图形拼成的两个正方形面积相等即可证明解：证明：左图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形，；右图大正方形的边长为：a+b，则面积为（a+b）2，分成了边长为a的一个正方形，边长为b的一个正方形，还有四个直角边为a，b，斜边为c的全等的直角三角形，；综上
20、所述：，即【点拨】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形23(1)见分析；(2)；(3)的长为【分析】（1）根据证明三角形全等；（2）如图2中，延长到，使得，连接由（1）可知，推出，利用勾股定理求出，即可解决问题；（3）如图3中，延长到，使得，连接证明，设，则，在中，根据，构建方程即可解决问题解：（1）证明：如图1中，在和中，；（2）解：如图2中，延长到，使得，连接由（1）可知，；（3）解：如图3中，延长到，使得，连接由（1）可知，设，则，在中，【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常
21、用辅助线，构造全等三角形解决问题24(1)见分析；(2)；(3)或 21【分析】（1）由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；（2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知， ，在中利用勾股定理即可求解；（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，；第二种情况，点在线段上，如图所示，则，在中，利用勾股定理即可求解解：（1）证明：四边形ABCD为矩形，ABCD，FBAF，由折叠可知：BAFMAF，FMAF，AMMF；（2）点E是边BC的中点，四边形ABCD为矩形，ABCD， FBAF，又，设，则由（1）知， 在中，解得，的长为；（3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，如图所示，则，在中，解得，的长为；第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示，则，在中，解得，的长为综上可知，当CF=4时，CM的长为或 21【点拨】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，分类讨论的思想是解题的关键
