1、专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆
2、也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。模型1、运动轨迹为直线1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线2）如图，在APQ中AP=AQ，PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。理由
3、：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。3）确定动点轨迹的方法（重点）当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求
4、线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为其他已知轨迹的线段求最值。例1（2022湖南湘西统考中考真题）如图，在RtABC中，A90，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CGAB，交HM的延长线于点G，若AC8，AB6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A24B22C20D18【答案】B【分析】通过证明BMHCMG可得BHCG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MHAB时，四边形ACGH的周长有最小值，证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解【详解】CGAB，BMCG，M是BC的中点，BMCM，在BMH和CMG中，BMHCMG（ASA），HMGM，BH
5、CG，AB6，AC8，四边形ACGH的周长AC+CG+AH+GHAB+AC+GH14+GH，当GH最小时，即MHAB时四边形ACGH的周长有最小值，A90，MHAB，GHAC，四边形ACGH为矩形，GH8，四边形ACGH的周长最小值为14+822，故选：B【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键例2（2023黑龙江绥化统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点连接，将绕点顺时针旋转得到连接，则周长的最小值是 【答案】/【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解
6、【详解】解：为高上的动点将绕点顺时针旋转得到是边长为的等边三角形，点在射线上运动，如图所示，作点关于的对称点，连接，设交于点，则在中，则，则当三点共线时，取得最小值，即，在中，,周长的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键例3（2023河南洛阳统考一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段BC上运动（含B、C两点）连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转60得到AF，连接DF，则线段DF长度的最小值为_【答案】【分析】以AB为边向右作等边ABG，
7、作射线GF交AD于点H，过点D作DMGH于M利用全等三角形的性质证明AGF60，得出点F在平行于AB的射线GH上运动，求出DM即可【详解】解：如图，以AB为边向右作等边ABG，作射线GF交AD于点H，过点D作DMGH于M 四边形ABCD是平行四边形，B60，BAD120，ABG是等边三角形，BAGEAF60，BAGA，EAFA，BAEFAG，BAEGAF（SAS），BAGF60，点F在平行于AB的射线GH上运动，HAGAGF60，AHG是等边三角形，ABAGAH6，DHADAH4，DHMAHG60，DMDHsin60，根据垂线段最短可知，当点F与M重合时，DF的值最小，最小值为，故答案为：【点
8、睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点F的在射线GH上运动，属于中考填空题中的压轴题例4（2022山东泰安统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（）ABC3D【答案】B【分析】过点G作GHAB于H，过点G作MNAB，由“AAS”可证GEHEFA，可得GHAE1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解【详解】解：如图，过点G
9、作GHAB于H，过点G作MNAB，四边形ABCD是矩形，AB，BC3，B90，CD，AD3，AE1，BE，GHEAGEF90，GEHEGH90，GEHFEA90，EGHFEA，又GEEF，GEHEFA（AAS），GHAE1，点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，当F与D重合时，CG有最小值，此时AFEH3，CG的最小值，故选B【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键例5（2023陕西西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？一番深思熟虑后，聪明
10、的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得 t为任意实数，等式恒成立， ，这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知，且，则点C的坐标为_结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值【答案】(1)直线l的函数表达式为;(2)点C（-7，3）；(3)OQ最小值为【分析】（1）利用待定系数法将点P代入解析式
11、，利用恒等性质得出，求出直线解析式即可；（2）设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BFx轴于F，证明CAEABF（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可；（3）过Q作QGx轴于G，过Q作QHx轴于H，先证QPGPQH（AAS），设Q（a，）分三种情况，当a1时，点Q（，1 - a）OQ=，当1a4，点Q（，1-a），OQ=，当a4时，点Q（，1-a）OQ=，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可【解析】(1)解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得，t为任意实数，等式恒成立，这条直线的函数表达式为，随着变量t的变化，
12、动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，直线l的函数表达式为(2)解:设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BFx轴于F，ECA+CAE=90，AB=AC，BAC=90，CAE+FAB=90，ECA=FAB，在CAE和ABF中，CAEABF（AAS），CE=AF，EA=FB，点B（5，9）点A（2，0），点F（5，0）n=5-2=3;2-m=9,m=-7,点C（-7，3）； (3)解：过Q作QGx轴于G，过Q作QHx轴于H，QPQ=90，QGP=QHP=90，QPG+QPH=90，QPH+HQP=90，QPG=HQP，在QPG和PQH中，QPGPQH（AAS），PG=QH，QG
13、=PH，Q是直线上的一个动点，设Q（a，），当a1时，QG=PH=，PG= QH=1 - a，点Q（，1 - a），OQ=，时，OQ随a的增大而减小，当a=1时最小OQ=，当1a4，QG=PH=，PG= QH= a-1，点Q（，1-a），OQ=，a=2时，OQ最小=， 当a4时，QG=PH=，PG= QH= a-1，点Q（，1-a），OQ=，a2时，OQ随a的增大而增大，a=4时，OQ最小=， 3，OQ最小值为【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函
14、数的最值，分类思想的运用是解题关键例6（2023河南新乡统考一模）如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接若的最小值为3，则的长为_【答案】【分析】连接，利用中位线的性质，要使最小，只要最小，当时，最小为6，由确定为等腰直角三角形，得出，由勾股定理得：求出即可【详解】解：连接，分别为，的中点，且，要使最小，只要最小，当时，最小，的最小值为3，四边形是菱形，故答案为：【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键例7（2023四川雅安统考中考真题）如图，在中，P为边上
15、一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 【答案】【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可【详解】解：如图，连接，于点D，于点E，四边形是矩形，由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小，此时，代入数据：，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键例8（2023安徽合肥校考一模）如图，中，点D是边上一动点，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到线段，连接，若，则的长的最小值为（）ABC1D【答
16、案】A【分析】在上取一点K，使得，连接，然后证明出，然后根据垂线段最短得到当时，的值最小，最后利用角直角三角形的性质求解即可【详解】如图所示，在上取一点K，使得，连接，又，当时，的值最小，的长的最小值为故选A【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，垂线段最短，角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点课后专项训练1（2021四川广元中考真题）如图，在中，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接则的最小值是（）AB1CD【答案】B【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得PDC=QDE，PD=QD，进而可得PCDQED，则有PCD
17、=QED=90，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQQE时，最后问题可求解【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：是等边三角形，CDQ是公共角，PDC=QDE，PCDQED（SAS），点D是边的中点，PCD=QED=90，点Q是在QE所在直线上运动，当CQQE时，CQ取的最小值，；故选B【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键2（2023上福建厦门九年级校考期中）如图，长方形中，E为上一点且，F为边上的一个动点连接，将绕着点E顺时针旋转到的位
18、置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（）AB3CD【答案】C【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J四边形是矩形，点G的在射线上运动，当时，的值最小，四边形是矩形，的最小值为故选：C【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题3.（2023上江苏扬州九年级
19、校联考期中）如图，正方形的边长为4，点是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接，以为斜边作等腰（点，按逆时针排序），则长的最小值为（）ABC4D【答案】D【分析】根据正方形的性质和题干给定的是以为斜边作等腰直角三角形，证明，得到进一步证明，得到，由正方形的性质得点H为的中点，有点F在的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，的值最小【详解】解：连接交于点G，连接并延长交于点H，如图，四边形是正方形，是以为斜边作等腰直角三角形，则，则，点G为正方形对角线的交点，点H为的中点，点F在的垂直平分线上运动，当点F与点H重合时，的值最小，此时即长的最小值为2故答案选：D【点睛】此题考查正方形的性质、相似三
20、角形的判定与性质、平行线的判定与性质和垂线段最短，利用相似的边长比证明对应三角形边长的相似比，并找到点的运动轨迹是解题的关键4（2023上河北保定九年级校考期中）如图，在中，且，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为（）AB5CD【答案】C【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，可得，即可解决问题【详解】解：如图，连接，且，四边形是矩形，当时，的值最小，此时，的最小值为，故选：C【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相
21、等5（2023上山西临汾九年级统考期中）如图，在中，点，分别是，边上的动点，连结，分别是，的中点，则的最小值为（）A12B10C9.6D4.8【答案】D【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短的性质连接，作于点H由三角形中位线的性质得，由垂线段最短可知当最小，即点E与点H重合时的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可【详解】解：连接，作于点H点，分别是，边上的动点，是的中位线，当最小，即点E与点H重合时的值最小设，则，的最小值为4.8故选D6（2023上广东广州九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于
22、（）ABCD【答案】B【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：四边形是正方形，在和中，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，故选：B【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键7（2022江苏徐州市三模）如图，中，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为_【答案】【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，
23、当时，最小，根据勾股定理即可求解【详解】解：四边形是平行四边形，则点在平行的线段上运动，当时，最小，则，在中，即最小值为故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键8（2023上湖北武汉九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为 【答案】/【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等以及垂线段最短进行解答连接，依据构造全等三角形，即，将的长转化为的
24、长，再依据垂线段最短得到当最短时，亦最短，根据，即可求得的长的最小值【详解】解：如图，连接，由题意可得， ，在和中，当时，最短，此时也最短， ， ，当时， ，的最小值为故答案为：9（2023上湖南长沙九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可【详解】
25、设，过点作轴，垂足为点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，点，点，点的坐标为，点的运动轨迹是直线，直线交轴于，交轴于，过点作于则，根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：；10（2023上内蒙古呼和浩特九年级统考期中）如图，已知中，点为直线上一动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、，点在直线上且，则最小值为 【答案】【分析】首先通过证明得到，再根据垂线段最短将最小值转化为点到的距离，最后利用面积法计算即可【详解】解：，即，由旋转可知：，在和中，则当时，最小，即最小，点到的距离为，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂
26、线段最短，转化思想11（2023上福建三明八年级统考期中）如图，在长方形中，为边上的点，且为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，设中点为，则的最小值为 【答案】【分析】过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、共线时，有最小值，即可求解【详解】解：如图，过点作于，过点作，四边形是长方形也就是矩形，是等腰直角三角形，在和中，点在平行且到距离为的直线上运动，当点、共线时，则，此时有最小值，此时，四边形是长方形，的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查长方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质，垂线段最短，确定点的运动
27、轨迹是解题的关键12（2022贵州毕节中考真题）如图，在中，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_【答案】#2.4【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度【详解】解：，四边形APCQ是平行四边形，POQO，COAO，PQ最短也就是PO最短，过O作BC的垂线，,，则PQ的最小值为，故答案为：【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题13
28、（2022广东东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，BAP45，ABAP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _【答案】#【分析】把AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点D，证得ACD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OPCP时，OP最短，当OPCP时，OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题【详解】解：如图，把AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP交x轴于点D，则AOBACP，BAO=PAC，C=AOB=90，AC
29、= AO=3，BAP=45，即BAO+PAO=45，PAC +PAO=45，即CAO=45，ACD为等腰直角三角形，点P的运动轨迹在直线CP上，当OPCP时，OP最短，当OPCP时，OPD为等腰直角三角形，ACD为等腰直角三角形，AC=3，AD=AC=6，OD=6-3，OP=3-3即OP最小值为3-3故答案为：【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是得到ACD和OPD为等腰直角三角形14（2022江苏宿迁三模）如图在ABC中，ACB90，A30，BC2D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰RtDCE，使CED90
30、，连接BE，则线段BE的最小值为_【答案】【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2E1F于点E2，由RtDCE与RtAE1C为等腰直角三角形，可得DCECDEACE1CAE145，于是ACDE1CE，因此ACDE1CE，所以CADCE1E30，所以E在直线E1E上运动，当BE2E1F时，BE最短，即为BE2的长【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2E1F于点E2，连接CF，RtDCE与RtAE1C为等腰直角三角形，DCECD
31、EACE1CAE145ACDE1CE，ACDE1CE，CADCE1E30，D为AB上的动点，E在直线E1E上运动，当BE2E1F时，BE最短，即为BE2的长在AGC与E1GF中，AGCE1GF，CAGGE1F，GFE1ACG45BFE245，CADCE1E30，点A，点C，点F，点E1四点共圆，AE1CAFC90，且ABC60，BC2，BF1，BFBE2，BE2，故答案为：【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30角和45角的直角三角形的性质是解题的关键15（2023陕西师大附中三模）如图，正方形中，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋
32、转得到点F，则的最小值为_【答案】【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，正方形中，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，是等腰直角三角形,在射线上运动，则是等腰直角三角形，与点重合时，取得最小值，等于即的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键16（2022浙江绍兴二模）如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，PQC90，则RtPQC的外心运动的路径长为 _，BQ的最小
33、值为 _【答案】 ； 【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可【详解】 AB5，BC=3，AC4，RtPQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，当点P与点A重合时，即点，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重合时，即点，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，为点Q的运动轨迹， BQ的最小值为点B到的垂线段的长度，过点B作，
34、垂足为E，三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，即，解得，故答案为：；【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键17（2023江苏盐城三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，连接线段，则线段的最小值为_【答案】#【分析】连接，作于，当点运动到点时，则点运动到，求得，为动点的运动轨迹，当运动到时，最小，据为角所对的直角边，为斜边即可求得答案【详解】解：由题意得，连接
35、，作于，如图所示：、当点运动到点时，则点运动到，由题意可得：直线为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值，故答案为【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值是解题的关键18（2023重庆巴南九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，BAD120，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60得到线段EF，连接AF、BF，则ABF的周长的最小值是_【答案】4+2【分析】取AD中点G，连接EG，FG，BE，作BHDC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明FGA60，点F的轨迹为射线GF，易得A、E关于GF对称，推出AFEF
36、，得到BF+AFBF+EFBE，求出BE即可解决周长最小问题【详解】解：取AD中点G，连接EG，FG，BE，作BHDC的延长线于点H，四边形ABCD为菱形，ABAD，BAD120，CAD60，ACD为等边三角形，又DEDG，DEG也为等边三角形DEGE，DEG60FEF，DEGFEGFEFFEG，即DEFGEF，由线段EF绕着点E顺时针旋转60得到线段EF，所以EFEF在DEF和GEF中，DEFGEF（SAS）EGFEDF60，FGA180606060，则点F的运动轨迹为射线GF观察图形，可得A，E关于GF对称，AFEF，BF+AFBF+EFBE，在RtBCH中，H90，BC4，BCH60，在
37、RtBEH中，BE2，BF+EF2，ABF的周长的最小值为AB+BF+EF4+2，故答案为：4+2【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题19（2022河南南阳二模）如图所示，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，连接CE，则CE长的最小值是_【答案】3【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CHEQ可得出即可求出CE的长【详解】解：在BC上截取，则，中，在中，的角度固定不变，CH为CE的最小值过C点作CHEQCHQ=ABQ=90CQH=
38、QAB，CE的最小值是3.【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键20（2023江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？最短线段是_，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，_ （2）小试牛刀：如图2所示，中，则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为_（3）尝试应用：如图3所示是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60得到BE，连接PE、DE、CE请直接写出DE的最
39、小值在的条件下求的面积（4）拓展提高：如图4，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE，请求出AE的最小值【答案】（1）PO，垂线段最短；（2）；（3）DE的最小值是1；BPE的面积为；（4）AE的最小值为【分析】（1）根据垂线段的性质即可解答；（2）由（1）知当PCAB时，PC取得最小值，利用面积法即可求解；（3）根据旋转的性质，旋转前后的图形对应线段、对应角相等，可证得ABPCBE，得到BCE=30得到点E在射线CE上，根据“垂线段最短”这一定理，当DEC=90时，DE最短，据此求解即可；利用勾股定理求得EC=，即AP=，再利用勾股定理先后求得AD、PD、BP的长，即可求解；（4）
40、作出如图的辅助线，先判断出点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当当AEGH时，AE最短，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积公式即可求解【详解】解：（1）PO直线m，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短故答案为：PO，垂线段最短；（2）由（1）知当PCAB时，PC取得最小值，SABC=ACBC=ABPC，PC=，即CP的最小值为，故答案为：；（3）由旋转知PBE=60，BP=BE，PBE是等边三角形，ABC是等边三角形，ADBC，边长为4，AB=BC，ABC=60，ABD=CBD=30，BD=CD=2，ABP=CBE，ABPCBE（SAS），BCE=BAD=30；
41、点P为高AD上的一个动点，点E在射线CE上，根据“垂线段最短”可知，当DECE时，DE最短BCE=30，CD=2，DE=CD=1，即DE的最小值是1；由得CD=2，DE=1，CE=，ABPCBE，AP=CE，在RtBDA中，AB=4，BD=2，AD=，PD=AD-AP=，PB=，等边三角形PBE的高为，BPE的面积为=；（4）过点B作BHAC于点H，则BHC=90，HBC+HCB=90，ACD+HCB=90，HBC=ACD，EBF=ACD，HBC=EBF，此时点F与点C重合，点E与点H重合，AB=3，BC=4，AC=，SABC=ABBC=ACBH，BH=，AH=， 取AB中点G，过点G作GIAB交AC于点I，则BGI=90，GBI=BAC，EBF=ACD=BAC，GBI=EBF，此时点F与点I重合，点E与点G重合，顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，且， 四点共圆， 点E在直线GH上运动，根据“垂线段最短”这一定理，当AEGH时，AE最短，过点H作HPAB于点P，APHABC，即，PH=，AP=，PG=AG-AP=，GH=，SAGH=AGPH=GHAE，AE=，AE的最小值为【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，等边三角形的判定和性质，四点共圆的判定等知识，解决本题的关键是正确寻找相似三角形解决问题
