1、模块二 常见模型专练 专题29 一线三等角模型 例1 （2020江苏苏州统考中考真题）问题1：如图，在四边形中，是上一点，求证：问题2：如图，在四边形中，是上一点，求的值例2 （2021年吉林长春中考真题）在中，直线经过点C，且于D，于E(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：；(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明例3 （2020年海南中考真题）（1）尝试探究：如图，在中，AB = AC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BDAE于D，CEAE于E，则图中与线段AD相等的线段是
2、 ；DE与BD、CE的数量关系为 （2）类比延伸：如图，BA =BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与ABC全等直接写出点P的坐标一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。“一线三等角”的起源 DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：一、直角形“一线三等角”“一线三直角” 结论：ADB CEA二、 锐角形“一线三等
3、角 结论：ADBCEACAB三、 钝角形“一线三等角 结论：ADBCEACAB【变式1】（2022秋江苏无锡九年级校联考阶段练习）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，P是BC上一点，且BP2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E(1)求证：BPDCEP；(2)是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由【变式2】（2022河北唐山唐山市第十二中学校考一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中A（2，0），点D（4，3）为该抛物线上一点(1)B点坐标为_；(2)直线x=n交直线AD于
4、点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接PA、PD请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）求PAD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90得到直线l，若点Q是直线l上的点，且ADQ=45，请直接写出点Q坐标_【变式3】（2021秋新疆乌鲁木齐九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-交x轴于A、B两点，点C在抛物线上，且点C的横坐标为-1，连接BC交y轴于点D(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，点P在第二象限内抛物线上，过点P作PGx轴于G，点E在线段PG上，连接AE，过点E作EFAE交线段DB于F，若EF=AE，设点P的横坐标为t，线段PE
5、的长为d，求d与t的函数关系式；(3)如图3，在（2）的条件下，点H在线段OB上，连接CE、EH，若CEF=AEH，EH-CE=，求点P的坐标【变式4】（2022内蒙古鄂尔多斯统考二模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为MPM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；(3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标【变式5】（2022浙江绍兴模拟预测）如图，中，且点为边的中点将绕点旋转，在旋转过程中，射线与线段相交于点，射线与射
6、线相交于点，连结(1)如图1，当点在线段上时，求证：；线段，之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当为等腰三角形时，求的值【培优练习】1（2022秋浙江丽水八年级统考期末）如图，点P，D分别是ABC边BA，BC上的点，且，连结PD，以PD为边，在PD的右侧作等边DPE，连结BE，则BDE的面积为（）AB2C4D2（2022秋八年级课时练习）如图，在ABC中，ABAC9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若ADEB，CD3BD，则CE等于（）A3B2CD3（2022秋八年级课时练习）如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_4（2022全国九年级专题练习）如
7、图，抛物线yx2+4x上有一点B（1，3），点B与点C关于抛物线的对称轴对称过点B作直线BHx轴，交x轴于点H点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，以C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，点N的坐标为 _5（2022秋八年级课时练习）如图，直线l1l3，l2l3，垂足分别为P、Q，一块含有45的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _6（2022秋浙江金华八年级校考阶段练习）如图，在中，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E若，求DE的长 7（2022春全国九年级专题练习）感知：（1）数学
8、课上，老师给出了一个模型：如图1，由，可得 ；又因为，可得，进而得到_我们把这个模型称为“一线三等角”模型应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且求证：；当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长8（2022秋八年级课时练习）如图，在中，（1）如图所示，直线过点，于点，于点，且求证：（2）如图所示，直线过点，交于点，交于点，且，则是否成立？请说明理由9（2022秋江苏八年级专题练习）问题背景：（1）如图，已知中，直线m经过点A，直线m
9、，直线m，垂足分别为点D，E，易证：_+_（2）拓展延伸：如图，将（1）中的条件改为：在中，D，A，E三点都在直线m上，并且有，请求出DE，BD，CE三条线段的数量关系，并证明（3）实际应用：如图，在中，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标10（2022秋八年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图，垂足分别为，求的长”，请直接写出此题答案：的长为_（2）探索证明：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，且求证：（3）拓展应用：如图，在中，点在边上，点、在线段上，若的面积为15，则与的面积之和为_（直接填写结果，不需要写解答过程）11（2022秋吉林长春七年级长春市第四十五中学校考
10、期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：模型呈现如图1，过点B作于点C，过点D作于点E求证：模型应用如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为_深入探究如图3，连接，且于点F，与直线交于点G若，则的面积为_12 （2022秋八年级课时练习）(1)如图（1），已知：在ABC中，BAC=90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m， CE直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角.
11、请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由13（2022秋江苏扬州八年级校考阶段练习）（1）观察理解：如图1，ACB90，ACBC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BDl，AEl，垂足分别为D，E，求证：AECCDB （2）理解应用：如图2，过ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I利用（1）中的结论证明：I是EG的中点（3）类比探究：将图1中AEC绕着点C旋转180得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_；如图4，直角梯形ABCD中，ABBC，AD2，BC3，将腰DC绕D点逆时针旋转90至DE，
12、AED的面积为 14（2023秋广西南宁八年级校考阶段练习）在直线上依次取互不重合的三个点，在直线上方有，且满足(1)如图1，当时，猜想线段之间的数量关系是_；(2)如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在中，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，求与的面积之和15（2022秋八年级课时练习）（1）如图1，在ABC中，BAC90，ABAC，直线m经过点A，BD直线m，CE直线m，垂足分别为点D、E求证：ABDCAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAA
13、ECBAC，其中为任意锐角或钝角请问结论ABDCAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若BDAAECBAC，求证：DEF是等边三角形16（2021秋四川达州九年级统考期中）模型探究：（1）如图1，在等腰直角三角形中，直线经过点，过作于点，过作于点求证：；模型应用：（2）已知直线与坐标轴交于点、，将直线绕点逆时针旋转90至直线，如图2，求直线的函数表达式；（3）如图3，已知点、在直线上，且若直线与轴的交点为，为中
14、点试判断在轴上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形17（2022秋江苏八年级专题练习）已知：CD是经过BCA的顶点C的一条直线，CACB，E、F是直线CD上两点，BECCFA（1）若直线CD经过BCA的内部，BCDACD如图1，BCA90，90，写出BE，EF，AF间的等量关系： 如图2，与BCA具有怎样的数量关系，能使中的结论仍然成立？写出与BCA的数量关系 （2）如图3若直线CD经过BCA的外部，BCA，中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明18（2022秋湖北武汉八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上（1）如图1，若
15、a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是_；（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值19（2022秋浙江八年级专题练习）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB90，CBCA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线yx+3与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8，6)，A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y2x5上的一点，若APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标20（2021秋重庆沙坪坝九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线l过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F（1）若点E与点P重合，求k的值；（2）连接、，若的面积为的面积的3倍，求点E的坐标；（3）当时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来
