1、专题 28 体积法求点面距离 一、多选题1在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点，则（）AD1DAFBA1G平面 AEFC异面直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值为1010D点 G 到平面 AEF 的距离是点 C 到平面 AEF 的距离的 2 倍【答案】BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证 D1D、AF 是否垂直及求直线 A1G 与 EF 所成角的余弦值即可，利用等体积法可求 G 到平面 AEF 的距离与点 C 到平面 AEF 的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断 A1G、平面 AEF 是否平行.【详解】A
2、 选项，由11/DDCC，即1CC 与 AF 并不垂直，所以 D1DAF 错误.B 选项，如下图，延长 FE、GB 交于 G连接 AG、GF，有 GF/BE 又 E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点，所以11GGBBAA，而1/AAGG，即1/AGAG；又因为面11ABB A面 AEF=AG，且1AG 面 AEF，1AG 面11ABB A，所以 A1G平面 AEF，故正确.C 选项，取11B C 中点 H，连接GH，由题意知GH 与 EF 平行且相等，所以异面直线 A1G 与 EF 所成角的平面角为1AGH，若正方体棱长为 2，则有112,5GHAGA H，即在1AGH 中有110c
3、os10AGH，故正确.D 选项，如下图若设 G 到平面 AEF 的距离、C 到平面 AEF 的距离分别为1h、2h，则由11133A GEFGEFG AEFAEFVAB SVh S且21133A CEFCEFC AEFAEFVAB SVhS，知122GEFCEFShhS，故正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为(0,2.2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由A GEFG AEFV
4、V、A CEFC AEFVV即可求 G、C 到平面 AEF 的距离比.2在正方体1111ABCDA B C D中，2AB，E、F 分别为1BB、CD 中点，P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的有（）A1A FAEB三棱锥1PAED的体积与点 P 位置有关系C平面1AED 截正方体1111ABCDA B C D的截面面积为 92D点1A 到平面1AED 的距离为2【答案】AC【分析】A 选项，取 AB 中点为G，根连接 FG，1AG，记1AG 与 AE 交点为O，根据线面垂直的判定定理，可得AE 平面1A FG，进而可得1A FAE；B 选项，证明1/BC平面1AED，即可判定 B 错；C
5、选项，补全截面，得到平面1AED 截正方体1111ABCDA B C D所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；D 选项，根据等体积法，由1111E AA DAAEDVV求出点到面积的距离，即可判定；【详解】A 选项，取 AB 中点为G，根连接 FG，1AG，记1AG 与 AE 交点为O，在正方体1111ABCDA B C D中，1AAAB，12A AGABE，因为 E、F 分别为1BB、CD 中点，所以 AGBE，/FG AD，因此1Rt A AGRt ABE，所以1AAGBAE，1AGAAEB，因此12OAGOGABAEAGA，因此2AOG，即1AEAG；又在正方体1111
6、ABCDA B C D中，AD 平面11ABB A，所以 FG 平面11ABB A，因 AE 平面11ABB A，所以 FGAE，又1AGFGG，1AG 平面1A FG，FG 平面1A FG，所以 AE 平面1A FG，因为1A F 平面1A FG，所以1A FAE；故 A 正确；B 选项，因为在正方体中11/AB C D，且11ABC D，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11/BCAD，又1BC 平面1AED，1AD 平面1AED，所以1/BC平面1AED，因此棱1BC 上的所有点到平面1AED 的距离都相等，又 P 是棱1BC 上的动点，所以三棱锥1PAED的体积始终为定值；故
7、 B 错；C 选项，取11B C 的中点为 M，连接 EM，1MD，则1/EM BC，且112EMBC，则1/EM AD；又正方体中，2AB，所以221215MDAE，112 2BCAD，因此1122EMBC，所以平面1AED 截正方体1111ABCDA B C D所得的截面为等腰梯形1EMD A，因此该等腰梯形的高为22113 25222ADEMhAM，所以该截面的面积为11922SADEMh；故 C 正确；D 选项，设点1A 到平面1AED 的距离为 d，因为1/BB平面11AA D D，所以点 E 到平面11AA D D的距离为2AB，即点 E 到平面11AA D 的距离为2，所以111
8、1211 1422233 23E AA DAA DVS，在1AED中，12 2AD，5AE，22212213ED，所以185910cos102 2 25EAD，因此13 10sin10EAD，所以111113 10sin2 2532210AEDSADAEEAD.又111111433E AA DAAEDAEDVVSd，所以43d，即点1A 到平面1AED 的距离为 43，故 D 错；故选：AC.【点睛】方法点睛：求空间中点到面积的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；（2）向量法：利用空间向量的
9、方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.3已知三棱锥 PABC中，O 为 AB 中点，PO 平面 ABC，90APB，2PAPB，则下列说法中正确的是（）A若O 为 ABC 的外心，则2PC B若 ABC 为等边三角形，则APBCC当90ACB 时，PC 与平面 PAB所成角的范围为 0,4D当4PC 时，M 为平面 PBC 内动点，若/OM平面 PAC，则M 在三角形 PBC 内的轨迹长度为2【答案】ACD【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断 A 正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断 B 错误；由线面角的定义
10、和转化为三棱锥的体积，求得 C 到平面 PAB 的距离的范围，可判断 C 正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得 D 正确.【详解】依题意，画图如下：若O 为 ABC 的外心，则2OAOBOC，PO 平面 ABC，可得 POOC，2OPOAOB，故222PCPOOC，A 正确；ABC 若为等边三角形，APBC，又 APPB，BC 与 PB 相交于平面 PBC 内，可得 AP 平面 PBC，即 APPC，由 POOC，2OPOAOB，可得362OCAC，故22262 2PCPOOCAC，矛盾，B 错误;若90ACB，设 PC 与平面 PAB所成角为，由 A 正确，知2,2OCOAOBPC，
11、设C 到平面 PAB的距离为 d由C PABP ABCVV可得 11112 223232dAC BC 即有222 242ACBCAC BCd，当且仅当2ACBC取等号.可得 d 的最大值为2，2sin22d，即 的范围为 0,4，C 正确；取 BC 中点 N，PB的中点 K，连接,OK ON KN由中位线定理可得，/ONAC，/MNPC，则平面/OKN平面 PAC，由/OM平面 PAC，可得 M 在线段 KN 上，即轨迹122KNPC，可得 D 正确；故选：ACD【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理
12、或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.二、单选题4如图，在正方体1111ABCDA B C D中，棱长为 1，EF、分别为11C D 与 AB 的中点，1B 到平面1A FCE的距离为（）A32B63C105D305【答案】B【分析】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h，利用111 1BACFC A B FVV建立方程可求解.【详解】设点1B 到平面1A FCE 的距离为h 正方体棱长为 1，1152,3,22A FFCACEF，11 11261131 122422A CFA B FSS ，又111 1BACFC A B FVV，1611 13432h，解得63h 即点1B 到平
13、面1A FCE 的距离为63故选：B【点睛】方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高5如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，线段1AC 上有两个动点 EF、，且33EF，给出下列四个结论错误的选项是（）ACEBDB点C 到平面 BEF 的距离为22C BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积不是定值的三角形
14、D在平面 ABCD 内存在无数条与平面1DEA 平行的直线【答案】C【分析】利用 BD 平面1ACC，即可证明CEBD，即可判断选项 A；利用等体积即可求点C 到平面 BEF 的距离，即可判断选项 B；利用正投影特点即可判断选项 C；利用线面平行的性质定理即可判断选项 D.【详解】对于选项 A：由 BD AC且1BDCC，1ACCCC，所以 BD 平面1ACC，因为CE 平面1ACC，可得CEBD，故选项 A 正确；对于选项 B：因为点C 到直线 EF 的距离是2 1633，33EF，所以13622336CEFS为定值，点 B 到平面CEF 距离是 1222DB，所以三棱 BCEF体积是122
15、136218，因为三棱锥118C BEFB CEFVV，BEFCEFSS为，所以点C 到平面 BEF 的距离为22，故选项 B 正确；对于选项C：线段 EF 在底面 ABCD 内的正投影是GH，所以 BEF 在底面 ABCD 内的正投影是 BGHV，因为线段 EF 的长是定值，所以线段GH 的长也是定值，所以BGHV的面积是定值，故选项 C 不正确；多于选项 D：设平面 ABCD 与平面1DEA 的交线为l，则在平面 ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故选项 D 正确，故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以
16、及斜线的的长度，也可求点到面的距离.6正三棱柱111ABCA B C的所有定点均在表面积为8 的球O 的球面上，3AB，则1B 到平面1A BC 的距离为（）A1B 65C 4 35D 3【答案】B【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱1AA 的长，利用等体积法求得1B 到平面1A BC 的距离.【详解】设等边三角形 ABC 的外接圆半径为 R，由正弦定理得3221sinsin 3aRRA.由于球O 的表面积为8，故半径2r，所以侧棱长222122212AArR.在三角形1A BC 中，221117ABACAAAC，而3BC，所以三角形1A BC 的面积为2221113372222B
17、CBCAC.设1B 到平面1A BC 的距离为 h，由1111CABACBBBVV得21131132337322322h，解得65h.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.7如图，正四棱锥 PABCD的高为2，且底面边长也为2，则点 A 到平面 PBC 的距离为（）A 4 55B 2 55C54D52【答案】A【分析】结合正四棱锥的性质，利用A PBCP ABCVV，代入数据直接计算即可.【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面 ABCD 为正方形，连接 AC、BD，设交点为点O，连接 PO，则 PO 平面 ABCD，且2PO，底面对角线的长度
18、为 BD 22222 2，侧棱长度为 PB 22226，斜高22(6)15PM，11142 2 23323P ABCABCVSPO ，1125522PBCSBC PM，设点 A到平面 PBC 的距离为h，由A PBCP ABCVV，即 14533h，解得4 55h 故选：A.【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积掌握正棱锥的计算是解题关键8已知在正四棱柱1111ABCDA B C D中，2AB，12 2CC，E 为1CC 的中点，则点1C 与平面 BDE的距离为（）A2B 3C2D1【答案】D【分析】先证直线1AC 与平面 BED 平行，将线面距离转化为点面距离，结合
19、三棱锥体积公式，由等积性求出点面距离即可.【详解】如图所示，连接 AC 交 BD于O 点，E 为1CC 的中点，1/OEAC，又OE 平面 BED，1AC 平面 BED1/AC平面 BED，即直线1AC 与平面 BED 的距离为点 A 到平面 BED 的距离，设为h.在三棱锥 EABD中，1112 22 223323E ABDABDVSEC ，在三棱锥 A EBD中，12 2,6,6,2 2622 22EBDBDBEDES，所以112 22 2333A BDEEBDVShh，解得1h 故选：D.【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.9直三棱柱1
20、11ABCA B C的侧棱13CC，底面 ABC 中，90ACB，2ACBC，则点1B 到平面1A BC 的距离为（）A 3 1111B2211C 3 211D 3 2211【答案】D【分析】利用1111BA BCAB BCVV即可求解.【详解】因为三棱柱111ABCA B C是直三棱锥，所以1CC 平面111A B C，所以111CCAC，又因为90ACB，所以1111ACB C，因为1111CCBCC，所以11AC 平面1B BC，所以111111112 321332AB BCB BCVSAC，因为 BCAC，1BCCC，1ACCCC，所以 BC平面11ACC A，所以1BCAC，2212
21、311AC，112221122A BCS，设点1B 到平面1A BC 的距离为h，则1111BA BCAB BCVV，即11111221332BA BCA BCVShh，所以3 2211h，所以点1B 到平面1A BC 的距离为 3 2211，故选：D【点睛】本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.10已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，给出下列四个命题：对角线1AC 被平面1A BD 和平面11B CD、三等分；正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为1:2:3；以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是 16；正方体与以 A 为球心，
22、1 为半径的球的公共部分的体积是6 其中正确的序号是（）ABCD【答案】D【分析】对，画出图象，设对角线 AC 与平面1A BD 相交于点 M，则 AM 平面1A BD，用等体积的方法计算出AM，从而证得1AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分；对，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对，显然111112CA BDCB CDVV1316；对，正方体与以 A为球心，1 为半径的球的公共部分是球的 18.【详解】如图所示，假设对角线 AC 与平面1A BD 相交于点M，可得 AM 平面1A BD，所以2213112113432AM ，解得13
23、133AMAC，因此对角线 AC 被平面1A BD 和平面11B CD 三等分，正确；易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为 12，22，32，因此表面积之比为222123444=1:2:3222：，正确；111112CA BDCB CDVV1316，不正确；正方体与以 A为球心，1 为半径的球的公共部分的体积3141836V，正确，故选：D【点睛】本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.11如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D中，122
24、AAAB，则点C 到平面1BDC 的距离为（）A 2 23B 23C73D2【答案】B【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法111133BDCBCDSdSCC，即可求出答案【详解】解：设点C 到平面1BDC 的距离为 d，122AAAB，由题意，BCD 的面积1111 1222BCDSBC CD ，在1BDC 中，易求得2BD，115BCDC，由余弦定理得15524cos5255BC D，13sin5BC D，11111sin2BDCSBC DCBC D13355252，又11C BDCCBCDVV，即111133BDCBCDSdSCC，111222332BCDBD
25、CSCCdS，故选：B【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题三、解答题12已知四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD.（1）求证：PA 平面 ABCD；（2）若244PAABAD，求点 A到平面 PBD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4 2121.【分析】（1）由平面 PAB 平面 ABCD，ADAB，可得 AD 平面 APB，从而得 PAAD，同理可得PAAB，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）得 PAAD，PAAB，进而可求出2cos5PBD，21sin5PBD，
26、从而可得1sin212PBDSPB BDPBD，再利用等体积法可求出点 A 到平面 PBD 的距离【详解】（1）平面 PAB 平面 ABCD，ADAB，所以 AD 平面 APB，故 PAAD.同理，平面 PAD 平面 ABCD，ADAB，所以 AB 平面 PAD，故 PAAB.故 PA 平面 ABCD.（2）由（1）可知，PAAD，PAAB，由244PAABAD可求得，5BD，17PA，2 5PB.PBD，2222cos25PBBDPDPBDPB BD，21sin5PBD，1sin212PBDSPB BDPBD.三棱锥 A PBD的体积11143323A PBDD PABPABVVSADPA
27、AB AD.设 h 为点 A到平面 PBD 的距离，则12133A PBDPBDVShh，所以得21433h，故4 2121h.所以点 A到平面 PBD 的距离为 4 2121.【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离的求法，解题的关键是利用等体积法进行转化，从而可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题13在多面体 ABCDE 中，1ADBE，2ABBC，/AD BC，3DAB，2ABE，平面ABCD 平面 ABE（1）证明：BCDE；（2）求直线 BC 与平面 DCE 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）5719【分析】（1）连接 DB，通过 ADDB和 E
28、BAD证明 AD 平面 DBE，即得 ADDE，再由/AD BC 得BCDE；（2）过C 点作CGAB交 AB 的延长线于G，连接 EG，根据等体积法求出点 B 到平面 DCE 的距离，即可求出直线 BC 与平面 DCE 所成角的正弦值【详解】解：（1）连接 DB，在ABD中，2222cos3BDADABAD ABDAB，则3BD，所以，222ADBDAB，即2ADB，ADDB，又因为平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，且 EBAB，所以 EB 平面 ABCD，因为 AD 平面 ABCD，所以 EBAD，由 ADDB，EBAD，DBEBB，且 DB，BE 平面 DBE
29、，所以有 AD 平面 DBE，因为 DE 平面 DBE，所以 ADDE，又因为/AD BC，所以 BCDE（2）过C 点作CGAB交 AB 的延长线于G，连接 EG，/AD BC，3DAB，3CBG，由90CGB，可得：3sin60232CGBC，1cos60212BGBC ，1BE ，90EBG，2EG，平面 ABCD 平面 ABE，面 ABCD面 ABEAB，CGAB，CG 面 ABE，又 EG 平面 ABE，CGEG，90CGE，2225CECGGE，5CE，由（1）可知，ADDE，2224DEAEAD，即2DE，由（1）可知，AD 平面 DBE，所以 ADBD，3BD，/AD BC，B
30、CBD，2227CDBDBC，即7CD，可知2222227524cos227535DCCEDEDCEDC CE，1619sin13535DCE，111919sin7522235DCESDCCEDCE，1123313323E BCDBCDVSBE，由等体积：E BCDB CDEVV，所以，3133CDESh，则3119332h，解得2 319h，设直线 BC 与平面 DCE 所成角为，则2 35719sin219hBC【点睛】关键点睛：第一问考查线线垂直的证明，解题的关键是利用线面垂直的性质证明；第二问考查线面角的求法，解题的关键是通过等体积法求出点 B 到平面 DCE 的距离，再由sinhBC
31、 求出.14如图，直二面角 DABE中，四边形 ABCD 是边长为2 的正方形，AEEB，F 为CE 上的点，且 BF 平面 ACE.（1）求证：AE 平面 BCE；（2）求二面角 BACE的大小；（3）求点 D 到平面 ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）6arcsin 3；（3）2 33.【分析】要证明 AE平面 BCE，需要在平面 BCE 内找两条相交直线都垂直于 AE，而易证 BFAE，CBAE；(2)求二面角 BACE的余弦值，需要先作角，连接 BD 交 AC 交于 G，连接 FG，可证得BGF是二面BACE的平面角，在 BFG 中求解即可；(3)求点 D 到平面 ACE
32、 的距离，可以转化为求三棱锥 DACE 的高用等体积法求出即可【详解】证明：BF 平面 ACE，平面 ACE平面 BCECE,BFAE，二面角 DABE为直二面角，平面 ABCD 平面 ABE，又 BCAB，BC平面 ABE，BCAE，又 BF 平面 BCE，BFBCB，AE 平面 BCE；(2)连结 AC、BD交于G，连结 FG，ABCD 为正方形，BDAC，BF 平面 ACE，FGAC，FGB为二面角 BACE的平面角，由(1)可知，AE 平面 BCE，AEEB，又 AEEB，2AB，2AEBE，在 Rt BCE中，226CEBCBE，2 2263BC BEBFCE，在正方形中，2BG，在
33、直角三角形 BFG 中，263sin32BFFGBBG，二面角 BACE为6arcsin 3；(3)由(2)可知，在正方形 ABCD 中，BGDG，D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离，BF 平面 ACE，线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离，即为 D 到平面 ACE 的距离，D 到平面 ACE 的距离为 22 333.【点睛】思路点睛：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角 BACE的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解:作出二面角的平面角证明作出的角即为所求二面角的平面角.（2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解（
34、3）得出答案.15如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD 为正方形，平面 PCD 平面 ABCD，且2PCPD，2CD.（1）证明：PC 平面 PAD；（2）求点 D 到平面 PAB的距离【答案】（1）证明见解析；（2）2 55.【分析】（1）由面面垂直的性质可得 AD 平面 PCD，进而可得 ADPC，结合平面几何的知识可得 PCPD，由线面垂直的判定即可得证；（2）取CD 的中点O，连接 PO，OA，BD，作 PHAB于 H，结合锥体的体积公式利用等体积法即可得解.【详解】（1）证明：平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，ADCD，AD 平面 ABCD，AD 平面
35、 PCD，又 PC 平面 PCD，ADPC，在 PCD 中，2PCPD，2CD，222PCPDCD，PCPD，PDADD，PD,AD 平面 PAD，PC 平面 PAD；（2）设点 D 到平面 PAB的距离为h，取CD 的中点O，连接 PO，OA，BD，作 PHAB于 H，如图，则 POCD平面 PCD 平面 ABCD，平面 PCD平面 ABCDCD，PO 平面 ABCD，112POCD，5OA，在 POA 中，6PA，同理，6PB，PAB是等腰三角形，5PH，由D PABP ABDVV1133PABABDShSPO，AB PH hAB AD PO，即2 54h，解得2 55h，点 D 到平面
36、PAB的距离为 2 55【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是空间位置关系性质与判定的应用及等体积法解决点面距离.16如图，圆柱的轴截面 ABCD 是正方形，点 E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AFDE，F 是垂足.（1）证明：AFDB；（2）若2AB，当三棱锥 DABE体积最大时，求点C 到平面 BDE 的距离.【答案】（1）详见解析；（2）233【分析】（1）要证明线线垂直，需证明线面垂直，根据题中所给的垂直关系，证明 AF 平面 DEB；（2）首先确定点 E 的位置，再根据等体积转化求点到平面的距离.【详解】（1）由圆柱性质可知，DA 平面 ABE，EB 平面 AEB，DAEB，AB
37、Q是圆柱底面的直径，点 E 在圆周上，AEEB，又 AEDAA，BE 平面 DAE，AF 平面 DAE，EBAF，又AFDE，且 EBDEEI，AF平面 DEB，DB 平面 DEB，AFDB；（2）13D AEBAEBVSDA，3DA，当D AEBV 最大时，即AEBSV最大，即AEB是等腰直角三角形时，2DAAB，2BE，22226DE，并且点 E 到平面 ABCD 的距离就是点 E 到直线 AB 的距离 112 AB,设点C 到平面 EBD 的距离为h，则1111262 2 13232C DBEE CBDVVh ，解得：233h【点睛】方法点睛：本题重点考查垂直关系，不管证明面面垂直还是证
38、明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含 1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直.17如图，在四棱锥 PABCD中，/AB CD，ABBC，2CDAB，PA 平面 ABCD，E 为 PD的中点（）证明：/AE平面 PBC；（）若2PACD，求点 E 以平面 PBC 的距离【答案】（）证明见解析；（）2 55.【分析】（）取CD 的中点 F，连接 EF，AF，根据面面平行的判定定理，先证平面/AEF平面 PBC，进而可证线面平行；（）根据题中条件，先求出三棱锥的体积，再设点 D 到平面 PBC 的距离为
39、d，根据体积公式，即可求出点到面的距离.【详解】（）取CD 的中点 F，连接 EF，AF 因为 E 为 PD的中点，所以/EF PC，又 EF 平面 PBC，PC 平面 PBC，所以/EF平面 PBC 因为2CDAB，所以 ABCF又/AB CD，所以四边形 ABCF 是平行四边形，所以/BCAF，因为 AF 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以/AF平面 PBC；因为 EFAFF，且 EF 平面 AEF，AF 平面 AEF，所以平面/AEF平面 PBC；因为 AE 平面 AEF，所以/AE平面 PBC（）因为 E 是 PD的中点，所以点 E 到平面 PBC 的距离是点 D 到平面 PBC
40、距离的 12 因为 PA 平面 ABCD，ABBC，PAABA，所以 BC平面 PAB所以 BCPB所以1112223323BCDP BCDVSPABCBC 三棱锥在 Rt PAB 中，1AB ，224 15PBPAAB，所以15522PCBSBCBC设点 D 到平面 PBC 的距离为 d，则 152323dBCBC，解得4 55d 所以点 E 到平面 PBC 的距离是 2 55【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查等体积法求点到面的距离，属于常考题型.18如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是菱形，060ABC，FA 平面 ABCD，/,22.FAED ABFAED（1）求二面
41、角 FBCA的大小的正切值；（2）求点 E 到平面 AFC 的距离；（3）求直线 FC 与平面 ABF 所成的角的正弦值.【答案】（1）2 33；（2）3；（3）64.【分析】（1）过 A 作 AGBC于点 G，则AGF为二面角 FBCA的平面角，求其正切值即可；（2）设点 E 到平面 AFC 的距离为 h，利用等体积法计算即得结果；（3）作CHAB于点 H，则CFH为直线 FC 与平面 ABF 所成的角，求其正弦值即可.【详解】解：（1）过 A 作 AGBC于点 G，连接 FG，四边形 ABCD 是菱形，60,2ABCAB，ABC为等边三角形，1BGGC,3AG.FA 平面 ABCD，BC
42、平面 ABCD，FABC，又AGBC，AGFAA，BC平面 AFG，BCFG-AGF为二面角 FBCA的平面角，22 3tan33AFAGFAG；2 连接 AE，设点 E 到平面 AFC 的距离为 h，则E ACFC AEFVV，即 11333ACFAEFshS，也就是 111133232AF AC hAF AD，解得：3h；(3)作CHAB于点 H，连接 FH，ABC为等边三角形，H为 AB 的中点，221,3,5AHCHFHFAAH，FA 平面 ABCD，CH 平面 ABCD，FACH，又,CHAB ABAFA，CH平面 ABF，CFH为直线 FC 与平面 ABF 所成的角，36sin42
43、 2CHCFHCF【点睛】求空间中二面角的常见方法为：（1）定义法：过一个平面上的一点作另一个平面的垂线，再往交线上作垂线，找到二面角的平面角，计算即可；（2）向量法：利用两个平面的法向量，计算其夹角的余弦值，再判断求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.19如图，在四棱锥 PABCD中，PD 平面 ABCD，1PDDCBC，2AB，/ABDC，90BCD，求点 A到平面
44、 PBC 的距离.【答案】2【分析】先求出三棱锥 PABC的体积1133ABCVSPD，再根据A PBCP ABCVV求解.【详解】连结 AC，设点 A到平面 PBC 的距离为h，/ABDC，90BCD，90ABC，从而2AB，1BC ，得 ABC 的面积1ABCS，由 PD 平面 ABCD 及1PD ，得三棱锥 PABC的体积1133ABCVSPD，PD 平面 ABCD，DC 平面 ABCD，PDDC，又1PDDC，222PCPDDC，由 PCBC，1BC ，得 PBC的面积22PBCS，由1133A PBCP ABCPBCVVSh得2h，故点 A到平面 PBC 的距离等于2.【点睛】方法点
45、睛：点到平面的距离常见求法：几何法：作出点 P 到平面的垂线后求出垂线段的长，常要把垂线段放到三角形中去解三角形；等体积法：根据体积相等求出点到面的距离；如求点 P 到平面 ABC 的距离，如果已知点C 到平面 PAB的距离，则可以根据CPAABCP BVV 求出点C 到平面 PAB的距离；向量法：已知 AB 是平面 的 一条斜线，n 为平面 的法向量，则 A 到平面 的距离为|AB ndn.20棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，E、F 分别是棱1AA、1BB 中点，求点1B 到平面1D EF 的距离.【答案】55【分析】利用等体积法列方程，解方程求得点1B 到平面1D EF
46、的距离.【详解】依题意22115122D E，11/A BEF 11/A B平面1D EF，点1B 到平面1D EF 的距离即为点1A 到平面1D EF 的距离，根据正方体的性质可知1EFD E，设点1B 到平面1D EF 的距离为h，1111AD EFF A D EVV，即111111113232EFD EhA DA EEF，即11111152552A DA EhD E，即点1B 到平面1D EF 的距离为55.【点睛】要求点到平面的距离，可利用等体积法列方程，通过解方程来求得点面距.21在棱长为 a 的正方体1111ABCDA B C D中求出下列距离：（1）点 A到面11BB C C 的
47、距离；（2）线段11B D 到面 ABCD 的距离；（3）点 A到面11BB D D 的距离；（4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a；（2）a；（3）22 a；（4）33 a.【分析】（1）利用正方体的性质，即可求得点 A 到面11BB C C 的距离；（2）利用线面平行的性质，即可求得线段11B D 到面 ABCD 的距离；（3）利用线面垂直的性质，即可求得点 A到面11BB D D 的距离；（4）利用等体积法，即可求得C 到平面1BDC 的距离.【详解】（1）因为正方体1111ABCDA B C D，则 AB 平面11BB C C，所以点 A到面11BB C C 的距离为边长
48、ABa=；（2）因为11B D 平面 ABCD，且1B B 平面 ABCD，所以线段11B D 到面 ABCD 的距离为1B Ba；（3）因为 AC 平面11BB D D，所以点 A到面11BB D D 的距离为面对角线的 AC 的 12，即22 a；（4）设C 到平面1BDC 的距离为 h，三棱锥1CBDC的体积为 V，在1BDC中，112BDDCBCa，则1BDC的面积为2233(2)42aa，利用等体积法可得：211133232Vaaaah ，所以33ha22如图，四边形 ABCD 是正方形，MA 平面 ABCD，/MAPB，且2PBAB（1）求证：/DM平面 PBC；（2）求点 C 到
49、平面 APD 的距离【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（）利用面面平行的判定定理证明平面/AMD平面 BPC，再利用面面平行的性质定理即可证明/DM平面 PBC；（2）先证明 AD 平面 ABPM，设点C 到平面 APD的距离为d，利用等体积法得13P ACDC APDAPDVVd S，通过计算即可得 d.【详解】（）因为四边形 ABCD 是正方形，所以/BCAD，又 BC 平面 PBC，AD 平面 PBC，/AD平面 PBC，因为/MAPB，同理可证/MA平面 PBC，,ADMAA AD MA平面 AMD，所以平面/AMD平面 PBC，又因为 DM 平面 AMD，所以/DM平面 PB
50、C；（2）因为 AM 平面 ABCD，AM AD，PB 平面 ABCD，又 AD AB，AMABA，AD 平面 ABPM，AD AP又2 2AP，设点C 到平面 APD的距离为 d111422 23323P ACDACDVPB S 又13P ACDC APDAPDVVd S12 2 22 22APDS 142 233d;2d 即点C 到平面 APD的距离为2【点睛】方法点睛：证明直线与平面平行可通过证明直线与直线平行或平面与平面平行来证明.23如图，在平行六面体1111ABCDA B C D中，以顶点 A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60，M 为11AC 与11B D 的交点.若
51、 ABa，ADb，1AAc，设平面 ABC 的法向量 naybzc（1）用,a b c 表示 BM；（2）求n 及 n 的长度；（3）求点 M 到平面 ABC 的距离【答案】（1）1122BMabc；（2）3abcn rrrr；|n 6；（3）63.【分析】（1）根据向量减法法则和平行四边形法则，即可求得 BM；（2）由n 是平面 ABC 的法向量，得00n an b，即可求出3abcn rrrr，再利用向量的模长公式可求 nr.（3）由1/A M平面 ABC，所以点 M 到平面 ABC 的距离等于点1A 到平面 ABC 的距离，即c ndnr rr即可求出.【详解】（1）连接1A B,AC，
52、1AC，如图：ABa，ADb，1AAc在1A AB，根据向量减法法则可得：11BAAAABca底面 ABCD 是平行四边形，ACABADab11/ACAC 且11ACAC，11ACACab又M 为线段11AC 中点，1111122AMbACa在1A MB 中，11111222BMBAAMcaaabcb（2）顶点 A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是601cos602a ba b ，s2c160oaacc，s2c160obbcc由 n 是平面 ABC 的法向量，得00n an b，即11102211022yzyz，解得1,3yz 3bnac rrrrabca ba cb cn rrrr
53、 rr rrrr222+9+2666（3）因为1/A M平面 ABC，所以点M 到平面 ABC 的距离等于点1A 到平面 ABC 的距离所以2113362236636c ac bccabcc ndn r rr rrrrrrr rr【点睛】关键点睛：本题主要考查了向量的线性表示和求向量的模长，解题关键是掌握向量减法法则和平行四边形法则，及其向量的数量积公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.24如图，在四棱柱1111ABCDA B C D中，1AA 平面 ABCD，底面 ABCD 满足/AD BC 且12,2 2ABADAABDDC.（1）求证：AB 平面11ADD A；（2）求直
54、线 AB 与平面11B CD 所成角的正弦值；（3）求点1C 到平面11B CD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；（3）2 63【分析】(1)证明1AAAB，根据222ABADBD得到 ABAD，得到证明.(2)如图所示，分别以1,AB AD AA 为,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量1,1,2n，2,0,0AB，计算向量夹角得到答案.(3)设点1C 到平面11B CD 的距离为h，运用等体积法1111 11CB CDC B C DVV，可求得点1C 到平面11B CD 的距离.【详解】(1)1AA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，故1AAAB.
55、2ABAD，2 2BD，故222ABADBD，故 ABAD.1ADAAA，故 AB 平面11ADD A.(2)如图所示：分别以1,AB AD AA 为,x y z 轴建立空间直角坐标系，则0,0,0A，2,0,0B，1 2,0,2B，2,4,0C，1 0,2,2D.设平面11B CD 的法向量,nx y z，则11100n B Cn B D，即420220yzxy，取1x 得到1,1,2n，2,0,0AB，设直线 AB 与平面11B CD 所成角为，故26sincos,62 6n ABn ABnAB.所以直线 AB 与平面11B CD 所成角的正弦值66；（3）设点1C 到平面11B CD 的
56、距离为h，则1111 11CB CDC B C DVV，而1 111 111111822 22 23323C B C DB C DVSCC，又222211242 5BCBBBC，22221122 22 3D CDDDC，112 2B D，所以2221111B DD CB C，所以111B DD C，所以11111112 22 32 622B CDSB DDC.所以111111182 6333CB CDB CDVShh，解得2 63h，所以点1C 到平面11B CD 的距离为 2 63.【点睛】本题考查证明线面垂直，求线面角的正弦值，运用等体积法求点到面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能
57、力，属于中档题.25如图，已知 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，M、N 分别为 AB、PC 的中点，,2,2PAAD ABAD.（1）求证：平面 MPC平面 PCD；（2）求三棱锥 BMNC的高.【答案】（1）证明见解析；（2）22.【详解】（1）取 PD的中点G，连接 NG，AG，如图所示：因为G，N 分别为 PD，PC 的中点，所以/GN CD，1=2GNCD.又因为 M 为 AB 的中点，所以/AM CD，1=2AMCD.所以/AM GN，=AM GN，四边形 AMNG 为平行四边形，所以/AG MN.又因为222 13PMPAAM，221 23MCMBBC.所以 PMMC，则 M
58、NPC.又因为 ADPA，G 为 PD中点，所以 AGPD.又因为/AG MN，所以 MNPD.所以MNPDMNPCMNPCPDP平面 PCD.又 MN 平面 MPC，所以平面 MPC 平面 PCD.（2）设点 B 到平面 MNC 的距离为h，因为B MNCN MBCVV，所以 111332MNCMBCShSPA.因为1222MBCSBC MB，1122122MNAGPD，223 12NCMCMN，所以1222MNCSMN NC.所以 1212232322h，解得22h.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了面面垂直的证明和三棱锥的高，属于中档题，其中等体积转化B MNCN MBCVV为解决本题的
59、关键.26如图所示，在三棱锥 PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O 为 AC 的中点.（1）证明：PO 平面 ABC；（2）若点 M 为棱 BC 的中点，求点 C 到平面 PAM 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）4 9331.【分析】（1）由正三角形性质得 POAC，由勾股定理逆定理证 POOB，从而得线面垂直；（2）利用体积法P AMCC PAMVV可求得点 C 到平面 PAM 的距离【详解】（1）证明：因为4APCPAC，O 为 AC 的中点，所以OPAC，且2 3OP.如图，连接 OB，因为22ABBCAC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且OBAC，122OBAC
60、，由222OPOBPB知，OPOB，由OPOB，OPAC，知 PO 平面 ABC.（2）如图所示，因为点 M 为棱 BC 的中点，所以在 ABM 中，10AM，又 PO 平面 ABC，在 POM 中，2OM，14PM，在PAM中，由余弦定理得，2cos35PMA，则31sin35PMA，所以131101431235PAMS，设点 C 到平面 PAM 的距离为 d，由P AMCC PAMVV，得 1114 1 2 331323d ，所以4 9331d，所以点 C 到平面 PAM 的距离为 4 9331.【点睛】本题考查证明线面垂直，求点到平面的距离立体几何中求点到平面距离的方法：（1）作出点到平
61、面的垂线，求出垂线段的长；（2）在三棱锥中用体积法计算；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求解P 到平面 ABC 的距离，设n 是平面 ABC 的一个法向量，则 P到平面 ABC 的距离等于 PA nn（A 点可以是平面 ABC 内的任意一点）27如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为菱形，PA 平面 ABCD，E 为 PD上的动点.（1）确定 E 的位置，使/PB平面 AEC；（2）设1PAAB，3PC，根据（1）的结论，求点 E 到平面 PAC 的距离.【答案】（1）E 为 PD的中点；（2）24.【分析】（1）E 为 PD的中点，连接 BD交 AC 于点O，连接OE，则/OE
62、PB，故而/PB平面 AEC；（2）点 E 到平面 PAC 距离等于点 D 到平面 PAC 距离的 12 倍，由1122E PACD PACP ACDVVV可得答案.【详解】（1）E 为 PD的中点.证明：连接 BD，使 AC 交 BD于点 O，取 PD的中点为 E，连接 EO，O，E 分别为 BD，PD的中点，/OE PB.又OE 平面 AEC，PB 平面 AEC，/PB平面 AEC.（2）222ACPCPA，222ABBCAC，ABBC，即菱形 ABCD 为正方形.又点 E 到平面 PAC 距离等于点 D 到平面 PAC 距离的 12 倍，设点 E 到平面 PAC 的距离为 h，1122E
63、 PACD PACP ACDVVV，11111121 1132322h 解得24h.【点睛】本题考查了线面平行的判定，等体积法求棱锥的高，属于基础题28如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 是正方形，ADDE，4AD，2DEEF，且3EDC（1）求证：AD 平面CDEF；（2）求直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值；（3）设 M 是 CF 的中点，棱 AB 上是否存在点 G，使得/MG平面 ADE？若存在，求线段 AG 的长；若不存在，说明理由【答案】（1）答案见详解；（2）64；（3）存在，3AG.【分析】(1)由 ADDC和 ADDE，利用线面垂直的判定定理即证结论；(2)
64、先根据等体积法计算点 B 到平面 ADE 的距离 d，再利用正弦等于 dBD即得结果；(3)先取 DC，AB 上点 N，G 使得 CN=BG=1，证明平面 MNG/平面 ADE，即得/MG平面 ADE，3AG.【详解】解：（1）证明：正方形 ABCD 中，ADDC，又 ADDE，DCDED，,DC DE 平面CDEF，所以 AD 平面CDEF；（2）设直线 BD 与平面 ADE 所成角为，点 B 到平面 ADE 的距离 d，则sindBD.依题意，4 2BD，由（1）知 AD 平面CDEF，得平面 ABCD 平面CDEF，故点 E 到平面 ABCD的距离1sin33hDE，RtADE中，112
65、 4422ADESAD DE，又114 4822ABDSAD AB，故根据等体积法B ADEE ABDVV，得11133ADEABDSdSh，即832 34d，故2 36sin44 2dBD，故直线 BD 与平面 ADE 所成角的正弦值是64；（3）/ABDC，DC 平面CDEF，AB 平面CDEF，/AB平面CDEF，又平面CDEF平面 ABEFEF，AB 平面 ABEF，/ABEFCD.分别取 DC，AB 上点 N，G，使得 CN=BG=1，又/CNBG，故四边形 CNGB 是平行四边形，/BCNG，又 NG 在平面 ADE 外，BC 在平面 ADE 内，/NG平面 ADE，取 DC 中点
66、 H，则 DH=EF=2，又/DHEF，故四边形 EFDH 是平行四边形，/DEHF，又11142CNDCCH，M 是 CF 的中点，故 MN 是中位线，/DEHFMN，又 MN 在平面 ADE外，DE 在平面 ADE 内，/MN平面 ADE，因为 MN，NG 相交于平面 MNG 内，所以平面 MNG/平面 ADE，又 MG 平面 MNG，故此时/MG平面 ADE，3AG.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距
67、离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.29如图：在多面体 ABCDE 中，AB 平面 ACD，DE 平面 ACD，112ADACABDE，90DAC，F 是CD 的中点.（1）求证：/AF平面 BCE；（2）求点 D 到平面 BCE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2 33.【分析】（1）取CE 的中点 M，连结 MF，MB，证明四边形 ABMF 是平行四边形得到/AFBM，利用直线与平面平行的判定定理证明/AF平面 BCE（2）首先可证 AC 平面 BDE，再利用等体积法求出点 D 到平面 BCE
68、 的距离；【详解】解：（1）证明：取CE 的中点 M，连结 MF，MB，F 是CD 的中点/MFDE且12MFDEAB Q平面 ACD，DE 平面 ACD/ABDE，/MFAB12ABDEMFAB四边形 ABMF 是平行四边形/AFBM，AF 平面 BCE，BM 平面 BCE/AF平面 BCE（2）2BC，6CE，22112BE 2BCBEBMCE2222BMBCCM112362222BCESBM CE12 1 12BDES DE 平面 ACDDEAC又ADAC，DEADD，DE 平面 BDE，AD 平面 BDEAC 平面 BDE，记点 D 到平面 BCE 的距离为 dD BCEC BDEVV
69、1133BCEBDESdSAC2 33BDEBCESACdS点 D 到平面 BCE 的距离为 2 33【点睛】本题考查空间几何体的体积，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的判断与证明，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，属于中档题30如图，ABCD 是正方形，点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上（P 不与 B，C 重合），E 为线段 BC 的中点，现将正方形 ABCD 沿 BC 折起，使得平面 ABCD 平面 BCP.（1）证明：BP 平面 DCP.（2）若2BC，当三棱锥 DBPC的体积最大时，求 E 到平面 BDP 的距离.【答案】（1）见解析；（2）33【分析】（1）由面面垂直
70、的性质定理，可得 DC 平面 BPC，进而有 BPDC，再由已知可得，BPPC，即可得证结论；（2）由体积公式，要使三棱锥 DBPC的体积最大时，P 为弧 BC 的中点，求出,PB CP，进而求出,BPDBEFSS，用等体积法E BDPD BEPVV，即可求解.【详解】（1）证明：因为平面 ABCD 平面,BPC ABCD是正方形，平面 ABCD平面 BPCBC，所以 DC 平面 BPC.因为 BP 平面 BPC，所以 BPDC.因为点 P 在以 BC 为直径的半圆弧上，所以 BPPC.又 DCPCC，所以 BP 平面 DCP.（2）当点 P 位于 BC 的中点时，BCP的面积最大，三棱锥 DBPC的体积也最大.因为2BC，所以1PE ，所以 BEP的面积为 111 122 ，所以三棱锥 DBEP的体积为 1112323.因为 BP 平面 DCP，所以 BPDP，22(2 2)(2)6DP，BDP的面积为 12632.设 E 到平面 BDP 的距离为 d，由 11333d，得33d，即 E 到平面 BDP 的距离为33.【点睛】本题考查线面垂直的证明，空间中垂直的相互转化是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.
