1、专题27.23 位似（知识讲解）【学习目标】1.了解图形的位似，明确位似变换是特殊的相似变换；2.能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；【要点梳理】知识点1：位似图形概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心知识点2：位似图形的性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.特别说明：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规
2、律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.知识点3：平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的知识点4：作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接各对应点. 特别说明：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形
3、的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【典型例题】类型一、位似图形的识别1如图是与位似的三角形的几种画法，其中正确的有()A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据位似图形的性质判断即可解：由位似图形的画法可得：4个图形都是的位似图形故选：D【点拨】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键举一反三：【变式】下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（）ABCD【答案】D【分析】根据位似图形的定义解答即可解：A、B和C中的两个图形都是位似图形，A中的位似中心是点C， B中的位似中心是点O， C中的位似中心是点O. 只有选项D的对应顶点的连线相不交于一点，对应边不互相平行，故
4、D不是位似图像.故选D【点拨】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键类型二、判断位似中心2如图所示，将ABC的三边分别扩大一倍得到A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（） A（4，3）B（3，3）C（4，4）D（3，4）【答案】A【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心解：由图中可知，点P的坐标为（4，3）故选A【点拨】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心举一反三：【变式】如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（） AB
5、CD【答案】C【分析】根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心解：连接C1C，B1B，A1A并延长，交点P即为所求，由图可知：位似中心的坐标是：(0,1)，故选：C【点拨】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键类型三、位似图形的相关概念3如图，已知ABC与DEF位似，位似中心为点O，且ABC的面积等于DEF面积的，则AO：AD的值为（）A2：3B2：5C4：9D4：13【答案】B【分析】由ABC经过位似变换得到DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AB：DO2：3，进而得出答案解：ABC
6、与DEF位似，位似中心为点O，且ABC的面积等于DEF面积的，ACDF，故选B【点拨】此题考查了位似图形的性质注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方举一反三：【变式】按如下方法，将ABC的三边缩小到原来的，如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得DEF；则下列说法错误的是（）A点O为位似中心且位似比为1：2BABC与DEF是位似图形CABC与DEF是相似图形DABC与DEF的面积之比为4：1【答案】A【分析】根据位似图形的性质，得出ABC与DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ABC与DEF是相似图形，再根据周长
7、比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案解：如图，任取一点O，连结AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F，得DEF，将ABC的三边缩小到原来的，此时点O为位似中心且ABC与DEF的位似比为2：1，故选项A说法错误，符合题意；ABC与DEF是位似图形，故选项B说法正确，不合题意；ABC与DEF是相似图形，故选项C说法正确，不合题意；ABC与DEF的面积之比为4：1，故选项D说法正确，不合题意；故选：A【点拨】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键类型四、位似图形的相似比4如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，则_ 【答案】
8、解：四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，则 故答案为【点拨】本题考查的是位似变换的性质，掌握位似图形与相似图形的关系、相似多边形的性质是解题的关键举一反三：【变式】如图，与是位似图形， 点O是位似中心， 若，则_【答案】18【分析】由与是位似图形且由可得两位似图形的位似比为23，所以两位似图形的面积比为49，又由的面积为8，得的面积为18解：与是位似图形， ， 经检验：符合题意故答案为：【点拨】本题考查的是位似图形的性质，掌握利用位似图形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键类型五、画位似图形放大后的的位似图形5在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 （1）画出关于x轴成
9、轴对称的；（2）画出以点O为位似中心，位似比为12的【答案】（1）如图所示为所求；见分析； （2）如图所示为所求；见分析【分析】（）将的各个点关于x轴的对称点描出，连接即可（）在同侧和对侧分别找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的A2，B2，C2的坐标，连接即可解：（1）由题意知：的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则关于x轴成轴对称的的坐标为A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到如图所示为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，和在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C
10、2（2，2），连接各点，得第二种，在的对侧A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得综上所述：如图所示为所求； 【点拨】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应用是解题的关键举一反三：【变式】如图是的网格，网格中每个小正方形的边长都是1，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形（1）图1中的格点三角形与格点三角形相似吗？请说明理由；（2）请在图2中选择适当的位似中心画一个格点三角形，使与位似，且相似比不为1【答案】（1），理由见分析；（2）如图所示（答案不唯一），见分析【分析】（1）根据题意以及利用勾股定理求出三角形各
11、个边长，然后进一步得出对应边成比例求证三角形相似即可；（2）可选择A点为位似中心，然后进一步按要求画出位似图形即可.解：（1），理由如下：由题图，可知，则，；（2）如图所示： 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与位似图形的作图，熟练掌握相关概念是解题关键.类型六、求位似图形对应的坐标6如图，已知三个顶点的坐标是，（1）将绕原点顺时针旋转得，画出，并写出、的坐标；（2）和关于原点对称，画出；（3）以点为位似中心，将缩小为原来的，请直接写出点的对应点的坐标 【答案】（1）见分析，、；（2）见分析；（3）或【分析】（1）分别作出点A、B、C绕坐标原点O顺时针旋转90得到的对应点，再顺次连接可得；
12、（2）分别作出点A、B、C关于原点的对称点，顺次连接可得；（3）分两种情况写出即可.解：（1）如图所示，为所求；、（2）如图所示，为所求 （3）或【点拨】本题主要考查作图-中心对称变换、旋转变换、位似变换，解题的关键是根据中心对称变换和位似变换的点的坐标特征，确定变换后的对应点举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系网格中，将ABC进行位似变换得到A1B1C1（1）A1B1C1与ABC的位似比是 ；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2；（3）设点P（a，b）为ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在A2B2C2内的对应点P2的坐标是 【答案】（1）2；（2）作图见分析；（3）（2a
13、，2b）【分析】(1) 根据位似图形可得位似比即可；(2) 根据轴对称图形的画法画出图形即可；(3) 根据三次变换规律得出坐标即可解：(1) A1B1C1与ABC的位似比等于=；（2）如图所示(3)点P（a，b）为ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（2a，2b）考点：(1)、作图-位似变换；(2)、作图-轴对称变换类型七、坐标系中的位似图形7如图，分别以ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角DAC和等腰直角EBC，连接DE.（1）求证：DACEBC；（2）求ABC与DEC的面积比 【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证明DACEBC；（2）
14、依据DACEBC所得条件，证明ABC与DEC相似，通过面积比等于相似比的平方得到结果.（1）证明：EBC是等腰直角三角形BCBE，EBC90BECBCE45同理DAC90，ADCACD45EBCDAC90，BCEACD45DACEBC（2）解：在RtACD中， AC2AD2CD2，2AC2CD2, DACEBC，BCEACDBCEACEACDACE，即BCAECD，在DEC和ABC中，BCAECD，DECABC，SABC:SDEC.【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键在于利用（1）中的相似推导出第二对相似三角形.举一反三：【变式】在平面直
15、角坐标系中，的顶点坐标分别为、(1) 在坐标系中面出关于y轴的对称图形；(2) 在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形；(3) 求出的面积【答案】(1) 见分析 (2) 见分析 (3) 6【分析】（1）根据纵不变，横相反，确定对称点的坐标，依次连接各点，得到所求三角形；（2）根据位似比，确定坐标的绝对值，结合位置，确定坐标，依次连线，得到所求三角形；（3）先计算，利用面积之比等于相似比的平方，计算即可解：(1)的顶点坐标分别为、，各点关于y轴的对称点坐标依次为(0，2)，(-1，3)，(-2，1)，画图如下：则即为所求(2)的顶点坐标分别为、，位似比为2时的位似点坐标
16、依次为(0，-4)，(-2，-6)，(-4，-2)，则即为所求画图如下：(3)=，位似比为2，【点拨】本题考查了关于y轴对称，位似作图，位似比的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键类型八、坐标系中的位似图形8如图，ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）（1）在图中以点O为位似中心在原点的另一侧画出ABC放大2倍后得到的A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）请在图中画出ABC绕点O逆时针旋转90后得到的A2B2C2【答案】（1）A（2，6）；（2）见分析【分析】（1）把每个坐标做大2倍，并去相反数；（2）横纵坐标对调，并且把横坐标取相反数解：（1）如图，A1B1C1为所作
17、，A（2，6）；（2）如图，A2B2C2为所作 举一反三：【变式】如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4）C（2，6）.（1）画出ABC绕点A顺时针旋转90后得到的A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，画出将A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的A2B2C2【分析】（1）由A（1，2），B（3，4）C（2，6），可画出ABC，然后由旋转的性质，即可画出A1B1C1；（2）由位似三角形的性质，即可画出A2B2C2.解：（1）如图：A1B1C1即为所求；（2）如图：A2B2C2即为所求. 类型九、坐标系中画两个位似图形9如图，图中的小方格都是边长为1的正
18、方形， ABC与ABC是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上（1）画出位似中心点O；（2）求出ABC与ABC的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个A1B1C1，使它与ABC的位似比等于1.5 【答案】（1）见分析；（2）位似比为1：2；（3）见分析【分析】（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线AA、BB的交点就是位似中心O（2）根据ABC与ABC的位似比等于AB与AB的比，即可求解.（3）要画A1B1C1，先确定点A1的位置，因为A1B1C1与ABC的位似比等于1.5，因此OA1=1.5OA，所以OA1=9再过点A1画A1B1AB交O B于B1，
19、过点A1画A1C1AC交O C于C1解：（1）如图，O点即为所求，（2）ABC与ABC的位似比等于AB与AB的比，也等于AB与AB在水平线上的投影比，即3：6=1：2（3）如图，A1B1C1为所求. 举一反三：【变式】如图，DEF是ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC3.6 cm，OF2.4 cm，求它们的相似比 【答案】32.【分析】由DEF是ABC经过位似变换得到的，根据位似图形的对应顶点的连线过位似中心，即可确定点O的位置；然后由OC=3.6cm，OF=2.4cm，即可求得它们的相似比解：连接AD，CF交于点O， 则点O即为所求；OC3.6 cm，OF2.4 cm，OC：OF32，ABC与DEF的相似比为32.【点拨】本题考查了位似变换，熟知位似图形性质是解决问题的关键
