1、第4课时圆锥曲线中最值、定点综合问题课后训练案巩固提升A组1.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45的直线,则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.64解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45的直线方程为y=x-2,由y=x-2,y2=8x,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B2.已知点F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OAOB=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.1728
2、D.10解析:设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),由x=ty+m,y2=x,得y2-ty-m=0,y1y2=-m.OAOB=2,x1x2+y1y2=2,结合y12=x1及y22=x2,得(y1y2)2+y1y2-2=0,解得y1y2=-2或y1y2=1.点A,B位于x轴的两侧,y1y2=-2,故m=2.不妨令点A在x轴上方,则y10.又F14,0,SABO+SAFO=122(y1-y2)+1214y1=98y1+2y1298y12y1=3,当且仅当98y1=2y1,即y1=43时等号成立,所以ABO与AFO面积之和的最小值是
3、3.答案:B3.导学号90074104若AB为过椭圆x225+y216=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.48解析:不妨设F1为左焦点,即F1(-3,0).当直线AB斜率不存在时,F1AB的面积为S=1238=12;当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y得,(16+25k2)x2=400.令A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=0,x1x2=-40016+25k2.|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k21 60016+25k2.又点F1到直线AB的距离为d=|-3
4、k|1+k2,F1AB的面积为S=12d|AB|=12|3k|1+k21+k21 60016+25k2=60k216+25k2=60116k2+25b0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰为右焦点F,若13k12,则椭圆C的离心率的取值范围是.解析:由已知,得|AF|=a+c,点B在x轴上的射影恰为右焦点F,把x=c代入椭圆得|BF|=a2-c2a,所以k=tanBAF=|BF|AF|=a2-c2a(a+c)=a-ca.又13k12,即13a-ca12,所以131-e12,解得12e0),则x02-4x0=-4,解得x0=2;当直线l的斜率存在时,设直线l的
5、方程为y=kx+b,由y=kx+b,y2=4x,得ky2-4y+4b=0,得y1y2=4bk,则x1x2=y12y2216=b2k2,得b2k2+4bk=-4,bk=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).答案:(2,0)7.如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是点P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|PD|=2|MD|,当点P在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.(1)求证曲线C是焦点在x轴上的椭圆,并求其方程;(2)设椭圆C的右焦点为F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,直线F2A与
6、F2B的倾斜角互补,求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.解(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(xP,yP),由已知,得xP=x,yP=2y.点P在圆x2+y2=2上,x2+(2y)2=2,即x22+y2=1,曲线C是焦点在x轴上的椭圆,其方程为x22+y2=1.(2)由x22+y2=1,y=kx+m,消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-22k2+1.F2的坐标为(1,0),kF2A=kx1+mx1-1,kF2B=kx2+mx2-1,由直线F2A与F2B的倾斜角互补,得kF2
7、A+kF2B=0,即kx1+mx1-1+kx2+mx2-1=0,化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,2k2m2-22k2+1-4km(m-k)2k2+1-2m=0,整理得m=-2k.直线l的方程为y=k(x-2),直线l过定点,定点坐标为(2,0).8.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=22,点D(0,1)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0),求点G的横坐标t的取值范围.解(1)由题意,知b=1,e2=c2a2=a2-b2a
8、2=12,a2=2,a=2,椭圆E的方程为x22+y2=1.(2)设直线AB的方程为y=k(x-1)(k0),代入x22+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),则x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-21+2k2,x0=12(x1+x2)=2k22k2+1,y0=k(x0-1)=-k2k2+1.AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-1k(x-x0),令y=0,得t=x0+ky0=2k22k2+1-k22k2+1=k22k2+1=12-14k2+2.k0,0t2,点A在抛物线内部.设抛物线上点P
9、到准线l:x=-12的距离为d,由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PAl时,|PA|+d最小,最小值为72,即|PA|+|PF|的最小值为72,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.点P的坐标为(2,2).(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,由于直线x=-12即为抛物线的准线,根据抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|BF|,当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=12+122+(0-1)2=2,|PB|+d的最小值为2.10.如图,在ABC中,|AB|=|AC|=72,|BC|=2,以B,C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.(1)求椭圆的标准
10、方程;(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x-1)2+y2=2相交于M,N两点,试探究点M,N能否将圆E分割成弧长比为13的两段弧,若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.解(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0).|AB|=|AC|=72,|BC|=2,|BO|=|OC|=1,|OA|=|AC|2-|OC|2=494-1=352,B(-1,0),C(1,0),A0,352,P12,354.2a=|PB|+|PC|=12+12+354-02+12-12+354-02=94+74=4,a=2.又c=1,b2=a2-c2=3.椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)椭圆
11、的右顶点A1(2,0),圆E的圆心为E(1,0),半径r=2.假设点M,N能将圆E分割成弧长比为13的两段弧,则MEN=90,圆心E(1,0)到直线l的距离d=22r=1.当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,此时圆心E(1,0)到直线l的距离d=1,满足题意.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-2),即kx-y-2k=0,圆心E(1,0)到直线l的距离d=|k|k2+1=1,无解.综上,点M,N能将圆E分割成弧长比为13的两段弧,此时l的方程为x=2.B组1.(2016四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|
12、=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1解析:设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t0),Fp2,0,则FP=2pt2-p2,2pt,FM=x-p2,y.FM=13FP,x-p2=2p3t2-p6,y=2pt3,x=2p3t2+p3,y=2pt3.kOM=2t2t2+1=1t+12t1212=22,当且仅当t=22时等号成立.(kOM)max=22,故选C.答案:C2.在平面直角坐标系xOy中,点P为双曲线x2-2y2=1的右支上的一个动点,若点P到直线x-2y+2=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为()A.2B.32C.63D.263解析:因
13、为直线x-2y+2=0与双曲线x2-2y2=1的一条渐近线x-2y=0平行,所以c的最大值即为两平行直线间的距离,cmax=21+2=63,故选C.答案:C3.已知椭圆x2a2+y25=1(a为定值,且a5)的左焦点为F,直线x=m与该椭圆交于点A,B,FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.解析:设右焦点为F,直线x=m与x轴相交于点C,由椭圆的定义,知FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF|+2a-|BF|+|AB|=4a+|AB|-|AF|-|BF|.|AF|+|BF|AB|(当且仅当AB过点F时,取等号),4a+|AB|-|AF|-|BF|4a,当且仅当AB过
14、点F时,FAB周长最大,最大值为4a=12,a=3,e=ca=32-53=23.答案:234.已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若|PF1|2|PF2|的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是.解析:|PF1|2|PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a24a2+4a=8a,当且仅当|PF2|=2a时等号成立,而|PF2|c-a,即2ac-a,所以c3a,即e3.又e1,得1b0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N
15、两点.若当直线PQ的斜率为22时,|PQ|=23.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.解(1)当直线PQ的斜率为22时,|PQ|=23,此时可设Px0,22x0,x02+22x02=3,x02=2,2a2+1b2=1.e=ca=a2-b2a=22,a2=4,b2=2.椭圆C的标准方程为x24+y22=1.(2)以MN为直径的圆过定点(2,0),证明如下:设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且x024+y022=1,即x02+2y02=4.A(-2,0),直线PA的方程为y=y0x0+2(x+2),M0,2y0x0+2
16、.又直线QA的方程为y=y0x0-2(x+2),N0,2y0x0-2,以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+y-2y0x0+2y-2y0x0-2=0,即x2+y2-4x0y0x02-4y+4y02x02-4=0,x02-4=-2y02,x2+y2+2x0y0y-2=0,令y=0,则x2-2=0,解得x=2,以MN为直径的圆过定点(2,0).6.已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x=1,F是焦点,过点A(-2,0)的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,直线PF,QF分别交抛物线于点M,N.(1)求抛物线的方程及y1y2的值;(2)若直线PQ,MN的斜率都存在,记直线PQ
17、,MN的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.解(1)依题意,设抛物线方程为y2=-2px(p0),由准线x=p2=1,得p=2,所以抛物线方程为y2=-4x.由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),则k1k2=y1-y2x1-x2x3-x4y3-y4=y1-y2y12-4-y22-4y32-4-y42-4y3-y4=y3+y4y1+y2.设直线PM的方程为x=ny-1,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4.故k1k
18、2=y3+y4y1+y2=-4y1+-4y2y1+y2=-4y1y2=-4-8=12,为定值.7.导学号90074105已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率是12,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,A1BA2的面积为23.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:x=22与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|DF|恒为定值.解(1)由已知,得ca=12,ab=23,a2=b2+c2,解得a=2,b=3.故所求椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0).设
19、P(x0,y0),依题意-2x02,于是直线A1P的方程为y=y0x0+2(x+2),令x=22,则y=(22+2)y0x0+2,即|DE|=(22+2)|y0|x0+2|.又直线A2P的方程为y=y0x0-2(x-2),令x=22,则y=(22-2)y0x0-2,即|DF|=(22-2)|y0|x0-2|.所以|DE|DF|=(22+2)|y0|x0+2|(22-2)|y0|x0-2|=4y02|x02-4|=4y024-x02.(*)又P(x0,y0)在椭圆C上,所以3x02+4y02=12,即4y02=12-3x02,代入(*)式,得|DE|DF|=3(4-x02)4-x02=3,所以|DE|DF|为定值3.
