1、专题25 奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则.说明：1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）是的重心.（2）是的内心.（3）是的外心.（4）是的垂心.3.需记忆三角形的四心与向量关系：（1）是重心，是平面内任一点， 是重心（2）是垂心，若是垂心，则（3）是外心，若是外心，则若是外心，则对于平面内任意点，均有： （4）是内心，是内心，是内心4.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.5.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用【典型例题】例1 在中，
2、分别为内角，的对边，为的外心，且有，若，则_【答案】或【解析】由正弦定理得，所以，即，由条件得，联立解得，或.当时，由，得，即，所以. 同理，由，得，即，即，所以. 联立解得. 故. 当时，同理可得 ， 解得.例2 为三角形内部一点，均为大于1的正实数，且满足，若分别表示的面积，则为（ ）A BCD【答案】【解析一】由，如图设，即是的重心，同理可得，所以故选：【解析二】由，由奔驰定理得：故选：例3 在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=b=4，c=6，I是ABC中内切圆的圆心，若，则【答案】【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得，而，所以另一方面，对上式两
3、边同时作数量积得：，易知，所以，所以.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为整理为：由奔驰定理得解之得.点评： 解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例4 已知是的重心，且满足，则 = .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心由正弦定理，由余弦定理， .例5 设H是ABC的垂心，若，则的值为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为，由三角形垂心的向量定理得设，由代入得，解之得所以又因为，所以.例6 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）A. B
4、. 直线必过边中点C. D. 若，且，则【答案】ACD【解析】对于A，插入点A，所以；对于B，若直线过边的中点，则，由上知，不成立；对于C，由奔驰定理知；对于D，由得，两边平方得.例7 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，若ABC的外接圆的圆心为，且满足，则的值为 .【答案】【解析】，即，对两边同时点乘得：，即由正弦定理知.【巩固练习】1.已知P是ABC所在平面内一点，若，则P是ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心2.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，R，则P点的轨迹一定经过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3点
5、P在ABC内部，满足230，则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D534点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A.， B.， C.， D.，5.设O是ABC的内心，ABc，ACb，BCa，若则（ ）A B C D6.已知O为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为3，则的值为（ ）ABC2D37.在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，a=5，b=12，c=13，I是ABC内切圆的圆心，若，则=_8.在ABC中，AB=3，BC=4，AC=5， I是ABC内切圆的圆心，若，则=_9.已知是锐角的外接圆圆心，则实数的值为_10.已知是
6、所在平面内一点，且满足，则= .11.在中，点分别为的重心和外心，且，则的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能12.已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率为_.13.(多选题)对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.过点的直线交，于，若，则D.与共线14.设H是ABC的垂心，若，则的值为 .15.设P是ABC的外心，且，（），若CA=2CB，则的值为 .16.在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是( )A. B. C. D. 17.已知点G是的重心，
7、且，则的值为 .18.已知点G是的重心，且，则的最大值为 .19.在中，已知点O、G分别是的外心、重心，且，则面积的最大值为 .20.已知为圆上的三点，线段的延长线与线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围为ABCD【答案与提示】1.【答案】D【解析】由，可得()0，即0，同理可证，.P是ABC的垂心.2.【答案】C【解析】设BC的中点为M，则，则有，即.P的轨迹一定通过ABC的重心.3.【答案】C【解析】根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.4.【答案】A【解析】根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A.5.【答案】A【分析】根据奔驰定
8、理的内心恒等式，利用向量的线性运算可以求得.进而根据平面向量基本定理中的唯一性可得到的值，进而得解.【解析】O是ABC的内心，ABc，ACb，BCa则，所以，所以，所以.又，所以，所以.6.【答案】C【解析】由奔驰定理得，解之得，选C7.【答案】8.【答案】9.【答案】10.【答案】11.【答案】B【解析】在中，点分别为的重心和外心，取的中点，连接，则三点共线，如图所示，.，即，.又，.由余弦定理，得，是钝角三角形.故选B.12.【答案】【解析】因为，所以.如图，在上取一点，使得，连接，则，则点为上靠近点的三等分点，所以，所以.不妨设，则，则，所以，设，由余弦定理得，即，得，所以.13.【答案
9、】ACD【解析】对于A，由垂径定理可知，外心在上的射影为线段的中点，所以，故A正确；对于B，若，由，则，即，同理，即点为的垂心.又为的垂心，则有，故B不正确；对于C，因为、三点共线，故存在实数，使得，又为的重心，故，所以，则，故C正确；对于D，因为，所以与垂直，又为的垂心，则与垂直，所以与共线，故D正确，故选ACD.14.【答案】【解析一】（利用三点共线）如图，取的中点为，则，故H、C、D三点共线，H是ABC的垂心 CDAB在RtADC中， 另一方面，同理得 联立得.【解析二】（抓住垂心概念，充分利用垂直，点乘，三化二）对两边点乘得，同理，对两边点乘得，.由联立得15.【答案】【解析一】，取，
10、则，所以E、F、P三点共线又F是弦BC的中点，故EFBC所以.【解析二】（点乘作数量积）对两边点乘得，CA=2CB 对两边点乘得，CA=2CB 16.【答案】C【解析】因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有： ，令与重合，及得，故选C17.【答案】【解析】（其中是边BC的中点），由中线长定理得，.18.【答案】【解析】取边BC的中点为，则，由中线长定理得，即，故（当且仅当时，“=”成立）所以的最大值为.19.【答案】【解析】，所以，由余弦定理得（当且仅当b=c时，“=”成立）（当且仅当b=c时，“=”成立）所以面积的最大值为.20.【答案】D【解析】因为，所以，由此可知，向量与向量，的一端三点共线，由图象及平面向量共线定理易知的取值范围为
