1、专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点是ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题【典型例题】例1 如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是 【答案】【解析】设，由极化恒等式得，解之得可得，因此
2、，因此点评： 紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2 已知是边长为2的等边三角形，是平面内一点，则的最小值为 【答案】【分析】本题的难点在于如何将“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式.【解析】设，则，在上所以如图，取中点为，由极化恒等式得在，由余弦定理得所以当，即为中点时，所以的最小值，此时为中点.例3 如图所示，矩形ABCD的边AB=4，AD=2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B、E)上的一点，则的取值范围是 .【答案】【分析】取AB的中点设为O，则，然后利用平几知识确定PO的
3、取值范围，代入即可.【解析】取AB的中点设为O，则，当O、P、C共线时， PO取得最小值为；当P 与B（或E）重合时，PO取得最大值为PO=2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足，点是圆内一点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可.【解析】由得在平行四边形中，故易知四边形是菱形，且设四边形对角线的交点为E由极化恒等式得所以因为是圆内一点，所以所以，即，选A.例5 在ABC中，AC2BC4，ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN1，若的最小值为，则cosACB 【答案】【分析】取MN的中点P，由极化恒等式将
4、“的最小值为”转化为AB边上的高CH=1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得的最小值为 由平几知识知：当CPAB时，CP最小.如图，作CHAB，H为垂足，则CH=1又AC2BC4，所以B30o，sinA=所以cosACBcos（150o A）=.H例6 已知直角三角形ABC中，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）A B C D【答案】D【解析】设中点为，则，又因为，所以，故选：D.例7 正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（）ABCD【答案】A【分析
5、】由条件及极化恒等式入手，设的中点为，则，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.【解析】设的中点为，则由极化恒等式得，所以，故点的轨迹是以为球心，为半径的球被面所截得的半圆，当点在半圆弧的最高点时，三棱锥的体积最大，此时易求得与平面所成角的正弦值为.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5.若7，则_.2矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .3.若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值为_.4.已知平面向量a，b，e满足|e|1，ae1，
6、be2，|ab|2，那么ab的最大值为_5.在中，已知，则面积的最大值是 6.已知单位向量，满足，则的值为（ ）ABCD17. 已知，且向量与的夹角为120，又，则的取值范围为（ ）ABCD8.已知平面向量满足，那么的最小值为_9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为_10.在中，若是所在平面内的一点，且，则的最大值为_.11.已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为_.12.已知正方形ABCD的边长为1，中心为O，直线l经过中心O，交AB于点M，交CD于点N，P为平面上一点，若2(1)，则的最小值为_.13.设点P为正三角形ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，
7、sinPAC的值为_14.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上移动，AB2，若点P满足2，则OP的取值范围为_15.在ABC中，E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若ABC的面积为2，则2的最小值是_16.在半径为1的扇形AOB中，若AOB60，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_17. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， 的取值范围是_18. 已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，
8、则的取值范围是（ ）A B C D【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由得，. 2.【答案】【提示】设矩形的对角线交点为O，由，得，.3.【答案】【解析】根据极化恒等式得：，故，所以的最小值为4.【答案】54【提示】 由ae1，be2得: ae be3，即（ab）e3，|ab|cosq3ab=14|ab|2|ab|2545.【答案】【提示】取BC的中点为D，则，所以因为BC边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值6.【答案】A【解析】，如图，设中点为，则，且，三点共线，为等腰三角形，.故选：A.7. 【答案】C【解析】连结，则设的中点为，由，易知
9、，所以故，故选：C8.【答案】【解析】由，得，即 又（其中为向量与的夹角） 所以 所以.9.【答案】10.【答案】【提示】方法同上.11.【答案】12.【答案】13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【解析】如图，取OB的中点D，连接PD，则PD2OD2PD2，即求PD的最小值由图可知，当PDOB时，PDmin，则的最小值是.17.【答案】0,2【解析】由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径设内切球的球心为O，则2221.由于P为正方体表面上的动点，故OP1，所以0,218.【答案】B【解析】设的中点为，则由极化恒等式得因为，点是球面上任意一点所以所以 ,故选B.
