1、专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、 理解一元二次方程根与系数的关系；2、 灵活运用韦达定理解决有关式子的变形运算。【知识点梳理】考点1 一元二次方程的根与系数：根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理【典例分析】【考点1 一元二次方程的根与系数】 【例1】（2022三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px20的一个解为x12，则另一个解x2为（）A1B1C2D2【变式1-1】（2021秋临海市期末）若一元二次方程x25
2、x+k0的一根为2，则另一个根为（）A3B4C5D6【变式1-2】（2021榕江县模拟）已知关于x的一元二次方程5x2+kx60的一个根是2则另一个根是（）ABC3D3【变式1-3】（2022南海区一模）若x5是方程x26x+k0的一个根，则此方程的另一个根是（）A1B2C3D4【例2】（2021贵港）已知，是一元二次方程x2+x20的两个实数根，则+的值是（）A3B1C1D3【变式2-1】（2022春玉山县月考）方程x2+3x40的两根分别为x1，x2，则x1+x2等于（）A4B4C3D3【变式2-2】（2022东坡区校级模拟）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x50的两个实数解，则的
3、值为（）ABC1D【变式2-3】（2022东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x25x10的两个实数根，则m26mn+2022的值是（）A2016B2018C2020D2022【例3】（2021秋蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当时，求m的值【变式3-1】（2021秋大冶市期末）已知关于x的方程kx23x+10有实数根（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x24x2时，求k的值【变式3-2】（2022珠海二模）已知关于x的一元二次方程x24x+k10有实数根（1）求k的取值范
4、围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x2210，求k的值【变式3-3】（2021梅州模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由专题2.5 一元二次方程的根与系数关系（知识解读）【直击考点】 【学习目标】3、 理解一元二次方程根与系数的关系；4、 灵活运用韦达定理解决有关式子的变形运算。【知识点梳理】考点1 一元二次方程的根与系数：根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个
5、根或未知系数时，可以用韦达定理【典例分析】【考点1 一元二次方程的根与系数】 【例1】（2022三水区一模）关于x的一元二次方程x2+px20的一个解为x12，则另一个解x2为（）A1B1C2D2【答案】B【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px20的一个解为x12，x1x22，即2x22，解得：x21故选：B【变式1-1】（2021秋临海市期末）若一元二次方程x25x+k0的一根为2，则另一个根为（）A3B4C5D6【答案】A【解答】解：设另一根为a，一元二次方程x25x+k0的一根为2，a+25，解得：a3，则另一根为3故选：A【变式1-2】（2021榕江县模拟）已知关于x的一元二次方程
6、5x2+kx60的一个根是2则另一个根是（）ABC3D3【答案】A【解答】解：设方程的另一个根为t，根据题意得2t，解得t故选：A【变式1-3】（2022南海区一模）若x5是方程x26x+k0的一个根，则此方程的另一个根是（）A1B2C3D4【答案】A【解答】解：设另一根为a，由根与系数的关系得：5+a6，解得：a1故选：A【例2】（2021贵港）已知，是一元二次方程x2+x20的两个实数根，则+的值是（）A3B1C1D3【答案】B【解答】解：，是方程x2+x20的两个实数根，+1，2，+1+21，故选：B【变式2-1】（2022春玉山县月考）方程x2+3x40的两根分别为x1，x2，则x1+
7、x2等于（）A4B4C3D3【答案】C【解答】解：方程x2+3x40的两根分别为x1，x2，x1+x23，故选：C【变式2-2】（2022东坡区校级模拟）已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x50的两个实数解，则的值为（）ABC1D【答案】B【解答】解：x1，x2分别为一元二次方程x2+4x50的两个实数解，x1+x24，x1x25故选：B【变式2-3】（2022东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x25x10的两个实数根，则m26mn+2022的值是（）A2016B2018C2020D2022【答案】B【解答】解：m是一元二次方程x25x10的根，m25m10，m25m1，m、n是一元
8、二次方程x25x10的两个根，m+n5，m26mn+2022m25mmn+202215+20222018故选：B【例3】（2021秋蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根x1，x2（1）求m的取值范围；（2）当时，求m的值【答案】（1）m1且m0； （2）4【解答】解：（1）关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，0且m0，即（2）24m（1）0且m0，解得：m1且m0；（2）关于的一元二次方程mx2x10有两个不相等的实数根x1，x2，x1+x2，x1x2，x12+x22x1x2+1，（x1+x2）22x1x2x1x2+1，即（x1+x2）23
9、x1x2+1，（）2+1，即m23m40，解得：m14，m21，经检验，m1，m2都是分式方程的解，m1且m0，m的值为4【变式3-1】（2021秋大冶市期末）已知关于x的方程kx23x+10有实数根（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x1x24x2时，求k的值【答案】（1）k (2)1【解答】解：（1）当k0时，原方程为3x+10，解得：x，k0符合题意；当k0时，原方程为一元二次方程，该一元二次方程有实数根，（3）24k10，解得：k，综上所述，k的取值范围为k；（2）x1和x2是方程kx23x+10的两个根，x1+x2，x1x2，x1+x1x24x
10、2，即x1+x2+x1x24，+4，解得：k1，经检验，k1是分式方程的解，且符合题意k的值为1【变式3-2】（2022珠海二模）已知关于x的一元二次方程x24x+k10有实数根（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x2210，求k的值【答案】（1）k5 （2）4【解答】解：（1）根据题意得（4）24（k1）0，解得k5；（2）根据根与系数的关系得x1+x24，x1x2k1，x12+x2210，（x1+x2）22x1x2422（k1）10，解得k4，k5，k4故k的值是4【变式3-3】（2021梅州模拟）关于x的方程有两个不相等的实数根（1）求m的取值范围；（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）k5 (2)原方程无解，故不存在【解答】解：（1）由，得m1又m0m的取值范围为m1且m0；（5分）（2）不存在符合条件的实数m（6分）设方程两根为x1，x2则，解得m2，此时0原方程无解，故不存在（12分）
