1、专题2.13 等腰三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）一、单选题1如图，中，是边上的高，是延长线上一点，平分，若，则下列等式一定成立的是（）ABCD2两个等腰直角三角形如图所示摆放，连结，且相交于点E，则下列结论错误的是（）ABCD3如图，直角三角形ABC中，ACBC，AD是ABC的角平分线，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿ACB和A一BC方向运动，并在边BC上的点E相遇，连接AE，AE平分ABC的周长，AE是ABD的角平分线，AE是ABD的中线以上结论正确的有（）ABCD4在ABC中，已知D为直线BC上一点，若ABCx，且CDCAAB，则y与x之间不可能存在的关系式是（）Ay9
2、0xByx90Cy180xDy120x5如图，在中，为的平分线，垂足为，且，则与的关系为（）ABCD6如图，在中，点在边上，过点作，交，于，两点，连接，以点为顶点作，使得，下列结论：；其中正确的有（）个A1B2C3D47如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，若，周长最小时，之间的关系是（）ABCD8如图，在ABC的右侧以AC为边构造等腰RtACD，其中CAD为90，在BC的延长线上取一点E，使ADEACB若DEBC，且四边形ACED的面积为8，则AB的长为（）A2B4CD89如图，在中，平分交于点，过点作于点，连接，下列结论正确的是（）A若，则B若，则C若
3、，则D过点作于点，则10如图，已知ABC中，ABAC，将ABC绕点A沿逆时针方向旋转n（0nBAC）得到ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：ABFAEH；连接AG、FH，则AGFH；当ADBC时，DF的长度最大；当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AFGH其中正确的个数有（）A4个B3个C2个D1个二、填空题11如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、，设（），当取得最小值时，则_（用含的代数式表示）12如图，等腰的直角顶点D恰好为等腰底边中点，且点E，F分别在AB，AC上，若，则EF的最小值为 13如图，在直角三角形中，D为线段
4、上一点，连接过点A作，连接，当平分时，延长至点F使得，连接若且，则 14如图1是两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，且点，在同一条直线上，连接现有一只壁虎以的速度从处往处爬，壁虎爬到点所用的时间为 15如图，在平面直角坐标系中，点，点A为线段CE上一动点，以AO为斜边作等腰直角（点A、O、B以顺时针排列），点D在射线BO上，若以点D，C，O构成的三角形和全等，则 16如图，是的垂直平分线，设，（1）若，则 （2）已知，则和满足的数量关系是 17已知中，取中点作等腰三角形，（如图所示），取的中点作等腰三角形，再取的中点作等腰三角形，以此类推，（点、在直线上）则 1
5、8如图，已知平分平分，点在上，连接交于点，若，以下四个结论：；其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）三、解答题19在八年级上册“轴对称图形”一章69页中我们曾做过“折纸与证明”的数学活动：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法请用你所学知识解决下列问题将（）沿折叠，使点C刚好落在边上的点E处（1）图1中，则_；_；（2）如图2，若，试说明：20已知线段，如图1所示在利用尺规作图探究三角形全等的判定方法的过程中，小颖的作图过程是这样的：作，在射线上截取，以为圆心，以长为的半径画弧，交射线于点（点在点左侧）连接（1）请在图2中，利用尺规补充完整小颖的作图过程；（2）在（1）完成的作图中，直
6、接写出与中，相等的角和相等的边；（3）在（1）完成的作图中，与之间的大小存在怎样的数量关系？请用等式表示出来，并说明理由21（此题需要写出括号内的定理理由，已知、已证、已作、等量代换、等式性质这五条理由不需要写）如图，已知，作且，联结，过点作的垂线（垂足为点），与过点作的垂线交于点，联结（1）求证：是等腰直角三角形；（2）连接，求证：平分22如图，与交于点B，与交于点D，连接，（1）若于D，于B，求的度数（2）若是等腰三角形，平分，试说明的理由23如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，交于点F，（1）说明：；（2）若平分，求的面积；（3）判断，之间的数量关系，并加以说明.24如图，在中，过点
7、A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F（1）求证：；（2）连接，若G为线段的中点，连接（i）试判断的形状，并说明理由；（ii）连接，记的面积分别为，若，求的值参考答案1B【分析】过点C作于点F，易证（AAS），得到，进而得到，因此由于得到，又，得到，因此，所以由得，变形得到【详解】如图，过点C作于点F是高，平分在和中（），在中，又，即故选：B【点拨】本题只要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，正确作出辅助线是解题的关键2C【分析】利用证明，得到进而推出，得到，推出，利用同底得到三角形的面积比等于高线比，进行判断即可【详解】解：均为等腰直角三角形，故选项正确；故B选项正确；
8、即：，故D选项正确；，；故C选项错误；综上，错误的为C选项；故选C【点拨】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键3B【分析】过点D作DFAB于点F，根据题意可得AC+CE=AB+BE，进而可以判断正确；根据AD是ABC的角平分线，DFAB，DCAC，可得DF=DC，然后证明RtADFRtADC，可得AF=AC，然后根据线段的和差可得BE=DE，可得AE是ABD的中线，进而判断正确，若也成立，则AEBC，茅盾，故不成立即可解决问题【详解】解：如图，过点D作DFAB于点F，动点M、N同时从A点出发，以相同的速度分别沿ACB和ABC方向
9、运动，并在边BC上的点E相遇，AC+CE=AB+BE，AE平分ABC的周长，故正确；AD是ABC的角平分线，DFAB，DCAC，DF=DC，在RtADF和RtADC中，RtADFRtADC（HL），AF=AC，B=45，DFB=90，DFB是等腰直角三角形，DF=BF，AB=AF+FB=AC+CD，AC+CE=AB+BE，AB+BE=AC+CD+DE，BE=DE，AE是ABD的中线，故正确，BE=DE，若AE是ABD的角平分线，则AEBC，而AE不垂直BC，AE不是ABD的角平分线，故错误综上所述，结论正确的有故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关
10、键是得到RtADFRtADC4D【分析】分三种情况：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上时来求解由，可表示出的度数，又由三角形外角的性质，可得，则可得，进而求出y与x的关系式；先确定出，最后根据三角形的内角和得出y与x的关系式；同的方法即可得出y与x的关系式即可求解【详解】解：当点D在边BC上时，即：（取等号时B、D重合）；当点D在BC的延长线上时，如图1，在中，即：；当点D在CB延长线上时，如图2，在中，（取等号时B、D重合）综上所述，y与x之间存在的关系式是：或或，所以A、B、C项正确，故选：D【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角
11、形的性质，三角形的外角的性质，关键是分三种情况讨论：当点D在边BC上时，当点D在BC的延长线上时，当点D在CB延长线上时5C【分析】延长AE交BC于F，根据角平分线的定义和垂直的定义得到ABEFBE，AEBFEB90，根据全等三角形的性质得到BFAB5，AEEF3，BAEBFE，推出AFCF，根据等腰三角形的性质得到CAFC，根据三角形的外角的性质即可得到结论【详解】解：延长AE交BC于F，如图所示：BD为ABC的平分线，AEBD，ABEFBE，AEBFEB90，在ABE与FBE中，ABEFBE（ASA），BFAB5，AEEF3，BAEBFE，AFAE+EF=6，BC11，CFBC-BF=6，
12、AFCF，CAFC，AFBCAFC2C，BAE2C，故C正确故选：C【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键6D【分析】由平行线的性质和等腰三角形的性质即可判断A；证明BEGEDF，即可判断；得到BG=EF，再由，得到A=BEG=EDF，即可判断；证明AEFEGB得到AE=EG，则，即可判断【详解】解：AB=AC，ABC=ACB，BDE=ACB，EBD=EDB，EB=ED，故正确；，BEG=EDF，又1=2，EB=DE，BEGEDF（ASA），故正确；BG=EF，A=BEG=EDF，故正确；AED=1+EG
13、B=2+AEF，BGE=AEF，又BG=EF，1=AFE，AEFEGB（ASA），AE=EG，故正确，故选D【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键7C【分析】连接AP，根据线段垂直平分线的性质可知PA=PC，由，即得出，由此可知当A、P、D在同一直线上时，最小再根据等腰三角形“三线合一”的性质可知AD为的平分线，即最后根据三角形外角性质即得出，由此即可判断【详解】如图，连接AP，直线MN是线段AC的垂直平分线，且P在线段MN上，PA=PC，,由图可知CD为定值，当A、P、D在同一直线上时，最小，即为的长，此时最小D是边BC的
14、中点，AB=AC，AD为的平分线，即，故选C【点拨】本题考查线段垂直垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形外角性质根据题意理解当A、P、D在同一直线上时最小是解题关键8B【分析】连接AE，根据SAS证明，得出，求出为等腰直角三角形，即可求出AB的长【详解】如图，连接AE，是等腰直角三角形，在与中，是等腰直角三角形，即，解得：故选：B【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线，找全等三角形进行代换是解题的关键9A【分析】如图1中，作于只要证明即可；如图2中，作于只要证明即可得出错误；因为，推出点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到
15、这样的点；如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可由于缺少条件无法证明，故错误，【详解】解：A、如图1中，作于，故A正确，符合题意；B、如图2中，作于同理可知，故B错误，不符合题意C、，点在线段的垂直平分线上，当时，也能找到这样的点故C错误，不符合题意；D、如图3中，在上取一点，使得，欲证明，只要证明，只要证明即可由于缺少条件无法证明，故D错误，不符合题意，故选：A【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题10A【分析】根据SAS可证ABFAEH，可判断；证AFAH，FG
16、HG，可证AF垂直平分FH，可判断；当AF最小时，DF最长，即ADBC时，DF最大可判断；S四边形AFGH2SAGH2GHAH，可判断【详解】解：在ABF和AEH中，ABFAEH（SAS），故正确；ABFAEH，AFBAHE，AFAH，DFGCHG，ADAC，DFCH，DFGCHG，FGGH，AG垂直平分FH，故正确；由DFADAF，AD是定长，AF最小时，DF最长，即ADBC时，DF最大故正确；当点H是DE的中点时，有AHDE，AFAH，FGGH，且AG是公共边，AFGAHG（SSS）S四边形AFGH2SAGH2GHAH，故正确故选A【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的
17、判定与性质、垂线段最短、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键11【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，解答即可【详解】解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，如图所示：作A关于和的对称点，分别记作和，作A关于和的对称点，分别记作和，是等腰三角形，即，作A关于和的对称点，分别记作和，当取得最小值时，即三点共线，此时，即当取得最小值时，则，故答案为：【点拨】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键12【分析】当时，最小，此时可求出的最小值.【详解】解：三
18、角形为等腰直角三角形，,又D为等腰底边的中点，当最小时，最小，此时，又，故答案为：.【点拨】本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握相关性质，此类题目便可迎刃而解131.8【分析】延长到点G，使，证明，得，再证明，然后根据即可求出的长【详解】延长到点G，使，则，在和中，平分时，故答案为：1.8【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，以及平行线的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键146【分析】通过证明三角形全等从而证明，再求出时间即可【详解】、为等腰直角,在和中时间为：故答案为6【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等的判定与性质，掌握这些是本题解题关键1
19、5或/或【分析】由点的坐标得出，则，分两种情况画出图形，若，若，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案【详解】解：点，如图1，若，此时点A与点E重合，；如图2，若，为等腰直角三角形，综合以上可得或故答案为：或【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键16 【分析】（1）由“”可证，可得；（2）由全等三角形的性质可得，由线段和差关系可证，可得，由三角形内角和定理可得结论【详解】解：（1）是的垂直平分线，在和中，（），故答案为：60；（2）由（1）可知：，又，故答案为：【点拨】本题考查了全等三
20、角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键17【分析】根据三角形外角定理推理出规律即可得到答案【详解】由题知，后续所作的三角形都是等腰三角形，得：，则， 故答案为：【点拨】本题考查等腰三角形的性质与规律问题，能准确找到规律并运用好三角形外角定理是关键18【分析】根据三线合一定理得到，由此即可判断；证明得到，进而推出，利用三角形内角和定理可得，即可判断；由全等三角形的性质可得，进一步证明，得到，即可推出，即可判断；再证明，由三角形外角的性质即可得到，即可判断【详解】解：平分，故正确；，平分，又，故正确；，又，故错误；，故正确；故答案为：【
21、点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键19(1)2，12（2）见解析【分析】（1）根据折叠性质和三角形的面积公式求解即可；（2）由折叠性质和三角形的外角性质证得，再根据等角对等边证得，进而可证得结论【详解】（1）解：由折叠性质得：，故答案为：2，12；（2）解：由折叠性质得，又，【点拨】本题考查了折叠性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠性质是解答的关键20(1）见解析（2）相等的角为：，相等的边为(3)，理由见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）根据操作及等边对等角即可求解；（3）利用
22、平角定义即可求解【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）由作图过程可知：，则，即：相等的角为：，相等的边为；（3），理由如下：由（2）可知，又，【点拨】本题考查尺规作图作线段，等边对等角等知识点，根据题意作出图形是解决问题的关键21(1）见解析（2）见解析【分析】（1）由等角的余角相等可得，由可得，通过证明，得到，即可得证；（2）连接，作，交于，通过证明得到，即可得证【详解】（1）证明：，（对顶角相等），（等角的余角相等），在和中，（全等三角形的性质），是等腰直角三角形（等腰直角三角形的判定）；（2）证明：如图，连接，作，交于，由（1）可得：，在和中，（三角形全等的判定），（三角形全等的性
23、质），（等边对等角），平分【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定，角平分线的判定，添加适当的辅助线，是解题的关键22(1)（2）见解析【分析】（1）证明，再利用平行线的性质可得答案；（2）证明，可得，从而可得答案【详解】（1）解：于D，于B，又，（2）是等腰三角形，又CB平分，【点拨】本题考查的是平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定方法是解本题的关键23(1）见解析(2)的面积为45(3)；理由见解析【分析】（1）根据，即可证明结论；（2）过点F作于点G，求出，得
24、出，证明，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式求出；（3）在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，即可证明结论【详解】（1）证明：，又，；（2）解：过点F作于点G，如图所示：，平分，；（3）解：；理由如下：在上截取，连接，如图所示：在和中，根据解析（2）可知，【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明，24(1）证明见解析(2)（i）是等腰直角三角形，理由见解析；（ii）【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角的余角相等证明，由此即可证明；（2）（i）如图所示，连
25、接，先证明是等腰直角三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而证明，可证明，得到，再证明，即可证明是等腰直角三角形；（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，设，先得到，证明，得到，则可得，；证明，得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，求出则【详解】（1）证明：，又，；（2）解：（i）是等腰直角三角形，理由如下：如图所示，连接，是等腰直角三角形，G为线段的中点，即，是等腰直角三角形；（ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，设，是等腰直角三角形，即，又，；，又，；，是等腰直角三角形，【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键
