1、专题2-2 费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一 普通费马点最值问题题型二 加权费马点单系数型题型三 加权费马点多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图ABC所有的内角都小于120度，在ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，当的值最小时，求此时APB与APC的度数.【问题处理】如图1，将ACP绕着点C顺时针旋转60度得到ACP，则ACPACP，CPCP，APAP，又PCP 60，PCP是等边三角形，PPPC， PAPBPC PAPBPP，如图2，当且仅当点B、P、P、A共线时，PAPBPC最小，最小值为AB，此时BPCAPCAPB120【问题归纳】
2、如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点费马点结论： 对于一个各角不超过120的三角形，费马点是对各边的张角都是120的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心； 对于有一个角超过120的三角形，费马点就是这个内角的顶点【如何作费马点】如图3，连接AA，我们发现ACA为等边三角形，点P在AB上，同理，我们可以得到等边BAB，点P也在CB上，因此，我们可以以ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于120时）【例1】如图，在ABC中，ACB=90，AB=AC=1，P是ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值【练习1】 如图，已知矩形ABCD，AB
3、=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【加权费马点】如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。【类型一 单系数类】当只有一条线段带有不为1的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度：对应旋转90，对应旋转120另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比【例3】在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求的最小值 【练习2】在RtABC中，AC3，BC2，P为三角形ABC内部一点，求的最小值【类
4、型二 多系数类】其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的。以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的，对于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？我们总结了以下方法：1.将最小系数提到括号外；2.中间大小的系数确定放缩比例；3.最大系数确定旋转中心（例如最大系数在PA前面，就以A为旋转中心），旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。 【例3】 如图，在ABC中，在ABC内部有一点P，连接，则（1）的最小值为_；（2）的最小值为_【练习3】如图，在ABC中，在ABC内部有一点P，连接，则的最小值为_题型一 普通费马点最值问题1 （2021滨州）如图，在AB
5、C中，ACB90，BAC30，AB2，点P是ABC内一点，则的最小值为_CABP2 问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PAPCPE问题解决：如图2，在MNG中，MN6，M75，MG，点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是_3 如图，在ABC中，CAB90，ABAC2，P是ABC内一点，求PAPBPC的最小值4 已知，在ABC中，ACB30 ，AC4，AB点P是ABC内一动点，则PAPBPC的最小值为_ 5 如图，已知矩形ABCD，AB4，BC6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MAMDME的最小值为_6
6、A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长度（APBPPQDQCQ）最小，则应当如何修建？最小长度是多少？2023随州中考真题7 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中处从“直角”和“等边”中选择填空，处从“两点之间线段最短”和
7、“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，处填写角度数，处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由，可知为 三角形，故，又，故，由 可知，当B，P，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺
8、设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为_元（结果用含a的式子表示）广东省江门市一模8 如图，在中，点为内部一点，则点到三个顶点之和的最小值是 武汉中考9 问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE问题解决：如图2，在MNG中，MN=6，M=75，MG=，点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是_2023四川宜宾中考真题10 如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论： 当时，；当的面积为时，；当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的
9、值最小，最小值的平方为其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）一题四问，从特殊到一般11 背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”如图1，当三个内角均小于120时，费马点P在内部，当时，则取得最小值(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、转化到一个三角形中，从而求出_；知识生成：怎样找三个内角均小于120的三角形的费马点呢？为此我们只
10、要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点请同学们探索以下问题(2)如图3，三个内角均小于120，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点(3)如图4，在中，点P为的费马点，连接、，求的值(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、，且边长；求的最小值题型二 加权费马点单系数型2023武汉慧泉中学校月考12 如图，中，点P为内一点，连接，则的最小值为 .西安市铁一中二模13 已知，如图在中，在内部有一点D，连接DA、DB、DC则的最小值是 2023成都市郫都区中考二模14 如图，矩形中，点是的中点，点是边上一动点将沿着翻折，使得点落在点处，若点是矩形内一动点，连接、，则的最小值为 题型三 加权费马点多系数型15 在边长为4的正ABC中有一点P，连接PA、PB、PC，求（APBPPC）的最小值 16 在等边三角形ABC中，边长为4，P为三角形ABC内部一点，求3AP4BPPC的最小值成都七中育才学校月考17 在中，的角平分线交于，过作射线的垂线，垂足为，连接，当取大值时，在内部取点，则的最小值是 一题八问，练到位18 如图，在中，在内部有一点P，连接、（加权费马点）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值.
