1、2020-2021学年高二数学上学期期中考测试卷02（人教B版2019）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.为（ ）A2B-2CD【答案】A【解析】因为直线与垂直，所以，得.2双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线方程得，则，则双曲线的离心率，3已知点是直线上的动点，点为圆的动点，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：圆的圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以的最小值为4平面的一个法向量为，平面的一个法向量，则平面与平面（ ）A平行B垂直C相交D不能确定【答案】A【解析】解：因为平面的一个法向量为
2、，平面的一个法向量，所以，所以所以5已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】解：抛物线的准线与圆相切，可得，解得6设，向量且，则（ ）ABC3D4【答案】C【解析】，7已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的离心率（ ）AB2CD【答案】B【解析】关于渐近线的对称点为,设与此渐近线的交点为M,如图所示：由对称性可得：为的中点，且，又为的中点，所以，因为，所以，又,为等边三角形， ，故，故双曲线的离心率8如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为（
3、）ABC2D【答案】B【解析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，,，的最大值为.二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9如图，直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ）ABCD【答案】AD【解析】解：如图，直线，的斜率分别为，倾斜角分别为，则，故，且为钝角10已知向量，下列等式中正确的是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】由题，所以不相等，所以A选项错误；，所以，所以B选项正确；，所以C选项正确；，即，所以D选项正确.11双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐
4、近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（ ）A双曲线的一条渐近线方程为B双曲线的离心率为CD的面积为6【答案】ABD【解析】如图：设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，解得.双曲线的渐近线方程为，的坐标为，故选：ABD.12如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）A线段上存在点，使得B平面C的面积与的面积相等D三棱锥的体积为定值【答案】BD【解析】解：如图，以为坐标原点建系，为，轴，即，与不垂直，A错误.，都在，上，又，平面，平面平面，B正确与不平行，则与的距离相等，C错误到的距离就是到平面的距离到的距
5、离为是定值，D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若直线和直线平行，则_.【答案】2【解析】由题可知，解得或当时，两直线方程分别为：，符合题意；当，两直线方程分别为：，两直线重合，不符合题意舍去14已知圆与圆，若圆关于一条直线对称的圆是圆，则_.【答案】【解析】由得，所以圆的圆心为，半径为；由得，所以圆的圆心为，半径为；又圆关于一条直线对称的圆是圆，所以两圆半径相等，即，解得.15一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角均为，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为_.【答案】【解析】解：设，因为，所以，所以对角线故答案为:
6、16如图所示，已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是的中点，直线l与相交于点P.（1）当时，直线l的方程为_；（2）_.【解析】（1）设圆A的半径为R.圆A与直线相切，圆A的方程为，当直线l的斜率不存在时，易知直线l的方程为，此时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，连接，则，解得，直线l的方程为，综上，直线l的方程为或；（2），当直线l的斜率不存在时，得，则，又，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得，综上所述，为定值，其定值为.四、 解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已
7、知直线：和：的交点为.（1）若直线经过点且与直线：平行，求直线的方程；（2）若直线经过点且与轴，轴分别交于，两点，为线段的中点，求的面积（其中为坐标原点）.【解析】1）由，求得，可得直线：和：的交点为.由于直线的斜率为，故过点且与直线平行的直线的方程为，即.（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，由于直线与轴，轴分别交于，两点，且为线段的中点，故，且点的坐标满足直线的方程，且，求得.则 故的面积为.18已知空间中三点，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值.【解析】（1），设与的夹角为，；（2），且，即：或.19 （本小题12分）20 圆心在直线上的圆C与y轴交于
8、两点，求圆C的方程【解析】设圆的方程为，根据题意可得：，联立求解可得.圆C的方程为21 （本小题12分）在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；（2）求二面角的余弦值大小【解析】由题意可知底面，且，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以所以，（1）设，则，所以，若，则，解得，而，所以，所以（2）因为，设平面的法向量为，则，令，则，所以.而平面的法向量为，所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.21（本小题12分）已知椭圆：过点，离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，线段的中点为.求直线与坐标轴围成的三角形的面积.【解析】（1）由已知，得，椭圆的标准方程为.（2）设，代入椭圆方程得，两式相减得，中点坐标公式得，直线方程为令，令，.22 （本小题12分）如图，已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，记，.（1）若，求的最小值；（2）若对任意的直线，恒为锐角，求的取值范围.【解析】（1）解：设：，.与抛物线联立得：，由韦达定理：，.，.由余弦定理：.故，即的最小值是.（2）解：设，.要使，恒为锐角，只需满足恒大于0即可，.若，则.即.若，显然成立.注意到，故.故.
