1、专题19 同角三角函数的基本关系及诱导公式【考点总结】 1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_(k，kZ)2三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【常用结论】1诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化2同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin21cos2(1cos )(1cos )；c
2、os21sin2(1sin )(1sin )；(sin cos )212sin cos .(2)sin tan cos .(3)sin2；cos2.【易错总结】(1)平方关系没有考虑角的范围导致出错；(2)不会运用消元的思想；(3)的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错例1已知sin cos ，且，则cos sin _解析：因为，所以cos 0，sin sin ，所以cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12，所以cos sin .答案：例2已知tan x2，则1sin2x的值为_解析：1sin2xcos2x2sin2x.答案：例3已知A(kZ)，则A的值构成
3、的集合是_解析：k2n(nZ)时，A2.当k2n1(nZ)时，A1(1)2.答案：2，2【考点解析】【考点】一、同角三角函数基本关系式的应用角度一“知一求二”问题例1、(1)已知cos k，kR，则sin()()ABC Dk(2)若，sin()，则tan ()A BC D【解析】(1)由cos k，得sin ，所以sin()sin .故选A.(2)因为，sin ，所以cos ，所以tan .【答案】(1)A(2)C利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角
4、三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的 角度二弦切互化例2、 (1)已知5，则cos2sin 2的值是()A. BC3 D3(2)已知为第四象限角，sin 3cos 1，则tan _【解析】(1)由5得5，可得tan 2，则cos2 sin 2cos2sin cos .故选A.(2)由(sin 3cos )21sin2 cos2 ，得6 sin cos 8cos2 ，又因为为第四象限角，所以cos 0，所以6sin 8cos ，所以tan .【答案】(1)A(2)若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正
5、切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型 角度三sin cos ，sin cos 之间的关系例3、 (1)(一题多解)(2020四川成都二诊)已知为第二象限角，且sin cos ，则cos sin ()A. BC D(2)(2020河南中原名校联盟联考)已知为第二象限角，sin ，cos 是关于x的方程2x2xm0(mR)的两根，则sin cos ()A. BC. D1【解析】(1)法一：(整体代入法)由sin cos 两边同时平方，得12sin cos ，则2sin cos ，所以(cos sin )212sin cos 1.因为为第二象限角，所以co
6、s sin .故选B.法二：(换元法)sin cos ，令cos sin t.由22，得2sin2 2cos2 t2，即2t2，整理得t22，解得t.因为为第二象限角，所以cos sin 0，cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1，所以sin cos .故选B.【答案】(1)B(2)B对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令sin cos t，则sin cos ，sin cos (注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用 【变式】1已知sin()，则tan()的值为()A2 B2C. D2解析：选D.因为sin()
7、，所以sin ，则cos ，所以tan()2.故选D.【变式】2(2020安阳模拟)已知sin xcos x，x(0，)，则tan x()A BC. D解析：选D.因为sin xcos x，且x(0，)，所以12sin xcos x1，所以2sin xcos x0，所以x为钝角，所以sin xcos x，结合已知解得sin x，cos x，则tan x.【变式】3若3sin cos 0，则的值为_解析：3sin cos 0cos 0tan ，.答案：【考点】二、诱导公式的应用角度一公式的直接应用例1、设f()(12sin 0)，则f_【解析】因为f()，所以f.【答案】角度二“整体代换”的应用
8、例1、已知cosa，则cossin的值是_【解析】因为coscoscosa，sinsincosa，所以cossin0.【答案】0应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错 【变式】1(2020江西临川第一中学等九校3月联考)已知(0，)，且cos ，则sintan()()A BC D解析：选D.sintan(
9、)cos tan sin ，因为(0，)，且cos ，所以sin ，即sintan().故选D.【变式】2(2020江西上饶模拟)已知sin，则cos的值等于()A. BC D解析：选A.由sin，得coscossin.故选A.【考点】三、同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例1、(1)(2020聊城模拟)已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()A. BC. D(2)已知是第三象限角，且f().化简f()；若tan()2，求f()的值；若420，求f()的值【解】(1)选C.由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得t
10、an 3，又为锐角，故sin .(2)由题可得，f()cos .因为tan()2，所以tan 2.所以sin 2cos .所以(2cos )2cos21.所以cos2.因为是第三象限角，所以cos ，所以f().因为cos (420)cos 420cos 60，所以f()cos .利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形提醒注意角的范围对三角函数符号的影响 【变式】1(2020江西吉安期末)已知tan(2 019)2，则2sinsin()A2 BC. D解析：选B.因为tan(2 019)2，所以tan 2.则2sinsin(sin cos )(sin cos )sin2cos2(1)sin cos .故选B.【变式】2已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 019)的值为_解析：因为f(x)asin(x)bcos(x)，所以f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，所以f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos 3.答案：3
