1、专题16.4 期末复习之解答压轴题十三大题型总结【沪科版】【题型1 两条直线相交问题】1【题型2 与一次函数有关的面积的计算】9【题型3 与一次函数图像有关的应用】19【题型4 与一次函数性质有关的应用】25【题型5 探究函数的图像及其性质】30【题型6 探究三角形的边与面积的关系】39【题型7 探究角度之间的关系】46【题型8 由三角形全等分类讨论求参数的值】55【题型9 利用全等三角形解决阅读理解类问题】64【题型10 由轴对称求线段的最小值】74【题型11 等腰三角形中的证明与计算】84【题型12 数式或图形的规律探究】96【题型13 数式或图形中新定义问题】101【题型1 两条直线相交
2、问题】【例1】（2023上山西太原八年级统考期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线BC于点F设点D的横坐标为m(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)当m=-3时，求BEF的面积；(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G请从下面A，B两题中任选一题作答我选择 题A当m=2时，点G的坐标为 ；点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，m的值为 B用含m的代数式表示点G的坐标为 ；点D在线段CA上运动的过
3、程中，当EF=12AG时，m的值为 【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)，C(-8,0)(2)212(3)A：(12,0)；43或-1；B：(2m+8,0)，34或-310【分析】（1）在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，B(0,8)，而OB=OC，C在x轴负半轴，故C(-8,0)；（2）设直线BC的解析式为y=kx+b(k0)，将点B(0,8)，C(-8,0)代入可得直线BC的解析式为y=x+8，当m=-3时，F(-3,5)，E(-3,12)，可得EF=7，即可得BEF的面积；（3）选A、由m=2，C(-8,0)，直接可得G(12,0)；由C(-8
4、,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)，F(m,m+8)，故EF=|73m|，即有|73m|=13(m+8)，可解得m=43或m=-1；选B、由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，由A(6,0)，得AG=|2m+2|，根据已知得|73m|=12|2m+2|，即可解得m=34或m=-310【详解】（1）解：在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，A(6,0)，B(0,8)，OB=OC，C在x轴负半轴，C(-8,0)；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(k0)，将点B(0,8)，C(-8,0)代入可得，
5、b=8-8k+b=0，解得k=1b=8，直线BC的解析式为y=x+8，点D的横坐标m=-3，在y=x+8中令x=-3得y=5，即F(-3,5)，在y=-43x+8中令x=-3得y=12，即E(-3,12)，EF=12-5=7，BEF的面积为：127|-3|=212；（3）解：选A、m=2，C(-8,0)，G(12,0)，C(-8,0)，D(m,0)，CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)，F(m,m+8)，EF=|m+8-(-43m+8)|=|73m|，EF=13DG，|73m|=13(m+8)，解得m=43或m=-1；故答案为：(12,0)；43或-1；选B、C(-8,0)，D(m,0)
6、，CD=m+8=DG，OG=OD+DG=m+m+8=2m+8或OG=DG-OD=m+8-(-m)=2m+8，G(2m+8,0)，A(6,0)，AG=|2m+8-6|=|2m+2|，|73m|=12|2m+2|，解得m=34或m=-310，故答案为：(2m+8,0)，34或-310【点晴】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，用含m的代数式表示相关点坐标及相关线段【变式1-1】（2023上安徽合肥八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B，且OB=2OA(1)求直线AB的解析式；(2)若另一条直线y=a
7、x+a+6与直线AB有唯一交点P，求点P的坐标；直接写出a的取值范围(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），试写出a取值范围【答案】(1)y=2x+8；(2)P(-1,6)；a2；(3)-6a2【分析】本题主要考查待定系数法求直线解析式，直线的交点以及点的坐标运算（1）令x=0得y=8,可得点B的坐标，OB的长，由OB=2OA可得OA，求出点A的坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）令y=2x+8y=ax+a+6，解得x=-1,y=6，从而得出点P的坐标；（3）令x=0得y=a+6,根据题意得0a+68，求解即可【详解】（1）对于直线y=kx+8
8、，令x=0得y=8,B0,8,OB=8,OB=2OA，OA=12OB=4,A-4,0,把A-4,0代入y=kx+8，得-4k+8=0,解得，k=2,直线AB的解析式为y=2x+8；（2）联立方程组y=2x+8y=ax+a+6，2x+8=ax+a+6,整理得，a-2x=2-a，直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点，a-20,解得x=-1，y=2-1+8=6，点P的坐标为：-1,6由知a-20,a2；（3）对于y=ax+a+6，当x=0时，y=a+6,直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），0a+68，解得，-6a2【变式1-2】（2023下河北承德八年级统考期末
9、）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=-x-2交y轴于点B，交直线l1于点P-3,m(1)求直线l1的解析式；(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当MN=3时，求a的值；(3)点Q为l2上一点，若SAPQ=13SAPB，直接写出点Q的坐标【答案】(1)y=23x+3(2)a=-65或a=-245(3)-2,0或-4,2【分析】（1）根据题意求得点P的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意推得Ma,23a+3，Na,-a-2，根据MN=3，列式求解即可；（3）设Qh,-h-2，分当点Q在线段PB上和当点Q在射线BP上讨论
10、，根据SAPQ=13SAPB，进列式求解即可【详解】（1）解：y=-x-2过点P-3,mm=1即点P-3,1设l1的解析式为y=kx+b过点A0,3，P-3,1-3k+b=1b=3，解得，k=23b=3，所以l1的解析式为y=23x+3（2）解：由题意可知，Ma,23a+3，Na,-a-2，因为MN=3，有两种情况：23a+3-a-2=3，解得：a=-65；-a-2-23a-3=3，解得：a=-245（3）解：设Qh,-h-2，有两种情况：当点Q在线段PB上，SAPQ=13SAPB，SABQ=23SAPB，h=23-3=-2，即Q-2,0；当点Q在射线BP上，SAPQ=13SAPBSABQ=4
11、3SAPB，h=-4，即Q-4,2；综上，点Q的坐标为-2,0或-4,2【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，求一次函数的解析式等，在（1）中求得P点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）中用含a的代数式表示出MN的长是解题的关键，在（3）中三角形面积的表示是关键【变式1-3】（2023上山西太原八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为(3.5,0)，点P的横坐标为2(1)直接写出点A、B、P的坐标；(2)求出直线l2的函数表达式；(3)如图1，求AD
12、P的面积；(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m，则：用m表示点M、N的坐标：M:，N:；线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；ANP的面积用s表示，写出s与m的函数关系式【答案】(1)A(-4,0)，B(0,1)，P(2,32)(2)y=-x+72(3)152(4)(m,14m+1)，(m,-m+72)；l=-54m+52；s=-154m+152【分析】（1）在直线l1:y=14x+1中，分别令y=0和x=0，x=2，可求得A、B、P的坐标；（2）利用待定系数法得到直线l2的解析式；（3）求出点D的坐标，根据SADP=SACD
13、-SACP即可求解；（4）根据直线l1:y=14x+1，直线l2:y=-x+72即可用m表示点M、N的坐标；根据得出的点M、N的坐标即可写出l与m的函数关系式；根据SANP=SAMN+SPMN即可求解【详解】（1）解：在直线l1:y=14x+1中，令y=0可得x=-4，令x=0可得y=1，令x=2可得y=32，A(-4,0)，B(0,1)，P(2,32)；（2）解：设直线l2的解析式为y=kx+b，3.5k+b=02k+b=32，解得k=-1b=72直线l2的解析式为y=-x+72；（3）解：直线l2的解析式为y=-x+72，点D(0,72)，SADP=SACD-SADCP=1272(3.5+
14、4)-1232(3.5+4)=152；（4）解：点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m，则：M:(m,14m+1)，N:(m,-m+72)，故答案为：(m,14m+1)，(m,-m+72)；线段MN的长度l=-m+72-(14m+1)=-54m+52，l与m的函数关系式为l=-54m+52；SANP=SAMN+SPMN=12(m+4)(-54m+52)+12(2-m)(-54m+52)=-154m+152，s与m的函数关系式为s=-154m+152【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，用点
15、的坐标表示线段的长是解题的关键【题型2 与一次函数有关的面积的计算】【例2】（2023下山东济宁八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点P是在直线l上位于第一象限内的一个动点，连接OP，AP(1)如图1，求出AOP的面积；(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若APC是以AP为直角边的等腰直角三角形，求点C的坐标【答案】(1)AOP的面积为40(2)点C的坐标为10，16或2,165【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）当点C在直线l的上方时，证明PEACFP(AAS)，得到AE=PF且PE=FC，即可求解；当点C
16、在直线l的下方时，同理可解【详解】（1）点A10，0，点B0，8，OA=10，OB=8，过点P作PHOA于H，直线lx轴，点B在z轴上，PH=OB=8，SAOP=12OAPH=12108=40故答案为：40；（2）设点Pn,8 n0，点Cm,85m，当点C在直线l的上方时，如图，过点P作直线FE，交x轴于点E，交过点C与x轴的平行线于点F，、APC为等腰直角三角形，则PA=PC，APC=90，APE+FPC=90，FPC+FCP=90，APE=FCP，PEA=CFP=90，PA=PC，PEACFP(AAS)，AE=PF且PE=FC，则85m-8=10-n且|m-n|=8，解得：m=10n=2或
17、m=5013n=15413，即点C的坐标为10,16（不合题意的值已舍去）；当点C在直线l的下方时，如图，过点A作AMl于点M，过点C作CNx轴于点N，同理可得：AMPANC(AAS)，AM=AM且MP=NC，8=|10-m|或n-10=85m，解得：m=2n=565或m=18n=1945，即点C的坐标为2,165或18,1445（舍去），综上，点C的坐标为：10,16或2,165【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大【变式2-1】（202
18、3下河北唐山八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A-5，2，B-1，2，直线y=kx-1与y轴相交于C点，与线段AB交于P点(1)求ABC的面积；(2)若点A和点B在直线y=kx-1的两侧，求k的取值范围；(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出k的值【答案】(1)6(2)-3k-35(3)k=-32或k=-34【分析】（1）延长线段AB交y轴于点D，则ABy轴，求出AB,CD，利用三角形的面积公式求解即可；（2）先求出直线AC,BC的斜率，即可求出k的取值范围；（3）分两种情况：AP:PB=1:3或AP:PB=3:1求解.【详解】（1）解：A-5，2，B-1，2，ABx轴，延
19、长线段AB交y轴于点D，ABy轴，CD=2-1=3，AB=-1-5=4，SABC=12ABCD=6（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b(k0)，-5k+b=2b=-1，解得，k=-35b=-1直线AC的解析式为y=-35x-1设直线BC的解析式为y=mx+n(m0)，-m+n=2n=-1，解得，m=-3n=-1直线BC的解析式为y=-3x-1点A和点B在直线y=kx-1的两侧，-3k-35；（3）解：当AP:PB=1:3，A-5，2，B-1，2，点P的坐标为-4,2，将点P-4,2代入y=kx-1，得2=-4k-1，解得，k=-34，当AP:PB=3:1，A-5，2，B-1，2，点P的坐
20、标为-2,2，将点P-2,2代入y=kx-1，得2=-2k-1，解得，k=-32，综上所述，k=-32或k=-34【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键【变式2-2】（2023上江苏泰州八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，-1,4，将此函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图像为直线l，(1)求直线l的函数表达式；(2)求直线l、直线l及y轴围成三角形的面积；(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点
21、，求点P的坐标【答案】(1)y=-3x+1(2)2(3)0,-5或0,-177或0,-75【分析】（1）将点0,1，-1,4代入一次函数的解析式y=kx+b中，得到关于k，b的二元一次方程组，求解即可；（2）确定直线l与y轴的交点A0,1，确定直线l与y轴的交点B0,-3，得到AB=4，再通过解联立方程组y=-3x+1y=x-3，得到两直线的交点C1,-2，得到点C到y轴的距离为1，最后利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）求得两条直线与直线y=a的交点横坐标，分四种情况讨论即可【详解】（1）解：一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，-1,4，b=1-k+b=4，解得：k=-3b=1
22、，直线l的函数表达式为y=-3x+1；（2）直线l的解析式为y=-3x+1，直线l的解析式为y=x-3，设直线l：y=-3x+1与y轴的交点为A，当x=0时，y=1，则A0,1，设直线l：y=x-3与y轴的交点为B，当x=0时，y=-3，则B0,-3，AB=1-3=4，设直线l与直线l交于点C，y=-3x+1y=x-3，解得：x=1y=-2，C1,-2，点C到y轴的距离为1，SABC=12AB1=1241=2，直线l、直线l及y轴围成三角形的面积为2；（3）设点的坐标为P0,a，过点P与x轴平行的直线的解析式为y=a，把y=a代入y=-3x+1得，a=-3x+1，解得：x=1-a3，M1-a3
23、,a，把y=a代入y=x-3得，a=x-3，解得：x=a+3，Na+3,a，分四种情况：如图所示，点P为NM的中点，则0-a+3=1-a3-0，解得：a=-5，点P的坐标为0,-5，如图所示，点N为PM的中点，则a+3-0=1-a3-a+3，解得：a=-177，点P的坐标为0,-177，如图所示，点M为PN的中点，则1-a3-0=a+3-1-a3，解得：a=-75，点P的坐标为0,-75，如图所示，点P为MN的中点，则0-1-a3=a+3-0，解得：a=-5（不符合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为0,-5或0,-177或0,-75【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，待定系数法求一次函数
24、的解析式，一次函数图像与坐标轴相交的点的坐标，两直线相交问题，三角形的面积分类讨论的应用是解题的关键【变式2-3】（2023下湖南邵阳八年级统考期末）如图，过点C的直线y-x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,y是第二象限的点，设AOC的面积为S(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；(2)当AOC的面积为6时，求出点C的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标【答案】(1)S=3x+18-6x0因为y-x=6当y=0时，x=-6，则AO6 SAOC=12AOy =1266+x=18+
25、3x（-6x0)（2）由（1）可知SAOC=18+3x当18+3x=6则x=-4此时：y=6+x=2所以C(-4,2)（3）存在点M满足条件，I当M点在y轴时，若SMAO=6，即SMAC=12OMOA=6，12OM6=6，OM=2，当点M在原点上方时，点M坐标为M10,2，当点M在原点下方时，点M坐标为M20,-2，II当M点在y轴时，若SMOC=6，即SMOC=12OMxc=6，12OM4=6，OM=3，当点M在原点上方时，点M坐标为M30,3，当点M在原点下方时，点M坐标为M40,-3；III当M点在y轴时，若SMAC=6，即SMAC=SMAB-SMBC=12BMOA-12BMxc，12B
26、M6-12BM4=6，BM=6，当点M在点B上方时，点M坐标为M50,12，当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；IV当M点在x轴时，若SMOC=6，即SMOC=12OMyc=6，12OM2=6，OM=6，当点M在原点右侧时，点M坐标为M66,0，当点M在原点左侧时，点M坐标为-6,0，与点A重合，不合题意舍去；V当M点在x轴时，若SMAC=6，即SMAC=12AMyc=6，12AM2=6，AM=6，点A坐标为(-6,0)，当点M在点A左侧时，点M坐标为M7(-12,0)，当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为M10,2， M2(0,-2)， M
27、30,3， M40,-3 M50,12， M66,0， M7(-12,0)【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想【题型3 与一次函数图像有关的应用】【例3】（2023下安徽芜湖八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）图中的折线表示y与x之间的函数关系图像求：(1)甲、乙两地相距_千米；(2)求动车和普通列车的速度；(3)求C点坐标和直线CD解析式；(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1
28、000千米【答案】(1)1800(2)动车的速度为300km/h；普通列车的速度150km/h(3)C6,900，y=150x6x12(4)169h或203h【分析】(1)根据图像，直接得到(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度(3)根据题意，动车达到目的地的时间为1800300=6h，根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+150=900km，确定C6,900，利用待定系数法确定CD的解析式(4)分相遇前和相遇后两种情形计算【详解】（1）根据图像，得到当x=0h时，y=1800km，两地距离为1800km，故答案为：18
29、00（2）根据图像，慢车走完全程用时12小时，普通列车的速度为180012=150km/h，根据4小时相遇，得4150+v动=1800，解得v动=300km/h（3）根据题意，动车达到目的地的时间为1800300=6h，根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+150=900km，故C6,900，设CD的解析式为y=kx+b，D12,1800，6k+b=90012k+b=1800，解得k=150b=0，故CD的解析式为y=150x6x12（4）设经过x小时，辆车相距1000千米，当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，得150x+300x=1800-1000，解得x
30、=169h；当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，得2150+300+150x=1000，解得x=23h，故行驶总时间为6+23=203h，故经过169h或203h，辆车相距1000千米【点睛】本题考查了图像信息的读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键【变式3-1】（2023下重庆沙坪坝八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1、y2与x的关系
31、如图所示(1)B、C两港口间的距离为_km，a=_；(2)甲船出发几小时追上乙船？(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km？【答案】(1)90，2(2)甲船出发1小时追上乙船(3)当经过23h或43h或83h时，甲乙两船相距10km【分析】（1）根据图象可得，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离30km，即可求出甲船的速度，根据图象得出B港口和C港口距离为90km，即可求出a的值；（2）先求出乙船的速度，根据甲船追上乙船时，两船与B港口距离相等，列出方程求解即可；（3）根据投影进行分类讨论：当甲船还未追上乙船时；当甲船追上乙船后，当未到达C港口时；当甲船到达C港口，乙船
32、还未到达C港口时，分别列出方程求解即可【详解】（1）解：由图可知：B、C两港口间的距离为90km，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离30km，甲船的速度为：300.5=60kmh，甲船从B港口到C港口时间为：9060=1.5h，a=1.5+0.5=2，故答案为：90，2；（2）解：由图可知，乙船用3h从B港口到达C港口，乙船的速度为：903=30kmh，60x-30=30x，解得：x=1答：甲船出发1小时追上乙船；（3）解：当甲船还未追上乙船时，30x-60x-30=10，解得：x=23；当甲船追上乙船后，当未到达C港口时：60x-30-30x=10，解得：x=43；当甲船到
33、达C港口，乙船还未到达C港口时：90-30x=10，解得：x=83；综上：当经过23h或43h或83h时，甲乙两船相距10km【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息，以及一元一次方程的应用，利用数形结合得出关键数据，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键【变式3-2】（2023上江苏盐城八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像
34、，其中EF-FM-MN为折线段请结合图像回答下列问题：(1)乙机器人行走的速度是_米/分钟；(2)在4t6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度图2中m的值为_请求出在6t9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值【答案】(1)50(2)120，7或395【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点【详解】（
35、1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，乙机器人行走的速度为4509=50(米/分)；故答案为：50（2）设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：3x=503+90，解得x=80，甲机器人行走的总路程为：450+90=540(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：804=320(米)，4t6时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：502=100(米)，m=540-320-100=120，故答案为：1206分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当t=6时，甲乙两机器人的距离为：804+506-4-90+506=30（米
36、），当甲到达终点C时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t=9（分）当6t9时，y乙=-50t+450当6t7.5时，y甲=-80t+600当7.5t9时，y甲=0-50t+450-80t+600=30t-150=60，解得t=7-50t+450-0=60，解得t=395甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或395【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答【变式3-3】（2023下河北唐山八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完
37、全落在乙容器底面上）现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图(1)乙容器中原有水的高度是_mm，铁块的高度是_mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm2（壁厚不计），直接写出乙容器中铁块的体积【答案】(1)20，140(2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同(3)21000mm3【分析】（1）借助图像可知折线A-B-C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案；（2）分别求出线段AB、DE的解析式，然后联立解方程组即可解题；（3）先求出铁块的底
38、面积，然后计算出铁块的体积即可解题【详解】（1）解：由图像可知，折线A-B-C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是20mm，铁块的高度是140mm；故答案为：20，140（2）设线段AB的解析式为：y=kx+b，将点0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，k=30b=20 y=30x+20设线段DE的解析式为：y=mx+n，将点0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，m=-20n=120 y=-20x+120，令30x+20=-20x+120，解得x=2，注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同（3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4
39、分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm，当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm设铁块的底面积为amm2匀速注水，1分钟非水量是相等的乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为：30900-amm3不放铁块时，1分钟注水的体积为：25900mm3， 30900-a=25900，解得a=150，铁块的体积为：150140=21000mm3【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键【题型4 与一次函数性质有关的应用】【例4】（2023下山东泰安八年级统考期末）为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由
