1、专题13.2 三角形的高、中线、角平分线【七大题型】【沪科版】【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】1【题型2 画三角形的高】2【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】3【题型4 根据网格求三角形的面积】4【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】6【题型6 三角形的中线与周长的计算】7【题型7 三角形边、角、线有关的探究题】7【知识点 三角形的角平分线、中线和高】(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的
2、连线叫做三角形的中线（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点【题型1 三角形的高、中线、角平分线的概念辨析】【例1】（2023春山东枣庄八年级统考期末）如图，AD，AE，AF分别是ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（）ACD=12BCB2BAE=BACCC+CAF=90DAE=AC【变式1-1】（2023春八年级单元测试）如图，嘉琪任意剪了一
3、张钝角三角形纸片（A是钝角），他打算用折叠的方法折出C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（）AAB边上的中线和高线BC的角平分线和AB边上的高线CC的角平分线和AB边上的中线DC的角平分线、AB边上的中线和高线【变式1-2】（2023春陕西西安八年级校考阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）三角形的三条高线交于一点；三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点；直角三角形只有一条高；三角形三个内角的角平分线交于一点A1B2C3D4【变式1-3】（2023春八年级课时练习）如图，ABC中，1=2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CFAD于点H，下列判断中，正确的个数
4、是（）BG是ABD的边AD上的中线；AD既是ABC的角平分线，也是ABE的角平分线；CH既是ACD的边AD上的高，也是ACH的边AH上的高A0B1C2D3【题型2 画三角形的高】【例2】（2023春四川成都八年级统考期末）在ABC中，A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（）A BCD【变式2-1】（2023春黑龙江哈尔滨八年级校考期中）如图所示，ABC中AB边上的高是（）ABDBAECBEDCF【变式2-2】（2023春四川成都八年级统考期末）如图图形中，线段BE是ABC的高的是（ ）ABCD【变式2-3】（2023浙江八年级假期作业）如图，ADBC，ECBC，CFAB，点D，C，F是垂
5、足，下列说法错误的是（）AABD中，AD是BD边上的高BABD中，EC是BD边上的高CCEB中，EC是BC边上的高DCEB中，FC是BE边上的高【题型3 “同高底共线”三角形的有关计算】【例3】（2023春重庆沙坪坝八年级重庆南开中学校考期末）如图，在ABC中，D为AC上一点，E为AB上一点，BE=2AE，连接BD，CE交于点F若SBEF=SDFC，SABC=18，则ABD的面积为()A3B6C9D12【变式3-1】（2023春八年级单元测试）如图，ADBC，ABD的面积等于4，AD=2，BC=6，则DCB的面积是_【变式3-2】（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，ABC中，
6、点D为AC边上一点，满足AD=3DC，连接BD，点E为BD中点，连接AE，若AED的面积是3，则ABC的面积是_【变式3-3】（2023春全国八年级专题练习）如图，在三角形ABC中，AC=3AE，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍，则阴影部分的面积占三角形ABC面积的_【题型4 根据网格求三角形的面积】【例4】（2023北京昌平二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则SABC=_【变式4-1】（2023春北京八年级北京四中校考阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，ABC的面积_DEF的面积（填“”，“”或“”）【变式4-2】（2023春黑龙江哈尔
7、滨八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）画图题：在68的正方形网格上，完成下列问题(1)已知图1中ABC各顶点都在网格格点上，过点A作BC边上的中线AD(2)在图2中画出面积是2的钝角AEF，各顶点都在格点上（画出一种即可）(3)在图1中，若AC=5，直接写出B点到AC的距离【变式4-3】（2023春黑龙江哈尔滨八年级校考期中）已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1格中各有一个完全相同的三角形，请在图1、图2分别画一条直线，满足以下要求（1）直线与三角形的交点要经过网格的格点（每个小正方形的顶点均为格点）（2）在图1、图2中分别用不同的方法将三角形
8、分成两个图形其中一个是三角形另一个是四边形，分割后的三角形的面积记为S1，四边形的面积为S2，且S1:S2=4:11【题型5 应用三角形的中线等分面积解决问题】【例5】（2023春浙江金华八年级统考期中）如图，BD是ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若ABC的面积为12则AEF的面积是（）A2B3C4D6【变式5-1】（2023春八年级单元测试）如图，ABC的中线AD、BE相交于点F，(1)图中与ABE面积相等是三角形有_个（不含ABE）；(2)若ABF的面积是4cm2，求四边形FDCE的面积【变式5-2】（2023春上海八年级假期作业）如图，把ABC的三边BA、CB和AC分别向外
9、延长一倍，将得到的点A、B、C顺次连接成ABC，若ABC的面积是5，则ABC的面积是_【变式5-3】（2023春八年级课时练习）如图，AP1为ABC的中线，ABP1的面积记为S1；AP2为AP1C的中线，AP1P2的面积记为S2；AP3为AP2C的中线，AP2P3的面积记为S3；按此规律，APn为APn-1C的中线，APn-1Pn面积记为Sn若ABC的面积为S，则S1+S2+S3+Sn的面积为（）AS-S2n-1BS-S2nCS2n-1DS2n【题型6 三角形的中线与周长的计算】【例6】（2023春上海八年级假期作业）如图，ABC的周长为27，AC=9，BC边上的中线AE=6，ABE的周长为1
10、9，求AB的长【变式6-1】（2023春山东威海八年级校联考期中）在ABC中，BC边上的中线AD将ABC分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB与AC的和为11cm，则AC的长为_【变式6-2】（2023春山东潍坊八年级统考期末）已知ABC的周长为37cm，AD是BC边上的中线，AC=23AB（1）如图，当AB=15cm时，求BD的长（2）若AC=14cm，能否求出DC的长？为什么？【变式6-3】（2023春浙江杭州八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在ABC中（ACAB），AC=2BC，BC边上的中线AD把ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长【题型7 三角形边、角、线有关的探究
11、题】【例7】（2023春广东广州八年级校考阶段练习）如图，AD是ABC的角平分线DEAC，DE交AB于点E，DFAB，DF交AC于点F，图中1与2有什么关系？为什么？【变式7-1】（2023春江苏盐城八年级校联考阶段练习）如图，ADEF，1+2180，（1）请问DG与AB平行吗？为什么？（2）若DG是ADC的角平分线，130，求B的度数【变式7-2】（2023春全国八年级专题练习）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高（1）DE，DF，CG的长之间的等量关系是_；（2）若D在底边BC的延长线上，其他条件不变，则DE，DF，CG的长之间的等量关系是_（请说明理由）【变式7-3】（2023春广东梅州八年级期末）如图，ADE+BCF=180，AF平分BAD，BAD=2F(1)AD与BC平行吗？请说明理由；(2)AB与EF的位置关系如何？为什么？(3)若BE平分ABC证明：E+F=90
