1、 专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（能力提升）1【问题提出】（1）如图，某牧马人要从A地前往B地，途中要到旁边一条笔直的河边l喂马喝一次水，经测量A点到河边的距离AC为300米，B点到河边的距离BD为900米，且点C、D间距离为900米，请计算该牧马人的最短路径长；【问题探究】（2）如图，在ABC中，ABAC，BC6，AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F，ABC的面积为24，若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，请求出CDM周长的最小值；【问题解决】（3）如图所示，某工厂生产车间的平面示意图为四边形ABCD，CD90，AD70m，CD60m，BC110m，在A
2、B的中点处有一个出货口M，在BC上有一个质检口N，点D为货物包装口为了使得该生产车间出货质检包装过程达到最高效率，现要求从出货口M到质检口N的距离MN与质检口到包装口D的距离ND之和最短（即MN+ND最短）请根据要求计算出MN+ND的最小值为多少？【解答】解：（1）如图中，作点A关于直线l的对称点A，连接BA交直线l于点P，连接PA，此时PA+PB的值最小，最小值为线段BA的长过点B作BTAA交AA的延长线于点T在RtABT中，BTCD900米AT1200米，BA1500（米），该牧马人的最短路径长为1500米；（2）如图中，连接AD，AMABAC，AD是中线，ADBC，BDCD3，SABCB
3、CAD24，BC6，AD8，EF垂直平分线段AC，MAMC，MD+MCAM+MDAD8，MD+MC的最小值为8，CDM的周长的最小值为11；（3）如图中，延长DC到R，使得CRDC，连接MR，过点M作MQCD于点QBCDR，CDCR，NDNR，MN+NDMN+NRMR，AMBM，ADMQBC，DQCQ30m，MQ（AD+BC）90（m），MR90（m），MN+DN90，MN+ND的最小值为90m2如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，过点A作AEBC于点E，交BD于点F，其中2BEBC，DF（1）求EF的长；（2）如图，点G为CD上一点，过点G作GHAD于点H，交BD于点M，在AE上取点N，使
4、AN2HM，连接BN，CM，求证：BNCM；（3）如图，将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD，连接AC，AD，BC，求AC+AD的最小值【解答】（1）解：如图，连接AC，四边形ABCD是菱形，ABCBADCD，ACBD，ADBC，DAFBEF90，AEBC，2BEBC，DF，BECEBC，ABACCBADCD，ABC和ADC都是等边三角形，ABCADCBAC60，EBFABC30，ADFADC30，BCADDFcos301，BE1，EFBEtan30，EF的长是（2）证明：如图，GHAD，HDM30，DHM90，DM2HM，AN2HM，ANDM，BANBAC30，CDMADC30，BANCD
5、M，ABNDCM（SAS），BNCM（3）如图，连接AC交BD于点O，作直线AA，由平移得AABD；作点D关于AA的对称点G，连接CG交AA于点H、交AD于点L，连接DG交AA于点R，连接DH，AA垂直平分DG，ARD90，OARAOBAOD90，四边形AODR是矩形，DROA，DG2DR，DCAC2OA，DGDC1，LDGLDCDAC60，DLCG，CLGL，DLC90，CLCDsin601，CG2CL2，AGAD，AC+ADAC+AG，AC+AGCG，当点A与点H重合时，AC+AGCG，此时AC+AG的值最小，AC+AD的最小值为3（1）如图，在等边ABC中，BC4，点P是BC上一动点，点
6、P关于直线AB，AC的对称点分别为点M，N，连接MN当点P与点B重合时，线段MN的长是 ，当AP的长最小时，线段MN的长是 ；如图，PM，PN分别交AB，AC于点D，E当PB1时，求线段MN的长；（2）如图，在等腰ABC中，BAC30，ABAC，点P，Q，R分别为边BC，AB，AC上（均不与端点重合）的动点，当PQR的周长最小时，求PQR+PRQ的度数【解答】解：（1）如图1中，当点P与B重合时，设PN交AC于点TP，N关于AC对称，PNAC，ABC是等边三角形，ABBCAC4，ATCT2，BTTN2，MN4，如图2中，连接AM，AN当APBC时，AP2，P，M关于AB对称，P，N关于AC对称
7、，AMAPAN，BAPBAM，PACNAC，MAN2BAC120，MNAMAP6，故答案为：4，6；如图中，连接AM，AN作AHBC于点HABACBC4，AHCB，BHCH2，PB1，PH1，APP，M关于AB对称，P，N关于AC对称，PMPMPA，MAN120，MNAM；（2）作点P关于AB的对称点P，作P关于AC的对称点P，连接PP，分别交AB、AC于点Q、R，连接AP、AP则PQPQ，PRPR，APAPAP，PAQPAQ，PARPAR，PQR周长PQ+QR+PRPQ+QR+PRPP，PAPPAQ+PAQ+PAR+PAR2BAC23060，APP为等边三角形，PPAPAPAP，当APBC时
8、，AP最短，即为PQR周长的最小值，此时PAPQ60，PAPR60，QPR120，PQR+PRQ604如图，在正方形ABCD中，点E为AB上的一个点，作射线DE交CB的延长线于点F，过点C作CMDE交AD于点M，交DE于点N，连接AF（1）当点E为AB的中点时求证：DECM；若点G，H分别为AC，DC上一点，AB2，求MGH周长的最小值；（2）如图，若点P，Q分别为AF，BC的中点，连接PQ交DF于点O，求证：OQOF【解答】（1）证明：CMDE，CND90，NCD+NDC90，四边形ABCD为正方形，BADADC90，ADDC，ADE+NDC90，ADEDCM，ADEDCM（ASA），DEC
9、M；解：由（1）得，ADEDCM，DMAE点E为AB的中点，DMAE1/2AB，即点M为AD的中点，点M与点E关于AC对称，如图，作点M关于DC的对称点M，连接EM交AC于点G，交DC于点H，连接MG，MHMGN的周长MG+MH+GHEG+HM+GHEM，当且仅当E，G，H，M四点共线时取等号，MGH周长的最小值为EM的长AB2，DMDMAE1，AM3，EM，MGH周长的最小值为；（2）证明：如图，过点P作PTAD交DF于点T，连接PB，TQ，点P为AF的中点，PTADADBC，ADBC，点Q为BC的中点，PTBQ，PTBCBQ，四边形PTQB为平行四边形，TQPB，TQPB在RtABF中，点
10、P为AF的中点，PBAFPF，TQPF，PFBPBFTQF在PFQ和TQF中，PFQTQF（SAS），PQFTFQ，OQOF5如图，在矩形ABCD中，AB4，AD6，点E在AB上，且AE1，点F，G分别为BC，DC上的动点，连接EC，FE，FG，点M为EBC的外心（1）求点M到AB的距离；（2）若EFFG，且FC2BF，求DG的长；（3）连接AG，求四边形AEFG周长的最小值【解答】解：（1）这MNAB于N，点M为EBC的外心，EMMC，MNBC，ENBN，MNBC3；（2）EFFG，GFC+EFBBEF+EFB90，GFCBEF，EBFFCG，EBFFCG，BF：CGEB：FC，2：CG3：
11、4，CG；（3）作A关于DC的对称点Q，连接CQ，作E关于BC的对称点P，连接PF，连接PQ，当点P，F，G，Q共线时，四边形AEFG的周长最小，PQ2PA2+QA2，PQ272+122，PQ，四边形AEFG的周长最小值为：+16（1）如图，在四边形ABCE中，E90，BBCE60，AB4，D是边AB的中点，连接CA，若CA恰好平分BCE求EC的长；若P，Q分别是边BC，EC上的动点（不与端点重合），试求DP+PQ+AQ的最小值；（2）如图，在四边形MNPQ中，MN4，MQ5，NQ90，M60，点A，B，C，D分别在边MQ，MN，NP，QP上，若AQ1，求四边形ABCD周长的最小值【解答】解：
12、（1）如图中，AC平分BCE，ACBACEBCE30，B60，BAC90，ACAB4，E90，ECACcos3046；如图中，作点D关于BC的对称点D，作点A关于EC的对称点A，连接AD交BC于点P，交EC于点Q，连接DP，AQ，此时DP+PQ+AQ的值最小，最小值为AD的长，连接AC，过点D作DTAC于点T设DD交BC于点JA，A关于EC的长，ECAECA30，BCE60，ACBBCT90，TDJC90，四边形CJDT是矩形，BDAD2，DJB90，B60，BJ1，DJJD，BC2AB8，CJTD7，CAAC4，CTJD，AT5，AD2，DP+PQ+AQ的最小值为2；（3）如图中，作点A关于
13、PQ的对称点E，点A关于MN的对称点F，点B关于PN的对称点G，点F关于PN的对称点H，连接BF，CG，DE，GH，EH，过点E作ETFH于T交MN于K，设AF交MN于J由对称性可知，DADE，CBCG，ABBF，BFGH，AD+CD+CB+ABDE+CD+CB+BFED+CD+CG+GHEH，在RtAMJ中，AJM90，AMMQAQ514，M60，MJAMcos602，AJJFKT2，JNMNMJ422，FH2JN4，在RtEMK中，EKEMsin603，BMEMcos603，TEEK+KT5，JKFTMKMJ1，THFHFT413，EH2，当E，D，C，G，H共线时，AD+CD+CB+BA
14、的值最小，最小值为27如图，在矩形ABCD中，AB4，BC2，点E，F分别是AB，CD边上的点（不与点B，D重合），且EFAC，EF与AC交于点O（1）请在OAOC；EFCECF；AFCE；AFAE中选择一个条件 （填序号），使得四边形AECF为菱形，并加以证明（选择一个即可）；（2）求EF的值；（3）求AF+EF+CE的最小值【解答】解：（1）都满足条件当OAOC时，四边形ABCD是矩形，ABCD，FCOEAO，在FCO和EAO中，FCOEAO（ASA），CFAE，CFAE，四边形AFCE是平行四边形，EFAC，四边形AFCE是菱形；当AFEC时，CFAE，四边形AFCE是平行四边形，EFA
15、C，四边形AFCE是菱形；当AEAE时，ACEF，OFOE，同法可证FCOEAO，CFAE，CFAE，四边形AFCE是平行四边形，EFAC，四边形AFCE是菱形；故答案为：；（2）如图，过点F作FHAB于点H四边形ABCD是矩形，DDAB90，ABCD4，ADBC2，AC2，FHAB，ACEF，DFHEAOEDAH90，四边形ADFH是矩形，FHAD2，DAC+CAB90，CAB+FEH90，DACFEH，CDAFHE，EF；（3）设DFx在RtEFH中，EH1，四边形ADFH是矩形，AHDFx，EB4x13x，AF+EC+，欲求AE+EC的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到
16、，P（0，2），Q（3，2）的距离和最小，如图1中，作点P关于x轴的对称点P，连接QP交x轴于点M，连接PM，此时PM+MQ的值最小，最小值QP的长，P（0，2），Q（3，2），QP5，AF+EC的最小值为5，AF+EF+CE的最小值为5+8如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点（均不与正方形的顶点重合），且EAF45，连接EF（1）求证EFBE+DF；（2）如图，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E，作点F关于直线AD的对称点F，连接EF，求证：EF2AP；（3）如图，正方形ABCD是李叔叔家菜地示意图，其中AB800米，李叔叔计划在菜地中开拓一条小
17、路EMMNNF，其中点E为AB的中点，点F为CD边上一点，且CF300米，点M，N在线段BC上（点M在点N的左侧），且MN100米为了尽可能少的破坏植物，需要以最小长度来修建，请你帮李叔叔计算这条小路长度的最小值（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）【解答】（1）证明：如图中，延长CB至K，使得BKDF，连接AK，则ABKADF，AKAF，BAKDAF，EAKEAB+BAKEAB+DAF90EAF45，EAKEAF，在EAK和EAF中，EAKEAF（SAS），EFEKBK+BEDF+BE；（2）证明：如图中，延长AP至T，使得PTAP，连接AE，AF，ET，由题可得，点E关于直线AB的
18、对称点为E，点F关于直线AD的对称点为F，B为EE的中点，D为FF的中点，又四边形ABCD为正方形，ABEADF90，AB为EE的中垂线，AD为FF的中垂线，AEAE，AFAF，点P是EF的中点，PEPF，又EPTFPA，APTP，PETPFA（SAS），ETAF，PETPFA，ETAF，且AETAEP+PETAEP+AFP180EAF，AEAE，ABAB，ABEABE90，RtABERtABE（HL），BAEBAE，同理可得FADFAD，EAFBAE+DAF+BADBAE+DAF+BAD（BADEAF）+BAD180EAF，AETEAF，又AEAE，AFET，EAFAET（SAS），EFAT2AP；（3）解：如图中，作ETBC，使得ETMN100米，延长ET交CD于点H，作点F关于BC的对称点F，连接TF交BC于点N，此时EM+MN+NF的值最小四边形ABCD是正方形，ABCDBCAD800米，ADBC，AEEB，DHHC400米，EHAD800米，CFCF300米，ETMN100米，TH700米，HF700米，TF700987（米），EM+MN+NFTN+ET+NFET+TF1087米，EM+MN+NF的最小值为1087米
