1、第3讲平面向量高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟 1.(2015江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.解析a(2，1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.答案32.(2011江苏卷)已
2、知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则k的值为_.解析因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，所以e1e2cose1，e2cos，又ab0，所以(e12e2)(ke1e2)0，即k2(2k)0，解得k.答案3.(2013江苏卷)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_.解析如图，()，则1，2，12.答案4.(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_.解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，
3、ab.ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab.babab，则(a2b2)ab4.答案考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3.平面向量的三个性质(1)若a(x，y
4、)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是12(其中121).(2)三角形中线向量公式：若P为OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是().(3)三角形重心坐标的求法：G为ABC的重心0G.热点一平面向量的有关运算微题型1平面向量的线性运算【例11】 (1)(2016南通调研)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是_.(2)已知菱
5、形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.解析(1) 依题意，设，其中1，则有()(1).又x(1x)，且、不共线，于是有x1，即x的取值范围是.(2)法一如图，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，21，解得2.答案(1)(2)2探究提高用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.微题型2平
6、面向量的坐标运算【例12】 (1)(2016全国卷改编)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.(2)(2016全国卷改编)已知向量，则ABC_.解析(1)由题知ab(4，m2)，因为(ab)b，所以(ab)b0，即43(2)(m2)0，解之得m8.(2)|1，|1，cosABC，则ABC30.答案(1)8(2)30探究提高若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.微题型3平面向量数量积的运算【例13】 (1)(2016连云港调研)若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，
7、则|abc|的最大值为_.(2)(2016佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的最小值为_.解析(1)设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则x2y21，ac(1x，y)，bc(x，1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即xy1.又abc(1x，1y)，|abc|.法一如图.c(x，y)对应点在上，而式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.法二|abc|，xy1，|abc|1，最大值为1.(2)法一在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21
8、cos 6021cos 60cos 1202，当且仅当，即时，取得最小值为.法二以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.又，则E，F，0，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.答案(1)1(2)探究提高(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；在用|a|求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角
9、坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.【训练1】 (1)(2015福建卷改编)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于_.(2)(2016苏、锡、常、镇模拟)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_.解析(1)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1，4)，P(1，4)，(1，t4)1717213，当且仅当4t，即t时(负值舍去)取得最大值13.(2)法一以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，
10、则B(，0)，E(，1).设F(x，2)，则(x，2)，又(，0)，x，x1，F(1，2)，.法二|cos BAF，|，|cos BAF1，即|1，|1，()()(1)(1)121.答案(1)13(2)热点二平面向量与三角的交汇【例2】 (2016宿迁月考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m(sin C，b2a2c2) ，n(2sin Asin C，c2a2b2)，且mn.(1)求角B的大小；(2)设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围.解(1)，因为sin C0，所以sin Bcos C2sin Acos Bsin Ccos B，所以2sin Acos Bs
11、in Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A，因为sin A0，所以cos B，因为0B，所以B.(2)Tsin2Asin2Bsin2C(1cos 2A)(1cos 2C)(cos 2Acos 2C)cos.因为0A，所以02A，故2A，因此1cos，所以T.探究提高三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角
12、函数的相关知识进行求解.【训练2】 (2016北京海淀区模拟)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p(cos Bsin B，2sin B2)，q(sin Bcos B，1sin B)，且pq.(1)求B的大小；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)因为pq，所以pq(cos Bsin B)(sin Bcos B)(2sin B2)(1sin B)0，即sin2Bcos2B2sin2B20，即sin2B，又角B是锐角三角形ABC的内角，所以sin B，所以B60.(2)由(1)得B60，又ABC的面积为，所以SABCacsin B，即ac4.由余弦定理得b
13、2a2c22accos B，又b2，所以a2c28，联立，解得ac2.1.平面向量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|ab|ab|等价于向量a，b互相垂直.3.两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已
14、知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、填空题1.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.解析由|ab|得|ab|210，即a22abb210，又|ab|，所以a22abb26，由得4ab4，则ab1.答案12.(2015北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析()，x，y.答案3.已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.解析由()，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90.答案904.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过AB
15、C的_(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得()，即()，根据平行四边形法则，设ABC中BC边的中点为D，知2，所以点P的轨迹必过ABC的重心.故填重心.答案重心5.已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，则向量a，b的夹角为_.解析因为a，b均为单位向量，所以(2ab)(a2b)223ab，解得ab，所以cosa，b，又a，b0，所以a，b.答案6.(2014江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.解析由题图可得，.222，故有22564，解得22.答案227.ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是
16、_(写出所有正确结论的编号).a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析24|a|24，|a|1，故正确；(2ab)2ab，又ABC为等边三角形，|b|2，故错误；b，ab()22cos 602210，故错误；b，故正确；()()22440，(4ab)，故正确.答案8.(2016淮安月考)如图，在ABC中，C90，且ACBC3，点M满足2，则_.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以(2，1)(0，3)3.法二()22()23.答案3二、解答题9.已知向量a，b，且x.(1)求ab及|ab|；
17、(2)若f(x)ab2|ab|的最小值是，求的值.解(1)abcos cos sin sin cos 2x，|ab|2，因为x，所以cos x0，所以|ab|2cos x.(2)由(1)，可得f(x)ab2|ab|cos 2x4cos x，即f(x)2(cos x)2122.因为x，所以0cos x1.当0时，当且仅当cos x0时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾；当01时，当且仅当cos x时，f(x)取得最小值122，由已知得122，解得；当1时，当且仅当cos x1时，f(x)取得最小值14，由已知得14，解得，这与1相矛盾.综上所述.10.设向量a(sin x，sin x)，b(c
18、os x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值.解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.11.(2016南师附中调研)ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行. (1)求A； (2)若a，b2，求ABC的面积.解(1)因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccos A，而a，b2，A，得74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为Sbcsin A.法二由正弦定理，得，从而sin B，又由ab，知AB，所以cos B，故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面积为Sabsin C.
