1、第10讲 矩形的性质1矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形（2）矩形的定义有两个要素：四边形是平行四边形；有一个角是直角二者缺一不可【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形2矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分（2）矩形的性质可综述为：矩形的对边平行且相等；矩形的对角相等且四个角都是直角；矩形的对角线互相平分且相等； 矩形是轴对称图形，对边中点所确定的直线是它的对称轴，矩形有两条对称轴（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此
2、在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等3直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线矩形性质1：矩形的四个角都是直角已知：如图，四边形ABCD是矩形，且A=90，求证：A= B= C= D=90.证明：四边形ABCD是矩形， C=A=90，D= B，ADBC， A+ B=180， D=B=180-A=180- 90 =90，即矩形的四个角都是直角.矩形性质2：矩形的对角线相等已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC = BD.证明：在矩形ABCD中，ABC = DCB = 90
3、，又AB = DC， BC = CB，ABCDCB，AC = BD.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半已知：在RtABC中，ABC=90，BO是AC上的中线，求证：BO = AC.证明:延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.AO=OC, BO=OD，四边形ABCD是平行四边形.ABC=90，平行四边形ABCD是矩形，AC=BD，BO = BD= AC.考点剖析考点一、矩形性质的理解【例1】下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（）A对边相等B对角线互相平分C对角线相等D对边平行【答案】C【解析】解：A、矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意；B、矩形和平行
4、四边形的对角线都互相平分，故不合题意；C、矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等，故符合题意；D、矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意；故选C【变式1】下列性质中，矩形不一定具有的是（）AB CD【答案】A【解析】解：矩形，；矩形的邻边不一定相等，故选A考点二、利用矩形的性质求角度【例2】如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为（）ABCD【答案】D【解析】解：四边形是矩形，即的度数为，故选D【变式2】如图，延长矩形的边至点E，使，连接，若，则的度数是（）ABCD【答案】B【解析】解：如图，连接，与交于，四边形是矩形，又，.故选B考点三、利用矩形的
5、性质求线段的长【例3】如图，在矩形中，对角线，相交于点O点，分别是，的中点，连接，则的周长为（）A12B18C20D16【答案】B【解析】在矩形中，,，对角线，相交于点O，,点E，F分别是，的中点，是的中位线，的周长为：，故选B【变式3】如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分于点，则的长为 【答案】【解析】解：四边形是矩形，垂直平分，.故答案为：考点四、利用矩形的性质求面积【例4】如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，则图中阴影部分的面积为 【答案】6【解析】解：四边形是矩形，又，在和中，故答案为：6【变式4】如图，若过矩形对角线的交点O，且分别交、于点E、F，则
6、阴影部分的面积是矩形面积的（）ABCD【答案】B【解析】解：四边形为矩形，在与中，阴影部分的面积，与等底等高，即阴影部分的面积是矩形面积的，故B正确故选B考点五、矩形的性质与坐标【例5】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 【答案】【解析】解：四边形是矩形，点的坐标为，作于点E，如图，是的平分线，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理可得：，即，解得，点的坐标为.故答案为：【变式5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，点在轴上，则点的坐标为 【答案】【解析】解：连接，点，四边形是矩形，点的坐标为，故答案为：考点六、矩形的性质与翻折问
7、题【例6】如图，在矩形中，E、F分别是边上一点，将沿翻折得，连接，当 时，是以为腰的等腰三角形【答案】或【解析】设，则，由翻折得：，当时，四边形为矩形，由勾股定理得：，解得：，当时，如图，作，沿翻折得，即，解得，综上所述：或故答案为：或【变式6】如图，在矩形中，点E为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 【答案】或10【解析】解：如图，当E在线段上时，四边形是矩形，由折叠性质得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，故；点E在线段的延长线上时，如图，由折叠性质得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，解得，故.综上，的长为或10故答案为：或10考点七、直角三
8、角形斜边中线的性质【例7】如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、，若，则的度数为 【答案】/度【解析】解：，是的中点，故答案为：【变式7-1】如图所示，为的中位线，点在上，且，若，则的长为 【答案】3【解析】解：在中，为的中点，为的中位线，故答案为：【变式7-2】如图，中，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且求证：【解析】证明：，点D是的中点， ，点E是中点，点D是的中点，即，四边形是平行四边形，考点八、矩形性质的综合问题【例8】如图1，在矩形中，过矩形对角线的中点O作，分别交、于、点(1)求证：；(2)如图2，若为的中点，且，求证：【解析】（1）证明：四边形是矩形，是中点，又，；（2
9、）连接，四边形是矩形， 是中点，在中，G为中点，又，又在中，即【变式8】在矩形中，点E在上，垂足为F(1)求证：；(2)若，且，求的值【解析】（1）证明：在矩形中，又，在和中，；（2）解：，是等腰直角三角形，过关检测一、单选题1如图，在矩形中，对角线，交于点，下列说法错误的是（）ABCD【答案】D【解析】解：在矩形中，对角线，交于点，矩形不一定有，四个选项中只有D选项说法错误，故选D2如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接若，则的度数是（）ABCD【答案】D【解析】解：连接，交于，如图：四边形是矩形，故选D3如图，点P是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，连接，若，则图中阴影部分的面积为（
10、）A12B24C27D54【答案】C【解析】解：作于，交于则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，故选C4如图，在中，D，E分别是，的中点，F是上一点，连接，若，则的长度为（）A10B12C14D16【答案】B【解析】解：，E是的中点，D，E分别是，的中点，为的中位线，故选B5如图，在矩形中，点是的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，连接，则的长是（）ABCD【答案】D【解析】解：如图，连接，交于点，点是的中点，将沿折叠，是直角三角形，将沿折叠，故选二、填空题6如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E若ODA=30，则BOE的度数为 【答案】75【解析】在矩形
11、ABCD中，AE平分BAD，BAE=EAD=45，ADBC，OA=OB，AEB=EAD=45，BE=BAOAD=ODA=30，BAC=60又OA=OB，AOB为等边三角形，BO=BA，BO=BEADBC，OBE=ADO=30，BOE=（180-30）2=757在矩形中，E、F分别在和上，若，则 【答案】【解析】解：，是等腰直角三角形，四边形是矩形，故答案为：8如图，矩形中，对角线相交于点，过点作交于点，已知，的面积为5，则的长为 【答案】3【解析】解：如图，连接，四边形是矩形，对角线相交于点，垂直平分，故答案为：39如图，在矩形中，、相交于点，是边上任意一点，、分别是垂足，若，则= 【答案】/
12、【解析】解：如图，连接，10在矩形中，对角线、相交于点O，平分交于点E，连接，是等边三角形；是等腰三角形；则结论中正确的有 【答案】【解析】解：平分，是等腰直角三角形，矩形中：，是等边三角形，是等边三角形，故正确；，是等腰三角形，故正确；，故错误；，是等边三角形，是等腰三角形，设，则，但，分别以，为底，且高相等，则，故不正确；故答案为：三、解答题11如图，矩形中，与相交于点若，求矩形的面积【解析】解: 四边形为矩形，在中，矩形的面积是12如图，在矩形中，边上有一点E，连接，(1)求的长；(2)求的度数【解析】（1）解：四边形是矩形，；（2）解：， ，13如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边
13、上的F点处，已知，(1)求的长；(2)求的长【解析】（1）解：由题意得，由折叠的性质可得，；（2）解：由题意得，设，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解得，.14如图，已知矩形的对角线，相交于点，(1)求矩形对角线的长；(2)过点作于点，连接求的长【解析】解：（1）四边形为矩形，为等边三角形，即矩形对角线的长为4（2）由勾股定理，得在中，15如图，点是内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点、依次连接，得到四边形（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若为的中点，OM=5，OBC与OCB互余，求DG的长度【解析】（1）证明： 点D、E、F、G分别是AB、OB、OC、AC的中点，DGBC，EFBC，DG=BC，EF=BC， DGEF，DG=EF，四边形DEFG是平行四边形；（2）解：由 （1）知：四边形DEFG是平行四边形，DG=EF OBC与OCB互余，OBC+OCB=90，BOC=90 M为EF的中点，OM=5， OM=EF，即EF=2OM=25=10，DG=1016已知矩形中，E、F为对角线上两点，连接，且于E，于F(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，当时，请直接写出图中面积为面积3倍的所有三角形【解析】（1）证明：四边形为矩形，于E，于F，（2）解：,.,中,，.连接，交于点O，由矩形知，同理，于是，故面积为面积3倍的所有三角形为：，.
