1、专题十 数列讲义10.3 数列求通项知识梳理.数列求通项1.利用与的关系求通项公式；2.累加法：若已知且的形式； 3.累乘法：若已知且的形式；4.构造法：若已知且的形式 （其中p，q均为常数）；题型一. 利用Sn与an的关系考点1.已知Sn与an的关系求an1已知数列an为等差数列，且a35，a59，数列bn的前n项和Sn=23bn+13（）求数列an和bn的通项公式；【解答】解：（）数列an为等差数列，d=12（a5a3）2，又a35，a11，an2n1，当n1时，S1=23b1+13，b11，当n2时，bnSnSn1=23bn23bn1，bn2bn1，即数列bn是首项为1，公比为2的等比数
2、列，bn（2）n1， 2已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=3(an1)(nN)（1）求数列an的通项公式；【解答】解：（1）当n1时，2S13（a11）2a1，得a13，当n2时，2Sn3（an1），2Sn13（an11），两式作差可得2 an3an3an1，即an3an1，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an3n；3记Sn为数列an的前n项和，已知an0，an23an46Sn（1）求数列an的通项公式；【解答】解：（1）当n1时，a123a1=46S1，所以a14或a11（舍）当n2时，因为an23an=46Sn，所以an123an1=46Sn1，两式相减得（an+an
3、1）（anan1+3）0，因为an0，所以anan13，所以数列an是以4为首项3为公差的等差数列，所以an4+（n1）（3）3n1 考点2.带省略号1设数列an满足a1+3a2+(2n1)an=2n(nN)（）求a1，a2及an的通项公式；【解答】解：（）a1+3a2+（2n1）an2n，当n1时，a12，当n2时，a1+3a24，a2=23，a1+3a2+（2n1）an2n，n2时，a1+3a2+（2n3）an12（n1），得：（2n1）an2，an=22n1，又n1时，a12满足上式，an=22n1；2已知数列an，an2n+1，则1a2a1+1a3a2+1an+1an=（）A1+12n
4、B12nC112nD1+2n【解答】解：an+1an2n+1+1（2n+1）2n1an+1an=12n1a2a1+1a3a2+1an+1an=12+122+12n=112n故选：C题型二. 累加法1已知数列an满足a11，an+1an+n+1（1）求an的通项公式；【解答】解：（1）由a11，an+1an+n+1，可得n2时，anan1n，可得ana1+（a2a1）+（a3a2）+.+（anan1）1+2+3+.+n=12n（n+1），即an=12n（n+1），nN*；2设数列an满足a12，an+1an322n1，则数列an的通项公式是an22n1【解答】解：a12，an+1an322n1，
5、n2时，ana1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）2+32+323+322n32+32(14n1)14=22n1；当n1时a12适合上式an=22n1故答案为：22n13在数列an中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，则数列an的通项an 【解答】解：a122+ln1，a22+ln2，a3=2+ln2+ln(1+12)=2+ln2（1+12）2+ln3，a4=2+ln3+ln(1+13)=2+ln4由此可知an2+lnn故选：D题型三.累乘法1在数列an中，已知（n2+n）an+1（n2+2n+1）an，nN+，且a11，求an的表达式【解答】解：由题意，an+1n+1=a
6、nna11，ann是以1为首项，0为公差的等差数列，ann=1，ann2已知数列an满足a13，an+1=3n13n+2an（n1），求an的通项公式【解答】解：数列an满足a13，an+1=3n13n+2an（n1），anan1=3n43n1（n2），an=anan1an1an2a3a2a2a1a1=3n43n13n73n458253=63n1，当n1时也成立an=63n13已知正项数列an的首项a11，且2nan+12+（n1）anan+1（n+1）an20（nN*），则an的通项公式为an(12)n1n【解答】解：2nan+12+（n1）anan+1（n+1）an20，（2nan+1（n
7、+1）an）（an+1+an）0，数列an为正项数列，an+1+an0，2nan+1（n+1）an0，an+1an=n+12n，a2a1=22，a3a2=34，a4a3=46，anan1=n2(n1)，两边累乘得，ana1=223446n2(n1)=n(12)n1an=(12)n1n，故答案为：(12)n1n，题型四. 构造法1已知数列an的前n项和为Sn，满足an+12an+1，且a1+2a2a3（1）求数列an的通项公式；【解答】解：（1）数列an的前n项和为Sn，满足an+12an+1，整理得：an+1+12（an+1），由a1+2a2a32a2+1，解得a11，故数列an+1是以a1+
8、12为首项，2为公比的等比数列；所以an=2n12已知数列an满足an3an1+3n（n2，nN*），首项a13（1）求数列an的通项公式；【解答】解：（1）数列an满足an=3an1+3n（n2，nN*），an3an1=3n，又3n0，an3nan13n1=1为常数，数列an3n是首项为a13=1、公差为1的等差数列，an3n=n，an=n3n（nN*）；3已知数列an满足a1=12，an+1=anan+1，则a2021（）A12019B12020C12021D12022【解答】解：因为an+1=anan+1，则1an+11an=1，又a1=12，则1a1=2，所以数列1an是首项为2，公差为1的等差数列，则1an=n+1，所以an=1n+1，则a2021=12021+1=12022故选：D
