1、专题10 三角函数（三角恒等变换，函数，三角函数的应用)（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练6考点清单01：给角（值）求值6【考试题型1】给定角或者三角函数值，求三角函数值6考点清单02：给值求角8【考试题型1】给定三角函数值，求角8考点清单03：两角和差公式逆应用11【考试题型1】逆用两角和差公式11考点清单04：三角函数图象变换12【考试题型1】三角函数图象平移，伸缩变换12考点清单05：根据图象求三角函数解析式14【考试题型1】看图求解析式14考点清单06：函数的图象与性质的综合应用17【考试题型1】恒（能）成立问题17【考试题型2】零点个数问题20【考试题型3
2、】零点代数和问题25一、思维导图二、知识回归知识点01：两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式（1）（2）简记符号:,.适用条件:公式中的角,是任意角.知识点02：两角和与差的正弦公式（1）（2）简记符号:,.适用条件:公式中的角,是任意角.知识点03：两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式（1）（2）简记符号:,.适用条件:公式中的角,，.变形结论：知识点04：二倍角的正弦、余弦正切公式；知识点05：半角公式 知识点06：辅助角公式：(其中)知识点07：五点法作图必备方法：五点法步骤对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，对应的则取，。，（如上表中，先列出序
3、号两行）第二步：逆向解出（如上表中，序号行。）第三步：得到五个关键点为：，,知识点08：根据图象求解析式形如的解析式求法：1、求法：观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.3、求法：第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.特殊点法：当图象给出的信息缺乏中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件
4、取舍答案.三、典型例题讲与练01：给角（值）求值【考试题型1】给定角或者三角函数值，求三角函数值【解题方法】拼凑角，二倍角公式【典例1】（2023上四川成都高三四川省成都市第八中学校校考阶段练习）已知 是第一象限角， 满足， 则（）ABCD【答案】A【详解】因为 是第一象限，且，所以.故选：A.【典例2】（2023上河南高三校联考阶段练习）已知(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，又，所以,所以,故的值为.（2）由（1），得，又，所以，又，所以，所以，.所以，故的值为.【专训1-1】（2023辽宁沈阳东北育才学校校考模拟预测）已知且，则 【答案】【详解】
5、由得，即，由于，故，则，故，即，则，即，即，故答案为：【专训1-2】（2023上重庆荣昌高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知，则 .【答案】【详解】设，则，所以.故答案为：02：给值求角【考试题型1】给定三角函数值，求角【解题方法】拼凑角，二倍角公式【典例1】（2023上河北廊坊高三河北省文安县第一中学校联考期中）设，且，则（）ABCD【答案】B【详解】因为，所以因为，所以，所以，则故选：B.【典例2】（2023上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）已知.(1)若，求的值；(2)若且，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得：，由已知，得，所以.（2）由，可知，则.因为，则，且，可
6、得，则，所以.【专训1-1】（2023上河北石家庄高三校考阶段练习）若，则 .【答案】【详解】由，则，所以或，则，当时，则，当时，则，又，.故.故答案为：【专训1-2】（2023全国模拟预测）已知，且.(1)求和的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以.又，所以，故.因为，所以，则.（2）由已知条件，得.又，所以.由，得.所以.因为，所以，所以.03：两角和差公式逆应用【考试题型1】逆用两角和差公式【解题方法】利用两角和差公式【典例1】（2023全国高一随堂练习）化简：【答案】【详解】，.【典例2】（2023上山东泰安高三统考期中）的值为（）ABCD【答案】C【
7、详解】,故选：C【专训1-1】（2023下辽宁高二统考学业考试）的值是（）ABCD【答案】D【详解】故选：D【专训1-2】（2023上云南高三云南师大附中校考阶段练习）化简（）A8B1C2D4【答案】B【详解】因为，所以，即，故选：B04：三角函数图象变换【考试题型1】三角函数图象平移，伸缩变换【解题方法】平移，伸缩规律【典例1】（2023上陕西咸阳高三校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】C【详解】因为，所以，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位长度，故选：C.【典例2】（多
8、选）（2023河北模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以为（）ABCD【答案】BD【详解】把函数的图象,向左平移个单位长度,得到的图象,再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到的图象,最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到的图象.而.故选：BD.【专训1-1】（2020全国高三专题练习）将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数
9、解析式是（）.ABCD【答案】A【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象，再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象，然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象.故选：A.【专训1-2】（2023下北京顺义高一统考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】A【详解】因为，所以，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位长度.故选：A.05：根据图象求三角函数解析式【考试题型1】看图求解析式【解题方法】根据三角函数图象特征【典例
10、1】（2023上上海宝山高二上海交大附中校考期中）已知函数的部分图像如图所示(1)求的表达式：【答案】(1)(2)9【详解】（1）由图象可知，的最大值和最小值分别为和，则，即，此时，又因为函数经过，代入，则，所以.最终.【典例2】（2023上山东潍坊高三统考期中）已知函数（其中均为常数，）的部分图象如图所示.(1)求的解析式；(2)求函数在上的值域.【答案】(1)(2)【详解】（1）由图象知， 记周期为T，则所以所以 又因为所以得因为所以 所以 ；（2）因为所以所以所以所以函数的值域为【专训1-1】（2023上重庆高三校联考阶段练习）已知函数在区间上的图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)将
11、函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域【答案】(1);(2)【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期为，则，所以，因为，因为，则，所以，解得，因此，.（2）将的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，则，所以，因此，在上的值域为.06：函数的图象与性质的综合应用【考试题型1】恒（能）成立问题【解题方法】最值法【典例1】（2023上福建高三校联考期中）已知函数.(1)求在上的单调递增区间；(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【
12、答案】(1)(2)【详解】（1）易知原式可化为.由，得，所以的单调递增区间为，取及则在上的单调递增区间为；（2）由题设知，当时，则，即，所以.【典例2】（2023上湖北高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知在区间上最大值为6.(1)求单调增区间；(2)当时，关于不等式有解，求实数取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，由，得，则当，即时， ，解得，因此，由，得，所以函数的单调增区间为.（2）由（1）知，不等式化为，依题意，不等式对有解，由，得，则，因此，从而，则，所以实数取值范围是.【专训1-1】（2023上福建泉州高三福建省德化第一中学校考阶段练习）设是函数的两个零点，且的最
13、小值是.(1)求函数的解析式;(2)已知实数满足，且对恒有，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数的两个零点之间的距离最小值为，所以周期，可得，解得；即函数；所以函数的解析式为；（2）由可得，所以又恒有，只需，所以，解得，即；易知，当且仅当时，等号成立；即可得的最小值为.【专训1-2】（2023上福建高三校联考阶段练习）已知函数的图象经过点，且图象相邻的两条对称轴之间的距离是.(1)求的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则，因为的图象经过点，所以，所以，解得，因为，所以，令，解得，即的单调递增
14、区间为；（2）因为，所以，所以，则，因为对任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范围为.【考试题型2】零点个数问题【解题方法】图象法【典例1】（2023上安徽合肥高三校考阶段练习）已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式，并求出的单调递减区间；(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)，.(2)或【详解】（1）由图象可得，的最小正周期，由，解得，由，解得，所以函数的单调递减区间为，.（2）令，方程可化为，解得，令，可得；，可得；或，故或，因为方程存在4个不相等的实数根，且方程在上有两个根，所以函数的图象与的图象有两个交点；令，则，问题转化为的图
15、象与的图象有两个交点；作出与的大致图象，如图，所以取值范围应在或；即或,解得或.所以或.【典例2】（2023上贵州六盘水高二统考期中）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个实数根，求实数a的取值范围【答案】(1)(2)的图像与函数的图像有两个交点，利用函数图像可确定实数的取值范围.【详解】（1）函数，由图象向右平移可得，所以函数的解析为：.（2）函数，当时，函数的图像如下：要使方程在区间上恰有两个实数根，等价于函数在区间的图像与函数的图像有两个交点，由图可知：，故实数的取值范围为：.【专训1-1】（2023上北京高三北
16、京四中校考期中）已知函数.(1)求的值；(2)求的对称轴；(3)若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）因为，则.（2）.由可得，所以，函数的对称轴方程为.（3）由，可得，当时，因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，因此，实数的取值范围是.【专训1-2】（2023上四川成都高二校考开学考试）已知向量，函数，相邻对称轴之间的距离为(1)求的单调递减区间；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1），因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，
17、所以，得，所以，令,则，所以的单调递减区间为;（2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数，再向左平移个单位得，令，则，所以，因为在上只有一个解，由的图象可得，或，所以的取值范围是【考试题型3】零点代数和问题【解题方法】图象法【典例1】8（2023贵州遵义统考模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设的最小正周期为，则，可得,且，解得，由图象可知：当时，取到最大值，且，则，可得，解得，又因为，可得，则，且的图象过点，则，解得，所以.（2）令，由，可得，可知的零点等价于与的图象交点横
18、坐标，且，作出在内的图象，不妨设，如图所示：由图象可知：，且关于直线对称，所以.【典例2】（2023上安徽铜陵高三统考阶段练习）已知函数（其中）的部分图像如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象(1)求与的解析式；(2)令，求方程在区间内的所有实数解的和【答案】(1)，(2)【详解】（1）由图可知，函数的周期，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，因为将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以；（2），由，得，因为，所以，所以或或或，所以或或或，所以方程在区间内的所有实数解的和为【专训1-1】（2023河南校联考模拟预测）已知函数(1)求函数的最小正周期及
19、最大值；(2)当时，求的所有解之和【答案】(1)最小正周期为，最大值为；(2).【详解】（1）解: ， 故函数的最小正周期， 的最大值为；（2）解：令，则， 画出在上的图象，可知在上有4个解，设为， 令，则为图象的对称轴方程， 当时，是的一条对称轴，则【专训1-2】（2023下江西萍乡高一统考期中）函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值【答案】(1)(2)，【详解】（1）由图可知，又，由可得，；（2）将向右平移个单位得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又，；由对称性可知，
