1、2020年兰州一中高考数学模拟试卷2(理科)一选择题1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合中表示元素范围,然后计算出的范围,最后根据交集的含义计算的结果.【详解】因为,所以即,所以,又因为,所以.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.设复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先根据计算出复数，写出其共轭复数，即可根据复数的坐标表示选出答案【详解】设复数，；，；复数，复数在复平面内对应的点位
2、于第二象限故选【点睛】本题考查共轭复数与复数的坐标表示，属于基础题3.若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，则，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得【详解】令，则，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题4.已知为锐角，则（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根据两角和正切公式求结果.【详解】为锐角，则，.故选：D【点睛】本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
3、5.已知f（k）k+（1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A. s3？B. s5？C. s10？D. s15？【答案】C【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得：k1，s1，s1，不满足判断框内的条件，执行循环体，k2，s4，不满足判断框内的条件，执行循环体，k3，s6，不满足判断框内的条件，执行循环体，k4，s11，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4.因此判断框内的条件可填：s10？故选：C.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.6.在平面直角坐标系中，已知点，若动点满
4、足 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设 ，则， 为点的轨迹方程点的参数方程为（为参数） 则由向量的坐标表达式有：又故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：直接法；定义法；相关点法；参数法；待定系数法7.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数的一种方法例如：3可表
5、示为“”，26可表示为“”现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这9数字表示两位数的个数为A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】6根算筹可分为1、5,2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数；故选【点睛】本题结合算筹计数
6、法，考查排列与组合，属于基础题，本题的关键在于读懂题意8.已知函数是定义在上的偶函数,当时,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先求出当时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当时不等式的解集，从而求出的解集，则，即可得解.【详解】当时,的解为；当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，所以不等式的解集为，所以不等式的解集为.故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.9.已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
7、】先根据双曲线性质得，再根据渐近线求得，即得双曲线的方程.【详解】由图可知，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为.故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.10. 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1,2,3，若|ab| 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2；共7种情况，甲乙出现的结果共有
8、33=9，故出他们”心有灵犀”的概率为.考点：主要考查了组合及古典概型的概率问题.点评：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目m表示事件A包含的试验基本结果数11.已知函数，若方程的解为， （），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定的值.【详解】函数的对称轴满足：，即，令可得函数在区间上的一条对称轴为，结合三角函数的对称性可知，则：，由题意：，且，故，由同角三角函数基本关系可知：.故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的
9、转化能力和计算求解能力.12.已知函数，若与的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，则,推导出，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.【详解】因为函数的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线对称，所以设，则,所以，所以，由得，因为，所以时，是减函数；当时，是增函数，所以时，；当时，当时，；所以，所以实数的取值范围是,所以选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性，从而可求出结果.二填空题13.的展开式的常数项是_【答案】3【解析】=，故它的展开式的
10、常数项为.,故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.14.设m，n为正数，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值.【详解】令，则，且，又，而，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形以便出现和为定值或积为定值的形式，注意
11、利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.15.设是定义在R上的函数，其导函数为，若，则不等式(其中e为自然对数的底数)的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，由题意，只需解即可，利用导数研究的单调性即可得到答案.【详解】设，不等式的解等价于不等式的解，因为，所以在R上单调递增，又，所以，所以，所以原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数利用函数的单调性解不等式，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.16.已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为_【答案】【解析】【分
12、析】由O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，可得球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理、正弦定理可得R.【详解】因为O为ABC外接圆的圆心，且平面PBC平面ABC，过O作面ABC的垂线l，则垂线l一定在面PBC内，根据球的性质，球心一定在垂线l上，球心O1一定在面PBC内，即球心O1也是PBC外接圆的圆心，在PBC中，由余弦定理得cosB，sinB，由正弦定理得：，解得R，三棱锥PABC外接球的表面积为s4R210，故答案为10【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的表面积，将空间问题转化为平面问
13、题，利用正余弦定理是解题的关键，属于中档题一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三解答题17.如图，已知三棱柱中，平面平面ABC，.（1
14、）证明：；（2）设，求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明，只需证明平面即可；（2）取的中点为M，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）证明：连结.，四边形为菱形，.平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面.又，平面，.，平面，而平面，.（2）取的中点为M，连结CM.，四边形为菱形，.又，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图.设，.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则并且，.令，得，即.，二面角的正弦值为.【点晴】本题主要考查线
15、线垂直的证明，坐标法求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道中档题.18.已知数列的前n项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）题设中的递推关系可转化为，利用等比数列的通项公式可求的通项，从而求出后可求的通项公式.（2）利用裂项相消法可求的前项和，从而可证不等式成立.【详解】（1），又，所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，.当时，；当时，符合上式，.（2）证明：，.【点睛】本题考查数列通项的求法以及裂项相消法求和，后者应该根据通项的特征选择合适的求和方法.19.某保险公司给年龄在岁民众提供某种疾病的一年
16、期医疗保险，现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析，按年龄段分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元. 年龄（单位：岁）保费（单位：元）（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值；（2）经调查，年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元，如果参保，保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁，若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小，并判断该老人购买此项
17、保险是否划算？【答案】（1）30；（2），比较划算.【解析】【分析】（1）由频率和为1求出，根据的值求出保费的平均值，然后解一元一次不等式 即可求出结果，最后取近似值即可；（2）分别计算参保与不参保时的期望，比较大小即可.【详解】解:（1）由，解得.保险公司每年收取的保费为:要使公司不亏本，则，即解得.（2）若该老人购买了此项保险，则的取值为(元).若该老人没有购买此项保险，则的取值为.(元).年龄为的该老人购买此项保险比较划算.【点睛】本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.20.已知抛物线的焦点为F，
18、点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.【详解】（1）设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得因此【点睛】本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档
19、题.21.已知函数 . （1）求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求整数的最小值.【答案】（1）见解析（2）5.【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：（1）由题意可知，方程对应的，当，即时，当时，在上单调递减； 当时，方程的两根为，且 ， 此时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时， 此时当，单调递增，当时，单调递减； 综上：当时，单调递增，当时， 单调递减；当时，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减； （2）原式等价于，即存在，使成立设，则， 设，则，在上单调递增又，根据零点存在性定理，
20、可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即， 由题意可知，又，的最小值为.点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）由题意消去参数即
21、可得曲线的普通方程，由极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得的直角坐标方程；（2）由题意结合极坐标方程、直角坐标方程转化公式可得曲线的极坐标方程，设，由的几何意义可得，由特殊角的三角函数值即可得解.【详解】（1）由曲线的参数方程消参可得曲线的普通方程为；曲线的极坐标方程可变为，的直角坐标方程为即；（2）曲线化为极坐标方程为，设，则，由可知，或，或.【点睛】本题考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的转化，考查了的几何意义的应用及运算求解能力，属于中档题.23.已知函数（），不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，且，求的最大值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.【详解】（1），所以不等式的解集为,即为不等式的解集为，的解集为,即不等式的解集为，化简可得,不等式的解集为，所以,即.（2），.又，当且仅当,等号成立,即，时，等号成立，的最大值为32.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式的灵活运用;其中利用构造出和为定值即为定值是求解本题的关键;基本不等式取最值的条件:一正二定三相等是本题的易错点;属于中档题.
