1、专题8：相似三角形性质和判定的应用 【典例引领】例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EFEC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G当BE平分ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D处，过点D作DNAD于点N，与EH交于点M，且AE=1求SEDMSEMN 的值；连接BE，DMH与CBE是否相似？请说明理由【答案】（1）AE=3310；（2）BG=526；（3）54；相似，
2、理由见解析.【分析】（1）先求出BD，进而求出OD=OB=OA，再判断出ODEADO，即可得出结论；（2）先判断出AEFDCE，进而求出BF=1，再判断出CHGCBF，进而求出BK=GK=56，最后用勾股定理即可得出结论；（3）先求出EC=5，再求出DC=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出EMNEHD，得出MNHDEMEH，EDMECH，得出DMCHEMEH，进而得出DMMNCHHD54，即可得出结论；先判断出MDH=NED，进而判断出MDH=ECB，即可得出DMCBDHCE，即可【解答】（1）如图1，连接OA，在矩形ABCD中，CD=AB=3，AD=BC=5，BAD=90在
3、RtABD中，根据勾股定理得，BD=34，O是BD中点，OD=OB=OA=342，OAD=ODA，OE=DE，EOD=ODE，EOD=ODE=OAD，ODEADO，DOAD=DEDO，DO2=DEDA，设AE=x，DE=5x，（342）2=5（5x），x=3310，即：AE=3310；（2）如图2，在矩形ABCD中，BE平分ABC，ABE=EBC=45，ADBC，AEB=EBC，ABE=AEB，AE=AB=3，AE=CD=3，EFEC，FEC=90，AEF+CED=90，A=90，AEF+AFE=90，CED=AFE，D=A=90，AEFDCE，AF=DE=2，BF=ABAF=1，过点G作GK
4、BC于K，EBC=BGK=45，BK=GK，ABC=GKC=90，KCG=BCF，CHGCBF，GKFB=CKCB，设BK=GK=y，CK=5y，y=56，BK=GK=56，在RtGKB中，BG=526；（3）在矩形ABCD中，D=90，AE=1，AD=5，DE=4，DC=3，EC=5，由折叠知，ED=ED=4，DH=DH，EDH=D=90，DC=1，设DH=DH=z，HC=3z，根据勾股定理得，（3z）2=1+z2，z=43，DH=43，CH=53，DNAD，AND=D=90，DNDC，EMNEHD，MNHD=EMEH，DNDC，EDM=ECH，MED=HEC，EDMECH，DMCHEMEH
5、，MNHDDMCH，DMMNCHHD54，SEDMSEMN54；相似，理由：由折叠知，EHD=EHD，EDH=D=90，MDH+EDN=90，END=90，EDN+NED=90，MDH=NED，DNDC，EHD=DMH，EHD=DMH，DM=DH，ADBC，NED=ECB，MDH=ECB，CE=CB=5，DMCBDHCEDMHCBE【强化训练】1如图1，以ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，如图2，若ADC=60，求DGBH的值；如图3，若ADC=（090）
6、,直接写出DGBH的值.（用含的三角函数表示）【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cos.【分析】（1）BG=EG，根据已知条件易证BAGEFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）方法一：过点G作GMBH，交DH于点M，证明GMEBHE，即可得GMBH=GEBE=12，再证明MGD是等边三角形，可得 DG=MG，由此可得DGBH=MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明HBM为等边三角形，再证明EDGEMB ，即可得结论；如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cos=OEEF，则OF=bcos，DG=a+2bcos，同理表示AH的长，代入DGBH
7、计算即可【解答】（1）BG=EG， 理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD.四边形CDEF是菱形， CDEF，CD=EF.ABEF，AB=EF.ABG=FEG.又AGB=FGE，ABGFEG (AAS).BG=EG.（2）方法1：过点G作GMBH，交DH于点M， EMG=EHA.GEM=BEH，GMEBHE. GMBH=GEBE.由（1）结论知BG=EG.EG=12BE.GMBH=GEBE=12. 四边形CDEF为菱形，ADC=EDF=60.四边形ABCD是平行四边形， ABCD.CDF=HAD=60.GMAH，MGD=HAD=60.GMD=180-MGD-MDG=60，即
8、GMD=MGD=MGD=60.MGD是等边三角形。 DG=MG.DGBH=MGBH=12. 方法2：延长ED，BC交于点M，四边形CDEF为菱形，EDF=CDF=60. 四边形ABCD为平形四边形，ABC=ADC=60，ADBC.EDF=M=60.H=180-HBM-M=180-60=60,即HBM=M=H=60.HBM为等边三角形. HB=MB.ADBC，EGD=EBM,EDG=M.EDGEMB ，DGMB=EGEB.由（1）结论知BG=EGEG=12BE.DGMB=GEBE=12. HB=MB,DGBH=DGMB=12 .（3）cos. 如图3，连接EC交DF于O，四边形CFED是菱形，E
9、CAD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，RtEFO中，cos=OEEF，OF=bcos，DG=a+2bcos，过H作HMAD于M，ADC=HAD=ADH=，AH=HD，AM=12AD=12（2a+2bcos）=a+bcos，RtAHM中，cos=AMAH，AH=a+bcoscos，DGBH=a+2bcosb+a+bcoscos=cos2已知：ABC是等腰三角形，CA=CB，0ACB90点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AGBC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE（1）如图
10、，当ACB=90时求证：BCMACN；求BDE的度数；（2）当ACB=，其它多件不变时，BDE的度数是 （用含的代数式表示）（3）若ABC是等边三角形，AB=33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长【答案】（1）证明见解析；BDE=90；（2）或180；（3）CF的长为32或43【分析】（1）根据SAS证明即可；想办法证明ADE+ADB=90即可；（2）分两种情形讨论求解即可，如图2中，当点E在AN的延长线上时，如图3中，当点E在NA的延长线上时，（3）分两种情形求解即可，如图4中，当BN=13BC=3时，作AKBC于K，解直角三角形即可如图5中，当C
11、N=13BC=3时，作AKBC于K，DHBC于H，结合图形求解即可.【解答】（1）如图1中，CA=CB，BN=AM，CBBN=CAAM，即CN=CM，ACN=BCM，BCMCAN；如图1中，BCMACN，MBC=NAC，EA=ED，EAD=EDA，AGBC，GAC=ACB=90，ADB=DBC，ADB=NAC，ADB+EDA=NAC+EAD，ADB+EDA=18090=90，BDE=90；（2）如图2中，当点E在AN的延长线上时，易证：CBM=ADB=CAN，ACB=CAD，EA=ED，EAD=EDA，CAN+CAD=BDE+ADB，BDE=ACB=；如图3中，当点E在NA的延长线上时，易证：
12、1+2=CAN+DAC，2=ADM=CBD=CAN，1=CAD=ACB=，BDE=180，综上所述，BDE=或180，故答案为：或180；（3）如图4中，当BN=13BC=3时，作AKBC于K，ADBC，ADBC=AMCM=12，AD=332，AC=33，易证ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形，AKNDCF，CF=NK=BKBN=3323=32；如图5中，当CN=13BC=3时，作AKBC于K，DHBC于H，ADBC，ADBC=AMCM=2，AD=63，易证ACD是直角三角形，由ACKCDH，可得CH=3AK=932，由AKNDHF，可得KN=FH=32，CF=CHFH=43综上所述，
13、CF的长为32或433如图，ABC中，BAC为钝角，B=45，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作PCF=B（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；如图2，若AD=DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C，将PCF沿CC方向平移，使顶点C落在点C处，记平移后的PCF为PCF，将PCF绕点C顺时针旋转角（045），CF交线段BC于点M，CP交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系【答案】（1）AB=CE
14、，ABCE；AB=CE；（2）MN2=BM2+CN2【分析】试题分析：（1）结论：AB=CE如图1中，作EHBA交BP于H只要证明BDAHDE，EC=EH即可解决问题；结论：AB=CE如图2中，作EHBA交BP于H由ABDEHD，可得=，推出AB=EH，再证明EC=EH，即可解决问题；（2）结论：MN2=BM2+CN2首先说明BCC是等腰直角三角形，将CBM绕点C顺时针旋转90得到CCG，连接GN只要证明CMNCGN，推出MN=GN，在RtGCN中，根据GN2=CG2+CN2，即可证明.【解答】（1）结论：AB=CE， ABCE，理由：如图1中，作EHBA交BP于H，ABEH，B=DHE，AD
15、=DE，BDA=EDH，BDAHDE，AB=EH，PCF=B=CHE，EC=EH，AB=EH，ECH=EHC=45，CEH=90，CEEH，ABEH，ABCE；结论：AB=CE理由：如图2中，作EHBA交BP于H，BAEH，ABDEHD，=，AB=EH，PCF=B=CHE，EC=EH，AB=EH；（2）结论：MN2=BM2+CN2，理由：如图3中，B=PCF=BCC=45，BCC是等腰直角三角形，将CBM绕点C顺时针旋转90得到CCG，连接GN，CCG=B=45，GCB=CCG+CCB=90，GCN=90，MCG=90，MCN=45，NCM=NCG，CM=CG，CN=CN，CMNCGN，MN=
16、GN，在RtGCN中，GN2=CG2+CN2，CG=BM，MN=GN，MN2=BM2+CN24（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DAB=ABD，BEAD，垂足为E，求证：BC=2AE小明经探究发现，过点A作AFBC，垂足为F，得到AFB=BEA，从而可证ABFBAE（如图2），使问题得到解决（1）根据阅读材料回答：ABF与BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，ABC中，AB=AC，BAC=90，D为BC的中点，E为
17、DC的中点，点F在AC的延长线上，且CDF=EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，ABC中，AB=AC，BAC=120，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0k33），AED=BCD，求AEEC的值（用含k的式子表示）【答案】（1）AAS；（2）4；（3）AEEC=3k2+k1-3k2【分析】试题分析：（1）作AFBC，根据已知条件易得AFB=BEA，DAB=ABD，AB=AB，根据AAS可判断出ABFBAE；（2）连接AD，作CGAF，易得tanDAE=，再由tanF=tanDAE，求出CG，再证DCGACE，根据相似三角形的性质即可求出AC；（3）过点D作DGBC，设
18、DG=a，在RtABH，RtADN，RtABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用NDEGDC，求出AE，EC即可【解答】证明：（1）如图2，作AFBC，BEAD，AFB=BEA，在ABF和BAE中，ABFBAE（AAS），BF=AEAB=AC，AFBC，BF=BC，BC=2AE，故答案为AAS（2）如图3，连接AD，作CGAF，在RtABC中，AB=AC，点D是BC中点，AD=CD，点E是DC中点，DE=CD=AD，tanDAE=，AB=AC，BAC=90，点D为BC中点，ADC=90，ACB=D
19、AC=45，F+CDF=ACB=45，CDF=EAC，F+EAC=45，DAE+EAC=45，F=DAE，tanF=tanDAE=，CG=2=1，ACG=90，ACB=45，DCG=45，CDF=EAC，DCGACE，CD=AC，CE=CD=AC，AC=4；AB=4；（3）如图4，过点D作DGBC，设DG=a，在RtBGD中，B=30，BD=2a，BG=a，AD=kDB，AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），过点A作AHBC，在RtABH中，B=30BH=a（k+1），AB=AC，AHBC，BC=2BH=2a（k+1），CG=BCBG=a（2k+1），过D作DNAC交C
20、A延长线与N，BAC=120，DAN=60，ADN=30，AN=ka，DN=ka，DGC=AND=90，AED=BCD，NDEGDC，NE=3ak（2k+1），EC=ACAE=ABAE=2a（k+1）2ak（3k+1）=2a（13k2），5我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”例如图1，图2，图3中，AF，BE是ABC的中线，AFBE，垂足为P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BCa，ACb，ABc特例探索（1）如图1，当ABE45，c22时，a ，b ；如图2，当ABE30，c4时，a ，b ；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用
21、等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BEEG，AD25，AB3求AF的长【答案】（1）25，25；213，27；（2）a2+b2=5c2；（3）AF=4【分析】（1）运用三角形中位线的性质和相似，勾股定理就可求出（2）思路同（1），要用到锐角三角函数（3）求出AE，EF的长，在用（2）中的结论即可求出【解答】（1）AFBE，ABE=45，AP=BP=AB=2，AF，BE是ABC的中线，EFAB，EF=AB=，PFE=PEF=45，PE=PF=1，在RtFPB和RtPEA中，AE=BF=，AC=BC=2，a=b
22、=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=4=2，EFAB，PEFABP，在RtABP中，AB=4，ABP=30，AP=2，PB=2，PF=1，PE=，在RtAPE和RtBPF中，AE=，BF=，a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；（2） 猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设ABP=，AP=csin，PB=ccos，由（1）同理可得，PF=PA=，PE=，AE2=AP2+PE2=c2sin2+，BF2=PB2+PF2=+c2cos2，=c2sin2+，=+c2cos2，+=+c2cos2+c2sin2+，a2+b2=5c2；（3） 如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，点E、G分别是AD，CD的中点，EGAC，BEEG，BEAC，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=2，EAH=FCH，E，F分别是AD，BC的中点，AE=AD，BF=BC，AE=BF=CF=AD=，AEBF，四边形ABFE是平行四边形，EF=AB=3，AP=PF，在AEH和CFH中，AEHCFH，EH=FH，EQ，AH分别是AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，AF2=5EF2=16，AF=4
