1、 专题08 三角形角度计算经典模型解题思路【考点1 “8字”模型】【结论】A+B=D+E.【考点2 飞镖模型】【结论】BPC=A+B+C.【考点3 “风筝”模型】【结论】PBD+PCD=A+P【典例分析】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春鼓楼区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）图2中，当D50度，B40度时，求P的度数（3）图2中D和B为任意角
2、时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系【变式1-1】（2020柯桥区模拟）如图所示，的度数是（）A10B20C30D40【变式1-2】（2022春叙州区期末）如图，BP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，若A45，P40，则C的度数为（）A30B35C40D45【变式1-3】（2022春渝中区校级期中）如图，五角星的五个角之和，即：A+B+C+D+E（）A180B90C270D240【变式1-4】（2021春玄武区期末）如图，A+B+C+D+E+F【变式1-5】（2020秋平舆县期末）如图，A+B+C+D+E 【变式1-6】（2021秋正阳县期末）图1，线段A
3、B、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；（3）图2中，当D50度，B40度时，求P的度数（4）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
4、（1）观察“规形图（1）”，试探究BDC与A、B、C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图（2），把一块三角尺XYZ放置在AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若A40，则ABX+ACX 如图（3），DC平分ADB，EC平分AEB，若DAE40，DBE130，求DCE的度数【变式2-1】（2020春沙坪坝区校级期中）如图，ABC中，A30，D为CB延长线上的一点，DEAB于点E，D40，则C为（）A20B15C30D25【变式2-2】（2017东昌府区一模）如图，BDC98，C38，A37，B的度数是（）A33B23C27D37【变式2-3】
5、（2021春工业园区校级月考）如图，点C是BAD内一点，连CB、CD，A80，B10，D40，则BCD的度数是（）A110B120C130D150【变式2-4】（2021碑林区校级二模）如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，如果BDC140，BGC110，则A 【考点3 “风筝”模型】【典例3】（2020秋五华区期末）如图，在三角形纸片ABC中，A60，B70，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，若218，则1的度数为（）A50B118C100D90【变式3-1】（2020秋潮阳区期中）如图，在ABC中，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若1260，则B
6、的度数是（）A30B32C35D60【变式3-2】（2018聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在ABC外的A处，折痕为DE如果A，CEA，BDA，那么下列式子中正确的是（）A2+B+2C+D180【典例4】（2021春高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A处后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C落在BN上的C处，已知CMB68，A18，则原三角形的C的度数为（）A87B84C75D72【变式4-1】（2021春济南期中）如图，ABC中，B40，C30，点D为边BC上一点，将ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处
7、，若DEAB，则ADE的度数为（）A100B110C120D130【变式4-2】（2021春滦州市期末）已知：如图所示，将ABC的C沿DE折叠，点C落在点C处，若设C，AEC，BDC，则下列关系成立的是（）A2+B+C+180D+2【变式4-3】（2021春通许县期末）如图所示，将ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若A65，则1+2（）A25B65C115D130【夯实基础】1（2021秋广州期中）如图，三角形纸片ABC中，A65，B75，将C沿DE对折，使点C落在ABC外的点C处，若120，则2的度数为（）A80B90C100D1102.（2022春晋江市期末）如图，把三角形纸片ABC沿
8、DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则A与1、2之间的数量关系是（）A2A12B3A2（12）C3A212DA123（2021春沙坪坝区校级期中）如图所示，A+B+C+D+E+F 度4（2021秋海珠区校级期中）如图，则A+B+C+D+E+F的度数为 5（2020开福区校级开学）如图，A+B+C+D+E+F的度数为 6（2020春昌黎县期末）如图，A+B+C+D+E+F 度7（秋磴口县校级期中）如图，A50，ABO28，ACO32，则BDC 度，BOC 度23（2021春江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中A63，B77，将纸片一角折叠，使点C落在ABC的内部，若250，则1 8（2
9、020秋郯城县期末）探索归纳：（1）如图1，已知ABC为直角三角形，A90，若沿图中虚线剪去A，则1+2等于 A.90B.135C.270 D.315（2）如图2，已知ABC中，A40，剪去A后成四边形，则1+2 （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想1+2与A的关系是 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究1+2与A的关系并说明理由9（2022春新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三
10、角形的一个顶点作其对边的平行线来证明请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：BAC+B+C180，证明：过点A作EFBC（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”请利用小颖探究的结论直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（3）在图2的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断P与D、B之间存在的数量关系，并说明理由【能力提升】10（2020秋薛城区期末）如图，CD、BD分别平分ACE、ABC，A80，则BDC（）A35B40C30D4511（20
11、20春江阴市期中）AD是CAE的平分线，B35，DAE60，则ACD（）A25B60C85D9512（2019秋保山期末）如图，若A27，B45，C38，则DFE等于（）A110B115C120D12513（2021春淮阳区期末）如图，在ABC中，BP平分ABC，AP平分NAC，CP平分ABC的外角ACM，连接AP，若BPC40，则NAP的度数是（）A30B40C50D6014（2021春茌平区期末）如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线交于点O，D是ACF与ABC平分线的交点，E是ABC的两外角平分线的交点，若BOC130，则D的度数为（）A25B30C40D5015（2020秋费县期末）
12、如图，BA1和CA1分别是ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD的角平分线，CA2是A1CD的角平分线，BA3是A2BD的角平分线，CA3是A2CD的角平分线，若A，则A2021为 16.（2021春衡阳县期末）如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点P（1）如果A80，求BPC的度数；（2）如图，作ABC外角MBC，NCB的角平分线交于点Q，试探索Q、A之间的数量关系（3）如图，延长线段BP、QC交于点E，BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A的度数17（2021春邗江区月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型
13、”（1）求证：A+CB+D利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，1130，则A+B+C+D+E+F的度数为 （3）如图3，若CAB和BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N若B100，C120，求P的度数若角平分线中角的关系改成“CAPCAB，CDPCDB”，试直接写出P与B，C之间存在的数量关系，并证明理由 专题08 三角形角度计算经典模型解题思路【考点1 “8字”模型】【结论】A+B=D+E.【考点2 飞镖模型】【结论】BPC=A+B+C.【考点3 “风筝”模型】【结论】PBD+PCD=A+P【典例分析】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春鼓楼区
14、校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）图2中，当D50度，B40度时，求P的度数（3）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系【答案】（1）A+DC+B；（2）P45 （3）2PB+D【解答】解：（1）由题知，A+DDOBC+B，A+DC+B，故答案为：A+DC+B；（2）由（1）可得，DAO+DOCB+B，同理可得，DAM
15、+DOCP+P，DAB和BCD的平分线是AP和CP，DAO+DOCB+P，由2得，D2PB，即2PD+B，2P50+40，故P45；（3）由（2）可知2PB+D【变式1-1】（2020柯桥区模拟）如图所示，的度数是（）A10B20C30D40【答案】A【解答】解：A+B+AOBC+D+COD，AOBCOD，A+BC+D30+2040+，10故选：A【变式1-2】（2022春叙州区期末）如图，BP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，若A45，P40，则C的度数为（）A30B35C40D45【答案】B【解答】解：A+ADG+AGD180，ABC+C+BGC180，A+ADG+AGD
16、ABC+C+BGC又AGDBGC，A+ADGC+GBCACGBCADG同理可得，A+ADEP+PBEAPPBEADEBP平分ABC交CD于点F，DP平分ADC交AB于点E，GBC2PBE，ADG2ADEAC2（AP）A+C2P又A45，P40，C35故选：B【变式1-3】（2022春渝中区校级期中）如图，五角星的五个角之和，即：A+B+C+D+E（）A180B90C270D240【答案】A【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由BOECOD得：B+EOCD+ODC，在ACD中，A+ACD+ADC180，即A+ACE+OCD+ODC+ADB180，A+ACE+B+E+ADB180，即五角星
17、的五个内角之和为180故选：A【变式1-4】（2021春玄武区期末）如图，A+B+C+D+E+F【答案】360【解答】解：如图，延长DE交AB于点G，由三角形外角性质可知：1F+DEF，21+A，2F+DEF+A，在四边形BCDG中，由四边形内角和可知：B+C+D+2360，A+F+DEF+B+C+D360故答案为：360【变式1-5】（2020秋平舆县期末）如图，A+B+C+D+E 【答案】180【解答】解：如图，设线段BD，BE分别与线段AC交于点N，MAMBA+E，DNCB+AMB，DNC+D+C180，A+B+D+E+C180，故答案为：180【变式1-6】（2021秋正阳县期末）图1
18、，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；（3）图2中，当D50度，B40度时，求P的度数（4）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）【解答】解：（1）A+D+AODC+B+BOC180，AODBOC，A+DC+B，故答案为：A+DC+B；（2）线段AB、CD相交于点O，形
19、成“8字形”；线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）DAP+DP+DCP，PCB+BPAB+P，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAPPAB，DCPPCB，+得：DAP+D+PCB+BP+DCP+PAB+P，即2PD+B，又D50度，B40度，2P50+40，P45；（4）关系：2PD+BD+1P+3B+4P+2+得：D+1+4+BP+3+2+P，DAB和DCB的平分线A
20、P和CP相交于点P，12，342PD+B【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究BDC与A、B、C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：如图（2），把一块三角尺XYZ放置在AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若A40，则ABX+ACX 如图（3），DC平分ADB，EC平分AEB，若DAE40，DBE130，求DCE的度数【解答】解：（1）如图（1），BDCBAC+B+C，理由是：过点A、D作射线AF，FD
21、CDAC+C，BDFB+BAD，FDC+BDFDAC+BAD+C+B，即BDCBAC+B+C；（2）如图（2），X90，由（1）知：A+ABX+ACXX90，A40，ABX+ACX50，故答案为：50；如图（3），A40，DBE130，ADE+AEB1304090，DC平分ADB，EC平分AEB，ADCADB，AECAEB，ADC+AEC45，DCEA+ADC+AEC40+4585【变式2-1】（2020春沙坪坝区校级期中）如图，ABC中，A30，D为CB延长线上的一点，DEAB于点E，D40，则C为（）A20B15C30D25【答案】A【解答】解：DEAB，DEB90，D40，ABD180D
22、DEB50，ABDA+C，A30，CABDA503020故选：A【变式2-2】（2017东昌府区一模）如图，BDC98，C38，A37，B的度数是（）A33B23C27D37【答案】B【解答】解：如图，延长CD交AB于E，C38，A37，1C+A38+3775，BDC98，BBDC1987523故选：B【变式2-3】（2021春工业园区校级月考）如图，点C是BAD内一点，连CB、CD，A80，B10，D40，则BCD的度数是（）A110B120C130D150【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E，BED是ABE的一个外角，A80，B10，BEDA+B90，BCD是CDE的一个外角BCDBE
23、D+D130，故选：C【变式2-4】（2021碑林区校级二模）如图，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，如果BDC140，BGC110，则A 【答案】80【解答】解：连接BC，BDC140，DBC+DCB18014040，BGC110，GBC+GCB18011070，GBD+GCD704030，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，ABG+ACGGBD+GCD30，在ABC中，A18040303080故答案为：80【考点3 “风筝”模型】【典例3】（2020秋五华区期末）如图，在三角形纸片ABC中，A60，B70，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，若218，
24、则1的度数为（）A50B118C100D90【答案】B【解答】解：在ABC中，A60，B70，C180AB50由折叠，可知：CDECDE，CEDCED，CED99，CDE180CEDC31，1180CDECDE1802CDE118故选：B【变式3-1】（2020秋潮阳区期中）如图，在ABC中，将ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若1260，则B的度数是（）A30B32C35D60【答案】A【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：DB，根据外角性质得：13+B，32+D，12+D+B2+2B，122B60B30，故选：A【变式3-2】（2018聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使
25、点A落在ABC外的A处，折痕为DE如果A，CEA，BDA，那么下列式子中正确的是（）A2+B+2C+D180【答案】A【解答】解：由折叠得：AA，BDAA+AFD，AFDA+CEA，A，CEA，BDA，BDA+2+，故选：A【典例4】（2021春高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A处后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C落在BN上的C处，已知CMB68，A18，则原三角形的C的度数为（）A87B84C75D72【答案】A【解答】解：如图，由题意得：ABNABN，CBNCBM12，23，CMBCMB68123ABC33又3+C+C
26、MB180，3+C180CMB18068112又A+ABC+C180，18+23+（3+C）18018+23+112180325C11231122587故选：A【变式4-1】（2021春济南期中）如图，ABC中，B40，C30，点D为边BC上一点，将ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DEAB，则ADE的度数为（）A100B110C120D130【答案】B【解答】解：B40，C30，BAC110，由折叠的性质得，EC30，EADCAD，ADEADC，DEAB，BAEE30，CAD40，ADEADC180CADC110，故选：B【变式4-2】（2021春滦州市期末）已知：如图所示，将ABC
27、的C沿DE折叠，点C落在点C处，若设C，AEC，BDC，则下列关系成立的是（）A2+B+C+180D+2【答案】A【解答】解：由折叠的性质知：CCAEC+CEC180，BDC+CDC180，180CEC，180CDC+360CECCDCC+CEC+CDC+C360，2360CECCDC+2故选：A【变式4-3】（2021春通许县期末）如图所示，将ABC沿着DE折叠，使点A与点N重合，若A65，则1+2（）A25B65C115D130【答案】D【解答】解：NDE是ADE翻折变换而成，AEDNED，ADENDE，AN65，AED+ADENED+NDE18065115，1+23602115130故选
28、：D【夯实基础】1（2021秋广州期中）如图，三角形纸片ABC中，A65，B75，将C沿DE对折，使点C落在ABC外的点C处，若120，则2的度数为（）A80B90C100D110【答案】C【解答】解：A65，B75，C180657540，由折叠的性质可知，CC40，31+C60，2C+3100，故选：C2.（2022春晋江市期末）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则A与1、2之间的数量关系是（）A2A12B3A2（12）C3A212DA12【答案】A【解答】解：ADE是ADE沿DE折叠得到，AA，又ADA1801，3A+2，A+ADA+3180，即A+180
29、1+A+2180，整理得，2A12A（12），即2A12故选：A3（2021春沙坪坝区校级期中）如图所示，A+B+C+D+E+F 度【答案】360【解答】解：B+C1，A+F2，A+B+C+D+E+F1+2+E+D360故答案为：3604（2021秋海珠区校级期中）如图，则A+B+C+D+E+F的度数为 【答案】360【解答】解：连接AD，在AOD和BOC中，AODBOC，B+C1+2，B+C+BAF+EDF1+2+BAF+EDFEDA+FAD，EDA+FAD+E+F360，BAF+EDF+B+C+E+F360，故答案为：3605（2020开福区校级开学）如图，A+B+C+D+E+F的度数为
30、【答案】360【解答】解：AICA+B，EPCC+D，AOEE+F，A+B+C+D+E+FAIC+EPC+AOE360故答案为：3606（2020春昌黎县期末）如图，A+B+C+D+E+F 度【答案】360【解答】解：如右图所示，AHGA+B，DNGC+D，EGNE+F，AHG+DNG+EGNA+B+C+D+E+F，又AHG、DNG、EGN是GHN的三个不同的外角，AHG+DNG+EGN360，A+B+C+D+E+F360故答案为：3607（秋磴口县校级期中）如图，A50，ABO28，ACO32，则BDC 度，BOC 度【答案】78，110【解答】解：A50，ABO28，ACO32，BDCA+
31、ABO78，BOCBDC+ACO11023（2021春江都区校级期末）如图，三角形纸片ABC中A63，B77，将纸片一角折叠，使点C落在ABC的内部，若250，则1 【答案】30【解答】解：设折痕为EF，连接CC2ECC+ECC，1FCC+FCC，ECFECF，1+22ECF，C180AB180637740，1805030，故答案为：308（2020秋郯城县期末）探索归纳：（1）如图1，已知ABC为直角三角形，A90，若沿图中虚线剪去A，则1+2等于 A.90B.135C.270 D.315（2）如图2，已知ABC中，A40，剪去A后成四边形，则1+2 （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过
32、程，请你归纳猜想1+2与A的关系是 （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究1+2与A的关系并说明理由【解答】解：（1）：四边形的内角和为360，直角三角形中两个锐角和为901+2360（A+B）360902701+2等于270故选C；（2）1+2180+40220，故答案是：220；（3）1+2与A的关系是：1+2180+A（4）EFP是由EFA折叠得到的，AFEPFE，AEFPEF11802AFE，21802AEF1+23602（AFE+AEF）又AFE+AEF180A，1+23602（180A）2A9（2022春新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师
33、安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：BAC+B+C180，证明：过点A作EFBC（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”请利用小颖探究的结论直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（3）在图2的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断P与D、B之间存在的
34、数量关系，并说明理由【解答】（1）证明：过A作EFBC，EABB，FACC，又EAB+BAC+FAC180，B+C+BAC180；（2）解：根据（1）得A+D+AODC+B+COB180，又AODBOC，A+DC+B；故答案为：A+DC+B；（3）解：2PD+B根据（2）D+DAPP+DCP，PAB+PB+PCB，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，DAPPAB，DCPPCB，得：DPPB，2PD+B【能力提升】10（2020秋薛城区期末）如图，CD、BD分别平分ACE、ABC，A80，则BDC（）A35B40C30D45【答案】B【解答】解：ACE是ABC的外角，AACEABC，CD
35、、BD分别平分ACE、ABC，DCEACE，DBEABC，DCE是BCD的外角，DDCEDBCACEABC（ACEABC）40，故选：B11（2020春江阴市期中）AD是CAE的平分线，B35，DAE60，则ACD（）A25B60C85D95【答案】D【解答】解：AD是CAE的平分线，EAC2DAE120，ACBEACB85，ACD1808595，故选：D12（2019秋保山期末）如图，若A27，B45，C38，则DFE等于（）A110B115C120D125【答案】A【解答】解：A27，C38，AEBA+C65，B45，DFE65+45110，故选：A13（2021春淮阳区期末）如图，在AB
36、C中，BP平分ABC，AP平分NAC，CP平分ABC的外角ACM，连接AP，若BPC40，则NAP的度数是（）A30B40C50D60【答案】C【解答】解：BP平分ABC，CP平分ABC的外角ACM，PCMACM，PBCABC，ACMABC+BAC，PCMPBC+BPC，PCMABC+BAC+BPC，BPCBAC40，BAC80，NAC100，NAP50，故选：C14（2021春茌平区期末）如图，在ABC中，ABC，ACB的平分线交于点O，D是ACF与ABC平分线的交点，E是ABC的两外角平分线的交点，若BOC130，则D的度数为（）A25B30C40D50【答案】C【解答】解：由题意得：CO
37、，CD分别平分ACB，ACF，ACOACB，ACDACF，ACB+ACF180，OCDACO+ACD90，BOC130，且BOC是OCD的外角，DBOCOCD1309040故选：C.15（2020秋费县期末）如图，BA1和CA1分别是ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是A1BD的角平分线，CA2是A1CD的角平分线，BA3是A2BD的角平分线，CA3是A2CD的角平分线，若A，则A2021为 【答案】【解答】解：A1B是ABC的平分线，A1C是ACD的平分线，A1BCABC，A1CDACD，又ACDA+ABC，A1CDA1BC+A1，（A+ABC）ABC+A1，A1A，同理可得A2A1，A
38、3A2，则A2021A故答案为：16.（2021春衡阳县期末）如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点P（1）如果A80，求BPC的度数；（2）如图，作ABC外角MBC，NCB的角平分线交于点Q，试探索Q、A之间的数量关系（3）如图，延长线段BP、QC交于点E，BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A的度数【解答】（1）解：A80ABC+ACB100，点P是ABC和ACB的平分线的交点，P180（ABC+ACB）180100130，（2）外角MBC，NCB的角平分线交于点Q，QBC+QCB（MBC+NCB）（360ABCACB）（180+A）90+AQ180（90+A）90A；
39、（3）延长BC至F，CQ为ABC的外角NCB的角平分线，CE是ABC的外角ACF的平分线，ACF2ECF，BE平分ABC，ABC2EBC，ECFEBC+E，2ECF2EBC+2E，即ACFABC+2E，又ACFABC+A，A2E，即EA；EBQEBC+CBQABC+MBC（ABC+A+ACB）90如果BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：EBQ2E90，则E45，A2E90；EBQ2Q90，则Q45，E45，A2E90；Q2E，则90AA，解得A60；E2Q，则A2（90A），解得A120综上所述，A的度数是90或60或12017（2021春邗江区月考）如图1，已知线段A
40、B、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”（1）求证：A+CB+D利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，1130，则A+B+C+D+E+F的度数为 （3）如图3，若CAB和BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N若B100，C120，求P的度数若角平分线中角的关系改成“CAPCAB，CDPCDB”，试直接写出P与B，C之间存在的数量关系，并证明理由【解答】解：（1）证明：在图1中，有A+C180AOC，B+D180BOD，AOCBOD，A+CB+D；（2）如图2所示，DMEA+E，3DME+D，A+E+D3，23+F，1130，3
41、+F21130，A+E+D+F130，B+C1130，A+B+C+D+E+F260故答案为：260（3）以M为交点“8字型”中，有P+CDPC+CAP，以N为交点“8字型”中，有P+BAPB+BDP2P+BAP+CDPB+C+CAP+BDP，AP、DP分别平分CAB和BDC，BAPCAP，CDPBDP，2PB+C，B100，C120，P（B+C）（100+120）110；3PB+2C，其理由是：CAPCAB，CDPCDB，BAPCAB，BDPCDB，以M为交点“8字型”中，有P+CDPC+CAP，以N为交点“8字型”中，有P+BAPB+BDPCPCDPCAP（CDBCAB），PBBDPBAP（CDBCAB）3（CP）PB，4PB+3C
