1、2016-2017学年上海华师大二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每空3分，共42分）1已知集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，则AB=2不等式0的解集为（用区间表示）3已知A=（x，y）|4x+y=6，B=（x，y）|3x+2y=7，则AB=4已知全集U=R，集合P=x|x25x60，那么UP=5已知集合A=1，3，2m+3，集合B=3，m2若BA，则实数m=6设全集U=MN=1，2，3，4，5，MUN=2，4，则N=7满足1，2M1，2，3，4，5，6的集合M的个数是8已知xR，命题“若2x5，则x27x+100”的否命题是9设x0，则的最小值为10若关于x的不等式ax2+bx
2、+c0的解集为x|1x2，则关于x的不等式cx2+bx+a0的解集是11在R上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，则a的取值范围是12不等式x22x+3a22a1在R上的解集是，则实数a的取值范围是13设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a0，b0，那么的最小值为14定义满足不等式|xA|B（AR，B0）的实数x的集合叫做A的B 邻域若a+bt（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R16下列命题正
3、确的是（）AacbcabBa2b2abCabDab17条件“0x5”是条件“|x2|3”的（）A充分但非必要条件B必要但非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件18对于使x2+2xM成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做x2+2x的上确界，若a，bR+，且a+b=1，则的上确界为（）ABCD4三、解答题：（6+6+8+6+8+12分，共46分）19解不等式组20记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|3的解集为Q（1）若a=3，求P；（2）若PQ=Q，求正数a的取值范围21设集合A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，xR，（1）若AB=AB，求实数a
4、的值；（2）若AB=B，求实数a的取值范围22若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m（1）若x21比3远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab23某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.30元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%24已知一元二次函数f（x
5、）=ax2+bx+c（a0，c0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0xc时，恒有f（x）0（1）当a=1，时，求出不等式f（x）0的解；（2）求出不等式f（x）0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m22km+1+b+ac0对所有k1，1恒成立，求实数m的取值范围四、附加题：（每题4分，共20分）25定义集合运算：AB=z|z=xy（x+y），xA，yB设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为26关于不等式组的整数解的集合为2，则实数k的取值范围是27设集合
6、A=x|x22ax+a=0，xR，B=x|x24x+a+5=0，xR，若A和B中有且仅有一个是，则实数a的取值范围是28设集合S=0，1，2，3，4，5，A是S的一个子集，当xA时，若有x1A且x+1A，则称x为集合A的一个“孤立元素”，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有个29设，则的最小值为2016-2017学年上海华师大二附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空3分，共42分）1已知集合A=1，1，2，4，B=1，0，2，则AB=1，0，1，2，4【考点】并集及其运算【分析】根据集合的基本运算，即可【解答】解：A=1，1，2，4，B=1，0，2，AB=1，0，
7、1，2，4，故答案为：1，0，1，2，4，2不等式0的解集为（，3）2，+）（用区间表示）【考点】其他不等式的解法【分析】化分式不等式为不等式组求解，取并集得答案【解答】解：由0，得或，解得：x2或x3不等式0的解集为（，3）2，+）故答案为：（，3）2，+）3已知A=（x，y）|4x+y=6，B=（x，y）|3x+2y=7，则AB=（1，2）【考点】交集及其运算【分析】联立两个集合中的方程得到一个方程组，消去y得到关于x的一元一次方程，从而解得两个集合的公共元素即构成两个集合的交集【解答】解：联立两个集合中的方程得，解得：，则AB=（1，2）故答案为：（1，2）4已知全集U=R，集合P=x|
8、x25x60，那么UP=（1，6）【考点】一元二次不等式的解法；补集及其运算【分析】求出集合P中不等式的解集，确定出集合P，根据全集U=R，找出R中不属于集合P的部分，即可求出集合P的补集【解答】解：由集合P中的不等式x25x60，因式分解得：（x+1）（x6）0，解得：x1或x6，得到集合P=x|x1或x6，又全集U=R，UP=（1，6）故答案为：（1，6）5已知集合A=1，3，2m+3，集合B=3，m2若BA，则实数m=1或3【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】由BA可知1=m2或2m+3=m2，求出m再验证【解答】解：BA，1=m2或2m+3=m2，解得，m=1或m=1或m=3，将m
9、的值代入集合A、B验证，m=1不符合集合的互异性，故m=1或3故答案为：1或36设全集U=MN=1，2，3，4，5，MUN=2，4，则N=1，3，5【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由M与N补集的交集，得到2与4不属于集合N，根据全集U即可确定出集合N【解答】解：全集U=MN=1，2，3，4，5，MUN=2，4，N=1，3，5故答案为：1，3，57满足1，2M1，2，3，4，5，6的集合M的个数是15【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用【分析】根据真子集的定义可知，M至少含有3个元素，根据子集的定义知M最多含有六个元素，采用列举法进行求解【解答】解：1，2M1，2，3，4，5，6
10、，M中至少含有3个元素且必有1，2，而M为集合1，2，3，4，5，6的子集，故最多六个元素，M=1，2，3或1，2，4或1，2，5或1，2，6或1，2，3，4，或1，2，3，6，或1，2，3，5或1，2，4，5或1，2，6，4或1，2，5，6或1，2，3，4，5，或1，2，4，5，6或1，2，3，4，6，或1，2，3，5，6或1，2，3，4，5，6一共15个，故答案为：158已知xR，命题“若2x5，则x27x+100”的否命题是若x2或x5，则x27x+100【考点】全称命题；命题的否定【分析】根据原命题，同时否定条件和结论写出否命题，从而可得答案【解答】解：原命题为：“若2x5，则x27x
11、+100”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x2或x5，则x27x+100”，故答案为：若x2或x5，则x27x+1009设x0，则的最小值为【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式即可【解答】解：x0，=x+1+=，当且仅当，x0，即x=时取等号故的最小值是故答案为10若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，则关于x的不等式cx2+bx+a0的解集是【考点】一元二次不等式的解法【分析】由条件可得 a0，且1+2=，12= b=a0，c=2a0，可得要解得不等式即x2+x0，由此求得它的解集【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x2，a0，且1+2=
12、，12=b=a0，c=2a0，=， =故关于x的不等式cx2+bx+a0，即 x2+x0，即 （x+1）（x）0，故x1，或 x，故关于x的不等式cx2+bx+a0的解集是，故答案为11在R上定义运算：xy=x（1y），若不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，则a的取值范围是【考点】其他不等式的解法【分析】根据定义，结合不等式恒成立即可得到结论【解答】解：由定义得不等式（xa）（x+a）1对任意的实数x成立，等价为（xa）（1xa）1对任意的实数x成立，即x2x+1+aa20恒成立，则判别式=14（1+aa2）0，即4a24a30，解得a，故答案为：12不等式x22x+3a22a1在R
13、上的解集是，则实数a的取值范围是a|1a3【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围【解答】解：由x22x+3a22a1移项得：x22x+3a2+2a+10，因为不等式的解集为，所以=44（3a2+2a+1）0，即a22a30，分解因式得：（a3）（a+1）0，解得：1a3，则实数a的取值范围是：a|1a3故答案为：a|1a313设实数a，b满足a+ab+2b=30，且a0，b0，那么的最小值为【考点】基本
14、不等式【分析】由已知，利用基本不等式可得，30ab=a+2b，解不等式可求的范围，进而可求ab的范围，从而可求的最小值【解答】解：a+ab+2b=30，且a0，b0，30ab=a+2b（当且仅当a=2b=6时取等号）即0解不等式可得，ab18即最小值为故答案为：14定义满足不等式|xA|B（AR，B0）的实数x的集合叫做A的B 邻域若a+bt（t为正常数）的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则a2+b2的最小值为【考点】简单线性规划的应用【分析】先根据条件求出tx2（a+b）t；再结合邻域是一个关于原点对称的区间得到a+b=t，最后结合基本不等式即可求出a2+b2的最小值【解答】解：因为：A
15、的B邻域在数轴上表示以A为中心，B为半径的区域，|x（a+bt）|a+btx2（a+b）t，而邻域是一个关于原点对称的区间，所以可得a+bt=0a+b=t又因为：a2+b22ab2（a2+b2）a2+2ab+b2=（a+b）2=t2所以：a2+b2故答案为：二、选择题：（每题3分，共12分）15设集合M=x|x2x0，N=x|x|2，则（）AMN=BMN=MCMN=MDMN=R【考点】交、并、补集的混合运算【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集【解答】解：集合M=x|x2x0=x|0x1，N=x|x|2=x|2x2，MN=M，故选：B16下列命题正确的是（）
16、AacbcabBa2b2abCabDab【考点】不等式的基本性质【分析】当c0时，根据不等式的性质由 acbc 推出ab，可得 A不正确 当a=2，b=1时，检验可得B不正确当a=2，b=1时，检验可得C不正确由0成立，平方可得ab，从而得到D正确【解答】解：当c0时，由 acbc 推出ab，故A不正确当a=2，b=1时，尽管a2b2，但ab 不正确，故B不正确当a=2，b=1时，尽管，但不满足ab，故C不正确当时，一定有ab，故D正确故选：D17条件“0x5”是条件“|x2|3”的（）A充分但非必要条件B必要但非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判
17、断；绝对值不等式【分析】正确求解含绝对值的不等式是解决该问题的关键，解出不等式以后利用集合之间的关系判断是什么条件【解答】解：由“|x2|3”解出1x5，故“0x5”“1x5”，而反过来推不出，因此条件“0x5”是条件“|x2|3”的充分但非必要条件故选A18对于使x2+2xM成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做x2+2x的上确界，若a，bR+，且a+b=1，则的上确界为（）ABCD4【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值【解答】解：，（当且仅当时取到等号）（当且仅当时取到上确界）故选B三、解
18、答题：（6+6+8+6+8+12分，共46分）19解不等式组【考点】其他不等式的解法【分析】分别解不等式2与x26x80，最后取其交集即可【解答】解：由2得：0，解得x1或x1；由x26x80得：3x3+，不等式组得解集为（3，1）1，3+）20记关于x的不等式的解集为P，不等式|x+2|3的解集为Q（1）若a=3，求P；（2）若PQ=Q，求正数a的取值范围【考点】其他不等式的解法；绝对值不等式的解法【分析】（1）当a=3时，分式不等式可化为，结合分式不等式解法的结论，即可得到解集P；（2）由含有绝对值不等式的解法，得Q=（5，1）根据a是正数，得集合P（1，a），并且集合P是Q的子集，由此建
19、立不等式关系，即可得到正数a的取值范围【解答】解：（1）a=3时，即，化简得集合，根据分式不等式的解法，解得1x3由此可得，集合P=（1，3）（2）Q=x|x+2|3=x|3x+23=x|5x1可得Q=（5，1）a0，P=（1，a），又PQ=Q，得PQ，（1，a）（5，1），由此可得0a1即正数a的取值范围是（0，121设集合A=x|x2+4x=0，xR，B=x|x2+2（a+1）x+a21=0，xR，（1）若AB=AB，求实数a的值；（2）若AB=B，求实数a的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】（1）解x2+4x=0可得集合A，又由AB=AB可得A=B，即方程x2+2（a+1）
20、x+a21=0的两根为0、4，由根与系数的关系可得关于a的方程，解可得答案；（2）根据题意，由AB=B可得BA，进而可得B=或0或4或0，4，分别求出a的值，综合可得答案【解答】解：（1）A=x|x2+4x=0，xR=0，4若AB=AB，则A=B，则有a+1=2且a21=0，解可得a=1（2）若AB=B，则BAB=或0或4或0，4；当B=时，=2（a+1）24（a21）0a1当B=0时， a=1当B=4时， a不存在当B=0，4时， a=1a的取值范围为（，1122若实数x、y、m满足|xm|ym|，则称x比y远离m（1）若x21比3远离0，求x的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a、b，
21、证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab【考点】绝对值不等式；不等关系与不等式【分析】（1）利用新定义即可求出x的取值范围；（2）利用新定义和不等式的性质即可证明【解答】解：（1）由题设|x210|30|，x213或x213，即x22或x24；由x24，解得x2或x2；而x22的解集为x的取值范围为x|x2，或x2（2）对任意两个不相等的正数a、b，有，=（a+b）（ab）20，即a3+b3比a2b+ab2远离23某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a千瓦时本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时（该市电力成本价为0.3
22、0元/千瓦时）经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%【考点】函数模型的选择与应用【分析】设新电价为x元/千瓦时（0.55x0.75），则新增用电量为千瓦时依题意，有，由此能求出电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%【解答】解：设新电价为x元/千瓦时（0.55x0.75），则新增用电量为千瓦时依题意，有，即（x0.2）（x0.3）0.6（x0.4），整理，得x21.1x+0.30，解此不等式，得x0.6或x0.5，又0.55x0.75，所以，0
23、.6x0.75，因此，xmin=0.6，即电价最低为0.6元/千瓦时，可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%24已知一元二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0，c0）的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为（c，0），且当0xc时，恒有f（x）0（1）当a=1，时，求出不等式f（x）0的解；（2）求出不等式f（x）0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m22km+1+b+ac0对所有k1，1恒成立，求实数m的取值范围【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值【分析】（1）当a=1，时
24、，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，由此能求出 f（x）0的解集（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，由f（c）=0，设另一个根为x2，由此能求出f（x）0的解集（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为，这三交点为顶点的三角形的面积为，由此能求出a的取值范围（4）由f（c）=0，知ac2+bc+c=0，由c0，知ac+b+1=0，由此能求出实数m的取值范围【解答】（本小题满分，（1）（2）小题每题，（3）（4）小题每题4分）解：（1）当a=1，时，f（x）的图象与x轴有两个不同交点，设另一个根为x2，则，x2=1，则 f（x）0的解集为（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，f（c）
25、=0，设另一个根为x2，则，又当0xc时，恒有f（x）0，则，f（x）0的解集为（3）由（2）的f（x）的图象与坐标轴的交点分别为这三交点为顶点的三角形的面积为，故（4）f（c）=0，ac2+bc+c=0，又c0，ac+b+1=0，要使m22km0，对所有k1，1恒成立，则当m0时，m（2k）max=2 当m0时，m（2k）min=2当m=0时，022k0，对所有k1，1恒成立从而实数m的取值范围为 m2或m=0或m2四、附加题：（每题4分，共20分）25定义集合运算：AB=z|z=xy（x+y），xA，yB设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为18【考点】交、并、补集的混合
26、运算【分析】根据定义AB=z|z=xy（x+y），xA，yB计算出集合AB的所有元素，再求出这些元素的和【解答】解：AB=z|z=xy（x+y），xA，yB设集合A=0，1，B=2，3，x=0，z=0x=1，y=2，z=6x=1，y=3，z=12AB=z|0，6，12集合AB的所有元素之和为18故答案为1826关于不等式组的整数解的集合为2，则实数k的取值范围是3，2）【考点】函数的零点【分析】先分别解出一元二次不等式，再对k分类讨论并画出数轴即可得出答案【解答】解：由不等式组可化为（1）当时，上述不等式组可化为，解集为x|，不满足原不等式组的整数解的集合为2，故应舍去；（2）当时，上述不等式
27、组可化为，作出数轴：可知必须且只需当2k3时，即3k2，原不等式组的整数解的集合为2故k的取值范围是3，2）27设集合A=x|x22ax+a=0，xR，B=x|x24x+a+5=0，xR，若A和B中有且仅有一个是，则实数a的取值范围是（1，01，+）【考点】函数的零点；元素与集合关系的判断【分析】由题意可得，x22ax+a=0与x24x+a+5=0有且只有一个方程无解，故有 ，或 分别求得和的解集，再取并集，即得所求【解答】解：集合A=x|x22ax+a=0，xR，B=x|x24x+a+5=0，xR，A和B中有且仅有一个是，故x22ax+a=0与x24x+a+5=0有且只有一个方程无解，或 解
28、可得 a，解可得1a0，或a1，故实数a的取值范围是（1，01，+），故答案为 （1，01，+）28设集合S=0，1，2，3，4，5，A是S的一个子集，当xA时，若有x1A且x+1A，则称x为集合A的一个“孤立元素”，那么集合S中所有无“孤立元素”的4元子集有6个【考点】子集与真子集【分析】由S=0，1，2，3，4，5，结合xA时，若有x1A，且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案【解答】解：S=0，1，2，3，4，5，其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：共有0，1，2，3，0，1，3，4，0，1，4，5，1，2，3，4，1，2，4，5，2，3，4，5共6个那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个故答案为：629设，则的最小值为25【考点】基本不等式【分析】将条件等价变形，利用基本不等式，即可得到结论【解答】解：，12x0=13+13+=25当且仅当，即x=时，的最小值为25故答案为：252016年12月10日
