1、半角模型巩固练习（基础）1.在等腰RtABC中，CACB，ACB90，O为AB的中点，EOF45，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EFCEAF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【解答】（1）见解析；（2）AFEFCE.【解析】（1）连接CO，过点O作OGOF交BE于点G，如图所示：由题意可得AOFCOG，OFOG，EOFEOG，EFEG，EFEGECCGECAF；（2）AFEFCE.2.如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，求证：EFBEFD.【解答】见解
2、析【解析】如图，将ADF顺时针旋转得到ABG，使得AD与AB重合.旋转，ADFABG，FAGBAD，AFAG，DFGB，EAFBAD，EAFEAG，又AEAE，EAGEAF，GEEF，GEGBBEDFBE，EFBEFD.3.如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，BDC120，以D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则AMN的周长是多少？【解答】6【解析】BDC是等腰三角形，且BDC120，BCDDBC30，ABC是边长为3的等边三角形，ABCBACBCA60，DBADCA90，如图，延长AB至点F，使BFCN.连接DF，在BDF与CND中，BD
3、FCDN，DFDN，MDN60，BDMCDN60，BDMBDF60，在DMN与DMF中，MNMF，AMN的周长是：AMANMNAMMBBFANABAC6.4.如图，在等边ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足EOF60，连接EF.（1）求证：OBOC；求BOC的度数；（2）求证：CFBEEF.【解答】（1）见解析；120；（2）见解析.【解析】（1）ABC是等边三角形，ABCACB60，OB、OC分别平分ABC、ACB，OBCOCB30，OBOC；OBCOCB30，BOC180OBCOCB120.（2）如图，以点O为顶点，OF为一边，
4、作FOG60交BC于点G.BOC120，BOFCOG60，EOF60，EOBBOF60，COGEOB，ABOABC30，EBOOCG，BOECOG，OGOE，BECG，又OEFOGF，EFFG，CFFGCG，CFEFBE.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足MON45，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.【解答】（1）见解析；（2）【解析】（1），且，OAOBOC4，AOBBOC90，BCACBOOBABAC45，BABC且CBA90，即ABC是等腰直角三角形；（
5、2）猜想：.OAOB4，AOB90，如图，将BOM绕点O顺时针旋转90得到AOD，ADBM，DOMO，OADOBM45，且DOMAOB90，AODBOM，MON45，AOB90，BOMAON45，AODAON45，即DONMON45，DONMON，DNMN，OADOBMBAO45，即NAD90，.6.在四边形ABDC中，ACAB，DCDB，CAB60，CDB120，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CEBF.（1）试说明：DEDF；（2）在图1中，若G在AB上且EDG60，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；（3）若题中条件“CAB60，CDB120”改为“CAB，CDB，G在A
6、B上，那么EDG满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？”（直接写结果，不需证明）.【解答】（1）见解析；（2）CEBGEG；（3）当EDG时，CEBGEC仍然成立.【解析】（1）在四边形ADBC中，有CCABABDCDB360，CAB60，CDB120，CABD180，又ABDDBF180，CBDF，在CDE与BDF中，CDEBDF（SAS），DEDF；（2）如图，连接AD.在ABD与ACD中，BDACDACDB60，EDG60，CDEADG，ADEBDG，由（1）可知CDEBDF，CDEBDF，BDGBDF60，即FDG60，EDGFDG，在DEG和DFG中，EGFG，又CEBF，FGBFBG，CEBGEG；（3）要使CEBGEG仍然成立，则EDGBDACDB，即EDG，当EDG时，CEBGEC仍然成立.
