1、数 学 必修5 人教A版新课标导学第三章 不等式 第2课时 基本不等式的应用证明与最值问题3.4 基本不等式 abab21 课前自主学习 2 课堂典例讲练 3 课 时 作 业 返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 课前自主学习返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 1依据基本不等式知识填空：(1)利用均值不等式求最值时，必须同时满足三个条件：_、_、_(2)连续两次使用不等式变
2、形时要保持前后等号成立_的一致性(3)用“，0，则 x1x_2；若 x0，则baab_2；若 ab0，b2a2，2b2b2a2，b2a2b22，ba2b22；ab2 ab，(ab)ab2ab，ab 2abab；21a1b 2abab 2abab；ab，ab2b，a(ab)2ab，2ababa.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 1设 a0，b0，若 ab4，则1a4b的最小值为_.导学号 54742846解析 1a4b14(ab)(1a4b)14(5ba4ab)14(52ba4ab)94，当且仅当ba4ab，即 a43，b83时“”成立94返回导航第三章 不等式 数 学 必
3、 修 人 教 A 版 2 已 知 正 数a，b满 足a b 8，则a b 的 最 大 值 为_.导学号 54742847解析 a b 2ab4.等号成立时，a b，ab8，a4，b4.所求最大值为 4.4返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 3已知 a2，求证：loga(a1)loga(a1)2，所以 loga(a1)0，loga(a1)0，又 loga(a1)loga(a1)，logaa1logaa1logaa1logaa1212loga(a21)12logaa21，loga(a1)loga(a1)0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny10(m、n0)上，
4、则1m1n的最小值为_.解析 由题意知 A(1,1)，mn1，m0，n0，1m1n(1m1n)1(1m1n)(mn)nmmn24.4返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 等号在nmmn时成立，由mn1，nmmn，得 mn12.1m1n的最小值为 4.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向2 不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法求 证：a4 b4 c4a2b2 b2c2 c2a2abc(a b c).导学号 54742851 分析 本题中的表达式具有轮换对称关系，将表达式中字母轮换 abca后表达式不变，这类问题证明一般变为几个表达式(通常几个字母就需
5、几个表达式)迭加(乘)，从而获解返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 证明 先证a4b4c4a2b2b2c2c2a2，a2b22ab(a，bR)，a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，2(a4b4c4)2a2b22b2c22c2a2，a4b4c2a2b2b2c2c2a2，再证a2b2b2c2c2a2abc(abc)，a2b2b2c2b2(a2c2)2ab2c(等号在ac时成立)同理a2b2a2c22a2bc，(等号在bc时成立)b2c2a2c22abc2，(等号在ab时成立)三式相加得：a2b2b2c2c2a2abc(abc)，(等号在abc时成立)返回
6、导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法若不等式中字母具有轮换对称关系，则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 2 导学号 54742852试证下列不等式(1)已知 a、b、c 为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca；(2)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lgab2 lgbc2 lgca2 lg alg blg c；证明(1)a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，以上三式相加：2(a2b2c2)2ab2bc2ca，a
7、2b2c2abbcca.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版(2)a、b、cR.lgab2 lgbc2 lgca2 lgalgblgclgab2 bc2 ca2lg(abc)ab2 bc2 ca2 abc.因为ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ac0，且以上三个不等式中等号不能同时成立，所以ab2 bc2 ca2 abc 成立，从而原不等式成立返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 点评 不能直接应用基本不等式证明的不等式和连续两次使用基本不等式等号不能同时成立的情形，要通过合理的变形，“重新组合”或者“1的代换”等技巧构造能够运用基本不等式的条件返回导
8、航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向3 求参数的取值范围问题设 abc 且1ab 1bc mac 恒 成 立，求 m 的 取 值 范 围.导学号 54742853 分析 原不等式恒成立，由于ac0，acabacbcm 恒成立，则问题转化为求acabacbc的最小值问题观察其构成规律可以发现 ac(ab)(bc)即可得出符合基本不等条件的形式返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 证明 由 abc，知 ab0，ac0，bc0.因此，原不等式等价于acabacbcm，acabacbcabbcababbcbc2bcababbc22bcababbc4.当且仅当bc
9、ababbc，即当 2bac 或 ac(舍去)时，等号成立，m4.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 1.恒成立问题求参数的取值范围，常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察，丰富的联想和充分的知识、技能的储备，要注意总结记忆返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 3 导学号 54742854(2016浙江杭州萧山模拟)若 x，y，aR，且 x ya xy恒成立，则 a的最小值是_.解析 x，y，aR，且 x ya xy恒成立，xy2 xya2(xy)，即 a212 xyxy.2 xyxyxyxy1，a211，
10、解得 a 2.故 a 的最小值是 2.2返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 命题方向4 实际应用问题如右图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.导学号 54742855(1)现有可围 36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 分析 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x6y36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy24的
11、前提下求4x6y的最小值因此，使用均值定理解决解析 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知：4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.解法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得 xy272，返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 即 S272，当且仅当 2x3y 时，等号成立由2x3y182x3y，解得x4.5y3，故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大解法二：由 2x3y18，得 x932y.x0，932y0，0y6，Sxy932y y32(6y)y.0y6，6y0，返回导航第三章 不等式 数 学 必 修
12、 人 教 A 版 S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长 4.5 m，宽 3 m 时，可使面积最大(2)由条件知 Sxy24.设钢筋网总长为 l，则 l4x6y.解法一：2x3y2 2x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当 2x3y 时，等号成立返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 由2x3y，xy24，解得x6，y4.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小解法二：由 xy24 得 x24y.l4x6y96y 6y616y y 6216y y48.当且仅当16y y，即 y4时，等
13、号成立，此时 x6.故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 规律总结 应用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，利用基本不等式求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 跟踪练习 4 导学号 54742856某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增
14、0.2 万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？分析 年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、汽油费以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 解析 设使用 x 年平均费用最少由条件知：汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列因此，汽车使用 x 年总的维修费用为0.20.2xx2万元设汽车的年平均费用为 y 万元，则有返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 y100.9x0.20.2xx2x10 x0.1x2x110 x x101210 x x103.当且
15、仅当10 x x10，即 x10 时，y 取最小值答：汽车使用 10 年时，年平均费用最少返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 求 f(x)2log2x 5log2x(0 x1)的最值.导学号 54742857错解 f(x)2log2x 5log2x22log2x 5log2x22 5.f(x)有最小值 22 5，无最大值辨析 错误的原因是忽视了各项必须全为正数的条件返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 警示 应用基本不等式前，必须检查各项是否为正数正解 0 x1，log2x0，5log2x0，(log2x)(5log2x)2log2x 5log2x2 5，
16、即(log2x 5log2x)2 5，log2x 5log2x2 5.f(x)2log2x 5log2x22 5，当且仅当 log2x 5log2x，即 x 12 5时，等号成立f(x)max22 5.返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 1已知正数 a、b 满足 ab10，则 ab 的最小值是 导学号 54742858()A10 B25C5D2 10解析 ab2 ab2 10，等号在 ab 10时成立，选 DD返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 2(2016辽宁六校联考)小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为 a 和b(ab)，其全程的平均时速为 v，则 导学号 54742859()Aav abBv abC abvab2Dvab2解析 设从甲地到乙地的路程为 s，则 v 2ssasb 21a1b 2abab 2ab2 ab ab.a0，va.ava，a0)在 x3时取得最小值，则 a_.导学号 54742861解析 f(x)4xax24xax4 a(当且仅当 4xax，即 a4x2 时取等号)，所以 a43236.36返回导航第三章 不等式 数 学 必 修 人 教 A 版 课 时 作 业
