1、专题5：角平分线性质的应用【典例引领】例： 在等腰ABC中，B=90，AM是ABC的角平分线，过点M作MNAC于点N，EMF=135将EMF绕点M旋转，使EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当EMF绕点M旋转到如图的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当EMF绕点M旋转到如图，图的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tanBEM=3，AN=2+1，则BM= ，CF= 【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+33或133【分析】(1)由等腰ABC中，B=90，AM是ABC的角平分线，过点M
2、作MNAC于点N，可得BM=MN，BMN=135，又EMF=135，可证明的BMENMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；（2）如图时，同（1）可证BMENMF，可得BECF=BM，如图时，同（1）可证BMENMF，可得CFBE=BM；(3) 在RtABM和RtANM中，可得RtABMRtANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图进行讨论可得CF的长.【解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，BAC=C=45，AM是BAC的平分线，MNAC，BM=MN，在四边形ABMN中，BMN=360909045=135，ENF=135，BME=N
3、MF，BMENMF，BE=NF，MNAC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，CN=CF+NF，BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，BMENMF，BE=NF，MNAC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，NC=NFCF，BECF=BM；针对图3，同（1）的方法得，BMENMF，BE=NF，MNAC，C=45，CMN=C=45，NC=NM=BM，NC=CFNF，CFBE=BM；（3）在RtABM和RtANM中，RtABMRtANM（HL），AB=AN=+1，在RtABC中，AC=AB=+1，AC=AB=2+，CN=ACAN=2+（+1）=1，在RtCMN中，C
4、M=CN=，BM=BCCM=+1=1，在RtBME中，tanBEM=，BE=，由（1）知，如图1，BE+CF=BM，CF=BMBE=1由（2）知，如图2，由tanBEM=，此种情况不成立；由（2）知，如图3，CFBE=BM，CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1【强化训练】1（2017辽宁省葫芦岛市）如图，MAN=60，AP平分MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将ABC（0ABC120）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E（1）如图1，当点C在射线AN上时，请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；请
5、探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=3，请直接写出线段AD和DF的长【答案】（1）BC=BD；AD+AC=3BE；（2）AD=53，DF=3137【分析】（1）结论：BC=BD只要证明BGDBHC即可结论：AD+AC=3BE只要证明AD+AC=2AG=2EG，再证明EB=32BE即可解决问题；（2）如图2中，作BGAM于G，BHAN于H，AKCF于K由（1）可知，ABGABH，BGDBHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的长，由sinACH=AKAC=BHBC，推出AK的长，设FG=
6、y，则AF=23y，BF=4+y2，由AFKBFG，可得AFBF=AKBG，可得关于y的方程，求出y即可解决问题【解答】（1）结论：BC=BD，理由：如图1中，作BGAM于G，BHAN于H，MAN=60，PA平分MAN，BGAM于G，BHAN于H，BG=BH，GBH=CBD=120，CBH=GBD，BGD=BHC=90，BGDBHC，BD=BC；结论：AD+AC=3BE，ABE=120，BAE=30，BEA=BAE=30，BA=BE，BGAE，AG=GE，EG=BEcos30=32BE，BGDBHC，DG=CH，AB=AB，BG=BH，RtABGRtABH，AG=AH，AD+AC=AG+DG+
7、AHCH=2AG=3BE，AD+AC=3BE；（2）如图2中，作BGAM于G，BHAN于H，AKCF于K，由（1）可知，ABGABH，BGDBHC，易知BH=GB=2，AH=AG=EG=23，BC=BD=BH2+CH2 =31，CH=DG=33，AD=53，sinACH=AKAC=BHBC，AK3=231，AK=2331，设FG=y，则AF=23y，BF=4+y2，AFK=BFG，AKF=BGF=90，AFKBFG，AFBF=AKBG，23-y4+y2=23312，解得y=1037或310（舍弃），DF=GF+DG=1037+33，即DF=31372（2017辽宁省抚顺市，第25题，12分）如
8、图，OF是MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON交于点B、点C，连接AB、PB（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；（3）如图3，MON=60，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=
9、0.5【分析】试题分析：（1）结论：AB=PB连接BQ，只要证明AOBPQB即可解决问题；（2）存在证明方法类似（1）；（3）连接BQ只要证明ABPOBQ，即可推出=，由AOB=30，推出当BAOM时， 的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；【解答】解：（1）连接：AB=PB理由：如图1中，连接BQBC垂直平分OQ，BO=BQ，BOQ=BQO，OF平分MON，AOB=BQO，OA=PQ，AOBPQB，AB=PB（2）存在，理由：如图2中，连接BQBC垂直平分OQ，BO=BQ，BOQ=BQO，OF平分MON，BOQ=FON，AOF=FON=BQC，BQP=AOB，OA=PQ，AOBPQB，
10、AB=PB（3）连接BQ易证ABOPBQ，OAB=BPQ，AB=PB，OPB+BPQ=180，OAB+OPB=180，AOP+ABP=180，MON=60，ABP=120，BA=BP，BAP=BPA=30，BO=BQ，BOQ=BQO=30，ABPOBQ， =，AOB=30，当BAOM时， 的值最小，最小值为0.5，k=0.53如图，已知正方形ABCD的边长为2，连接AC、BD交于点O，CE平分ACD交BD于点E，（1）求DE的长；（2）过点EF作EFCE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EGCE，交CD于点G，求DG的长【答案】（1）2-2；（2）2-2；（3）32-4.【分析】（1）
11、求出BC=BE，根据勾股定理求出BD，即可求出DE；（2）求出FEBECD，根据全等三角形的性质得出BF=DE即可；（3）延长GE交AB于F，证GDEFBE，得出比例式，代入即可求出答案.【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，ABC=ADC=90，DBC=BCA=ACD=45，CE平分DCA，ACE=DCE=ACD=22.5，BCE=BCA+ACE=45+22.5=67.5，DBC=45，BEC=18067.545=67.5=BCE，BE=BC=，在RtACD中，由勾股定理得：BD=2，DE=BDBE=2；（2）FECE，CEF=90，FEB=CEFCEB=9067.5=22.5=DCE，
12、FBE=CDE=45，BE=BC=CD，FEBECD，BF=DE=2；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE=BF=2，由（1）知：BE=BC=，四边形ABCD是正方形，ABDC，DGEBFE，=，=，解得：DG=344已知AOB90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图)，易证：ODOE2OC；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？
13、请写出你的猜想，不需证明【答案】图中ODOE2OC成立证明见解析;图不成立，有数量关系：OEOD2OC【分析】当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得CKDCHE，进而可得出证明；判断出结果解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论【解答】图中ODOE2OC成立证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.有CPDCQE，DPEQ，OPODDP，OQOEEQ，又OPOQ2OC，即ODDPOEEQ2OC，ODOE2OC.图不成立，有数量关系：OEOD2OC过点C分别作CKOA，CHOB，OC为AOB的角平分线，且CKOA，CHOB，CK=CH，CKD=CHE=90，又KCD与HCE都为旋转角，KCD=HCE，CKDCHE，DK=EH，OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，由（1）知：OH+OK=2OC，OD，OE，OC满足OE-OD=2OC
