1、课时分层作业(五)角度问题(建议用时：40分钟)一、选择题1在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为()A15 B30 C45 D60B如图所示，sin CAB，CAB30.2如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()A B C DA由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB.由余弦定理，可得AB
2、2AC2BC22ACBCcos ACB，即3.521.422.8221.42.8cos ()，解得cos .所以sin ，所以tan .3我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/时 B14海里/时C14海里/时 D20海里/时B如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在ABC中，AC10220 海里，AB12海里，BAC120，BC2AB2AC22ABAC cos 120784，BC28海里，v14海里/小时4如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20
3、 m，50 m，BD在水平面上，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是()A30 B45 C60 D75BAD26022024 000，AC26023024 500，在ACD中，由余弦定理得cos CAD，CAD(0，180)，CAD45.5地上画了一个角BDA60，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10 m后，拐弯往另一边的方向行走14 m正好到达BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为()A14 m B15 mC16 m D17 mC如图，设DNx m，则142102x2210x cos 60，x210x960，(x16)(x6)0，x16
4、或x6(舍)，N与D之间的距离为16 m二、填空题6某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为海里，则x的值为 或2x292x3cos 30()2，解得x2或x.7一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为 km.30如图所示，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km).8一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于
5、自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点 dm的C处截住足球7设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC 22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.AC172x7(dm)，或AC(dm)(舍去).该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球三、解答题9在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方
6、向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇(如图所示).若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240x cos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.10岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度
7、向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截(1)问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？(2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间解(1)根据题意得BAC45，ABC75，BC10，所以ACB180754560.在ABC中，由得AB5.答：海监船接到通知时，距离岛A 5海里(2)设海监船航行时间为t小时，则BD10t，CD10t，又因为BCD180ACB18060120，所以BD2BC2CD22BCCD cos 120，所以30
8、0t2100100t221010t，所以2t2t10，解得t1或t(舍去).所以CD10，所以BCCD，所以CBD(180120)30，所以ABD7530105.答：海监船沿方位角105航行，航行时间为1个小时(或答：海监船沿南偏东75方向航行，航行时间为1个小时)1为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量在C点测得塔底B在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿着南偏东40方向前进10 m到D点，测得塔顶的仰角为30，则塔的高度为()A5 mB10 mC15 mD20 mB如图，由题意得，AB平面BCD，ABBC，ABBD.设塔高ABx，在RtABC中，ACB45，所以BCABx
9、，在RtABD中，ADB30，BDx，在BCD中，由余弦定理得BD2CB2CD22CBCDcos 120，(x)2x210010x，解得x10或x5(舍去)，故选B.2甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为()A分钟 B分钟C21.5分钟 D2.15小时A如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD104t，乙行驶到C处，则AC6t.BAC120，DC2AD2AC22ADACcos 120(104t)2(6t)22(104t)6tcos 12028t220t10028.
10、当t时，DC2最小，即DC最小，此时它们所航行的时间为60分钟3如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件 时，该船没有触礁危险m cos cos n sin ()在ABM中，由正弦定理得，故BM，要使该船没有触礁危险需满足BM sin (90)n.当与满足m cos cos n sin ()时，该船没有触礁危险4如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙
11、船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理sin ACBsin BAC，BAC120，则ACB为锐角，cos ACB.由ACB30，则cos cos (ACB30)cos ACBcos 30sin ACBsin 30.5如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60方向，且在港口B北偏西30方向上，一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C
12、，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行在OBC中，由题意易得BOC30，CBO60，所以BCO90.因为BO120，所以BC60，OC60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x1.在OCD中，由题意易得COD30，OD20x，CD60(x2).由余弦定理，得CD2OD2OC22ODOC cos COD，所以602(x2)2(20x)2(60)2220x60cos 30.解得x3或x，因为x1，所以x3.所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇
