1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题04函数C辑历年联赛真题汇编1【2020高中数学联赛A卷(第01试)】对正整数n及实数x(0xn),定义f(n,x)=(1-x)Cnx+xCnx+1,其中x表示不超过实数x的最大整数, x=x-x.若整数m,n2满足f(m,1n)+f(m,2n)+f(m,mn-1n)=123,求f(n,1m)+f(n,2m)+f(n,mn-1m)的值.2【2019高中数学联赛B卷(第01试)】设a、b、c均大于1，满足lga+log6c=3lgb+logac=4，求lgalgc的最大值.3【2018高中数学联赛A卷(第01试)】已知定义在R*上
2、的函数f(x)=log3x-1,09，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围.4【2018高中数学联赛B卷(第01试)】已知定义在R*上的函数f(x)为f(x)=log3x-1,09，设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc的取值范围.5【2016高中数学联赛(第01试)】已知f(x)是R上的奇函数，f(1)=1，且对任意x0，均有fxx-1=xf(x).求f(1)f1100+f12f199+f13f198+f150f151的值.6【2013高中数学联赛(第01试)】求所有的正实数对(a，b)，使得函数f(x)
3、=ax2+b满足：对任意实数x，y，有f(xy)+f(x+y)f(x)f(y).7【2011高中数学联赛(第01试)】设函数f(x)=llg(x+1)，实数a，b(ab)满足f(a)=f-b+1b+2，f(10a+6b+21)=4lg2，求a，b的值.8【2010高中数学联赛(第01试)】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，当0x1时，fx=1，试求a的最大值.9【2006高中数学联赛(第01试)】设f(x)=x2+a.记f1(x)=f(x)，fn(x)=ffn-1(x),n=2,3,，M=aR|对所有的正整数n,fn02.证明：M=-2,14.10【2004高中数学联赛(第0
4、1试)】已知,是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)=2x-tx2+1的定义域为,.(1)求g(t)=maxf(x)-minf(x)；(2)证明：对于ui0,2(i=1,2,3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1gtanu1+1gtanu2+1gtanu31)，使得存在tR，只要x1，m，就有f(x+t)x.12【2000高中数学联赛(第01试)】若函数f(x)=-12x2+132在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求a，b.13【1998高中数学联赛(第01试)】设函数f(x)=ax2+8x+3(a0),且3a+4b+6c=0，证明：f(x)在区间
5、(0,1)上必有零点。8记x表示不超过实数x的最大整数证明：(1)方程x3+x2=x3+x2的解为整数；(2)方程x3+x2=x3+x2有非整数解9设f(x)是0,1上的不减函数，且满足：(1)f(0)=0；(2)f(x3)=f(x)2；(3)f(1-x)=1-f(x)，求f(172010)的值10设函数fx=x|x-a|+b，常数b22-3，且对任意x0,1，fx0恒成立.求实数a的取值范围.11是否存在RR上的周期函数f(x)、g(x)，使得对任何xR，有f(x)+g(x)=x？12试求出所有满足下述条件的函数f(x)：(1)f(x)是定义在R上的单调函数；(2)对任意实数x、y都有f(x
6、+y)=f(x)f(y)；(3)f(1)=a(0a1)13试求出所有的函数f：RR，使得对于任何的x、yR.都有f(4x-y-1)+4f(x+y)-16f(x)=(6x-2)2+45y2. 14已知limx0f(x)=f(0)=1，f(2x)-f(x)=x2对任意实数x成立求f(x)的解析式15求f(x)=|x-1|+2|x-2|+2011|x-2011|的最小值.16已知f(x)是定义在实数集R上的函数，f(0)=2，对任意xR，有f(5+2x)=f(-5-4x)， f(3x-2)=f(5-6x) ，求f(2012)的值.17定义在0,1上的函数f(x)满足：f(0)=f(1)，且对任意x、y0,1(xy)，有|f(x)-f(y)|x-y|.求最小的实数m，使得对任意x、y0,1，都有|f(x)-f(y)|m.18已知函数f(x)=x2-2ax与g(x)=-x2-1，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.19当x0时，求函数f(x)=2x+(|x-1|-a)2的最小值g(a)的表达式.20已知函数f(x)=|x2-a|，其中，a为正常数。若恰有两组解(m,n)，使得f(x)在定义域m,n上的值域也为m,n，求a的取值范围。
