1、专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型1方法一：向量化(三角形中线向量化）1方法二：角互补4三、专项训练7一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化）1（2023四川泸州校考三模）在中，角所对的边分别为，(1)求的值；(2)若，求边上中线的长【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，又，解得：.（2），由余弦定理得：，即边上中线的长为.2（2023四川宜宾统考模拟预测）的内角所对边分别为，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点
2、为，求中线的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由正弦定理可得：，则，若，则，解得，故的周长.（2），由（1）可得：，即，当且仅当时，等号成立，则，故，则，所以的最大值为.3（2023安徽安庆安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数(1)求的单调递增区间；(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得，的单调递增区间为；（2）因为，可得，因为，所以即，由及可得，所以所以即，当且仅当时取到等号，所以，故面积的最大值为.方法二：角互补1（2023全国高三专题练习）在；，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分
3、别为a，b，c，且 .(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）选择条件：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因为，所以；选择条件：由及正弦定理，得：，即.即.在中，所以，即，因为，所以，所以,因为，所以；选择条件：由及正弦定理，得：，因为,，所以.在中，则，故.因为，所以，则，故；（2）因为，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理得.因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即长度的最小值为.2（2023全国高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，求ABC的面积.【
4、答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，,，又, ,（2）由已知得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又,，在中，由余弦定理得，以上两式消去得, 解得或（舍去），则.3（2023全国高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，若为上一点，且满足_，求的面积.请从；为的中线，且；为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1），由，得，函数的单调递增区间为，；（2）由，得，又中，可知；若选：由，可知，可化为，又，则，又中，故，所以，则，故；若
5、选：为的中线，且在中，则有，在中，在中，又，则则，又知，故；故；若选：为的角平分线，且.由题意知，即，整理得又在中，则有，故解之得，故.三、专项训练1（2023全国高三专题练习）在等腰中，ABAC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（）A6B12C18D24【答案】A【详解】设，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当时等号成立则面积的最大值为6故选：A.2（2023安徽合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(1)求A；(2)若，求边中线的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整
6、理得，由余弦定理可得，又，所以（2）因为M为的中点，所以，则，即因为，所以所以，所以3（2023湖北荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，(1)若BC边上的高等于，求；(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值【答案】(1)(2)【详解】（1）过作，垂足为，则，在三角形中，由余弦定理得.（2），两边平方得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.4（2023浙江杭州统考一模）已知中角 、所对的边分别为、，且满足，(1)求角A；(2)若，边上中线，求的面积【答案】(1)(2)【详解】（1） ，所以由正弦定理得，即，；（2）， 则， 即，而，边上中线，故，解得，5（2
7、023辽宁沈阳沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(1)求角A的大小；(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得：,即，,因为，所以，所以，因为,所以.（2）由（1）得，则，所以，即，当且仅当时等号成立，因为点D是边BC中点，所以,两边平方可得：,则，所以，中线AD长的最大值为.6（2023四川内江校考模拟预测）在ABC中，D是边BC上的点，AD平分BAC，ABD的面积是ACD的面积的两倍(1)求ACD的面积；(2)求ABC的边BC上的中线AE的长【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知及正弦定理可得：
8、，化简得：又因为：，所以， 所以，所以ACD的面积为（2）由（1）可知，因为AE是ABC的边BC上的中线，所以，所以，所以ABC的边BC上的中线AE的长为7（2023山东日照山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求面积的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意有，又，又，解得，；（2）因为所以，当且仅当时成立，故面积的最大值为.8（2023辽宁朝阳校联考一模）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为所以，由正弦定理可得，所以，因为，则；（2）由题意
9、，则，则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；综上，的最小值为.9（2023安徽淮南统考一模）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.条件：;条件：.【答案】(1)(2)【详解】（1）选条件：,因为中，所以，由正弦定理可得，即，又,所以.选条件：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，又,所以.（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值为.10（2023全国高三专题练习）如图,已知的内角A，B，C的对边分别
10、为a，b，c，.(1)求B；(2)若AC边上的中线，且，求的周长【答案】(1)(2)【详解】（1），由余弦定理可得， ，由，.（2）如图，由（1）得，由余弦定理知，即，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以由，得，所以，所以的周长11（2023秋广东深圳高三统考期末）在中，角，对边分别为，且，.(1)求；(2)若，边上中线，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理有，因为，有，因为，故，；（2）法一：在和中，因为，则，因为，所以，所以；法二：因为，所以，有，因为，所以，所以；法三：如图，作交于，则是的中点，所以，即，解得，所以.12（2023全国高三专题练习）在中
11、，.(1)求；(2)求边上的中线.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，故，所以，解得，故，故.（2）如图所示，是中点，连接，故，解得，即边上的中线为.13（2023秋广东茂名高三统考阶段练习）锐角的内角，的对边分别为，的面积.(1)求；(2)若，边的中线，求，.【答案】(1)(2)【详解】（1）的面积，由题意，由正弦定理得，为三角形内角，又因为为锐角，.（2）由题意知，在中，即，在中，即.，.由（1）知，.由，解得.14（2023全国高三专题练习）在中，(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线，且，求的周长【答案】(1)；(2).【详解】（1）由已知，由正弦定理得：，由余弦定理得：，在中，因为，所以；（2）由，得，由（1）知，即，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以，由，得，所以，所以的周长.15（2023全国高三专题练习）已知函数(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长【答案】(1)(2)【详解】（1）；令，解得：，的单调递增区间为.（2）由（1）知：，即，又，解得：；在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，即，；在中，由余弦定理得：，解得：；，的周长为.
