1、专题04 相似遇到二次函数知 识 回 放类型一：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接OP交直线BC于E，求的最大值解法提示：过P作PQy轴交BC于Q，则，而OC为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可类型二：如图，P是直线BC下方抛物线上一点，连接AP交直线BC于E，求的最大值解法提示：过P作PQy轴交BC于Q，过A作AFy轴交BC于F，则，而AF为定值，所以，的最大值就转化为求PQ的最大值问题，利用坐标法求解最值即可类型三：直角三角形存在性或相似（直角）三角形存在性如图，P是抛物线上一点，连接PB，PC，当PBC为直角三角形时，求P点坐标解法提示：构造一线
2、三直角此题需要分类讨论，就一种情况进行说明，即当PCB=90时，如图，过C作x轴平行线，再分别过P、B作该平行线的垂线，垂足为M，N则PMCCNB，利用相似三角形对应边成比例，可得：，再利用坐标法得方程求解即可真 题 解 析典例1（2022湖北黄石中考真题）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m(1)A，B，C三点的坐标为_，_，_；(2)连接，交线段于点D，当与x轴平行时，求的值；当与x轴不平行时，求的最大值；【答案】(1);；(2)；(3)存在点P，【解析】（1）解：令x=0，则y=4，C(0，4)；令y=0，则=0，x=-2或x=3，A(-2
3、，0)，B(3，0)故答案为：(-2，0)；(3，0)；(0，4)（2）解：轴，又轴，CPDBAD；过P作交于点Q，设直线BC的解析式为，把B(3，0)，C(0，4)代入，得，解得，直线的解析式为，设，则，QPDBAD，当时，取最大值；（3）解：假设存在点P使得，即，过C作轴，连接CP，延长交x轴于点M，FCP=BMC，平分， BCP=FCP，BCP=BMC，BC=BM，为等腰三角形，设直线CM解析式为y=kx+b，把C(0，4)，代入，得，解得：，直线CM的解析式为，联立，解得或(舍)，存在点P满足题意，即典例2（2022浙江湖州中考真题）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC
4、是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一个点D(1)求点A，B，C的坐标；求b，c的值(2)若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PMAP，交y轴于点M（如图2所示）当点P在BC上运动时，点M也随之运动设BPm，CMn，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值【答案】(1)A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)、；(2)（0m3）；【解析】（1）解：正方形OABC的边长为3，点A，B，C的坐标分别为A(3，0)，B(3，3)，C(0，3)；把点A(3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y=x2+bx+c，得，解得；（2）
5、解：由题意，得APB=90-MPC=PMC，B=PCM=90，RtABPRtPCM，即整理，得，即（0m3）当时，n的值最大，最大值是典例3（2022湖南衡阳中考真题）如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点(1)写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；(2)若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；(3)为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)或；(3)存在，或或【解析】（1）解：由翻折可
6、知：.令，解得：，设图象的解析式为，代入，解得，函数关系式为=（2）解：联立方程组，整理，得：，由=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线与图象W有三个交点；（3）解：存在如图，当时，此时，N与C关于直线x= 对称，点N的横坐标为1，；如图，当时，此时，N点纵坐标为2，由，解得，（舍），N的横坐标为，所以；如图，当时，此时，直线的解析式为，联立方程组：，解得，（舍），N的横坐标为，所以，因此，综上所述：点坐标为或或真 题 演 练1. （2022辽宁抚顺中考真题）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，
7、射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接(1)求抛物线的解析式；(2)当点D在第二象限且时，求点D的坐标；(3)当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【答案】(1)；(2)或；(3)或或或【解析】（1）解：将代入得：，解得，抛物线的解析式为；（2）解：过点D作于点G，交AC于点H，设过点的直线的解析式为，则，解得，直线AC的解析式为，设，则，解得或将分别代入得或；（3）解：如图所示，当点D与点C重合时，点A（-4，0），点C（0，4），OA=OC=4，OCA=OAC=45，当点C与点D重合时，OP是OD逆时针旋转45得到的，POD=45，即FOC=45，AOF=FO
8、C=45，又OA=OC，OFAC，即OFC=90，OFC是直角三角形，此时点D的坐标为（0，4）；如图所示，当DFO=90时，连接CD，由旋转的性质可得DOF=45，DOF是等腰直角三角形，OF=OD，FDO=FCO=45，C、D、F、O四点共圆，FCD=FOD=45，OCD=FCD+FCO=90，CDOC，点D的纵坐标为4，当y=4时，解得或（舍去），点D的坐标为（-3，4）；如图所示，当ODF=90时，过点D作DHy轴于H，过点F作FGDH交HD延长线于G，同理可证DOF是等腰直角三角形，OD=DF，FGDH，DHy轴，FGD=DHO=90，GDF+GFD=90，又GDF+HDO=90，G
9、FD=HDO，GDFHOD（AAS），GD=OH，GF=DH，设点D的坐标为（m，），点F的坐标为（，），点F在直线AC：上，解得，点D的坐标为或；综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或2. （2022广西贵港中考真题）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D(1)求该抛物线的表达式；(2)若轴交于点E，求的最大值；(3)若以A，P，D为顶点的三角形与AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标【答案】(1)(2)最大值为(3)或，【解析】（1）解：抛物线经过和两点，解得：，抛物线的表达式为（2）解：，直线表达式为，直线
10、与x轴交于点C，点C的坐标为，则，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，当时，有最大值，且最大值为（3）解：根据题意，在一次函数中，令，则，点C的坐标为（2，0）；当时，如图此时点D与点C重合，点D的坐标为（2，0）；轴，点P的横坐标为2，点P的纵坐标为：，点P的坐标为（2，3）；当时，如图，则，设点，则点，点D的坐标为，点P的坐标为；满足条件的点P，点D的坐标为或，3. （2022福建中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点P是抛物线上一点，且在直线AB的上方(1)求抛物线的解析式；(2)若OAB面积是PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交
11、AB于点C，交AB于点D记CDP，CPB，CBO的面积分别为，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)；(2)存在，或（3，4）；(3)存在，【解析】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以抛物线的解析式为（2）设直线AB的解析式为，将A（4，0），B（1，4）代入，得，解得所以直线AB的解析式为过点P作PMx轴，垂足为M，PM交AB于点N过点B作BEPM，垂足为E所以因为A（4，0），B（1，4），所以因为OAB的面积是PAB面积的2倍，所以，设，则所以，即，解得，所以点P的坐标为或（3，4）（3）记CDP，CPB，CBO的面积分别为，则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，设直线AB的解析式为设，则，整理得时，取得最大值，最大值为
