1、广东省2021-2022学年高三数学期末考试分类汇编专题04 平面向量与不等式一、单选题1（2022广东珠海高三期末）在中，为边上的高；O为上靠近点A的三等分点，且，其中，则（）ABCD2（2022广东中山高三期末）已知向量，的夹角为60，则（）A2BCD123（2022广东金山中学高三期末）已知，则下列结论一定正确的是（）ABCD4（2022广东铁一中学高三期末）已知中，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，动点自点出发沿线段运动，到达点时停止，且动点的速度是动点的2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（）AB4CD235（2022广东潮州高三期末）在
2、的等腰直角中，为的中点，为的中点，则（）ABCD6（2022广东清远高三期末）已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（）A16B12C5D47（2022广东汕尾高三期末）对于非零向量，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件二、多选题8（2022广东中山高三期末）已知，则下列选项中正确的是（）A的最大值为B的最大值为C的最大值为D的最小值为9（2022广东揭阳高三期末）已知向量，且，则下列说法正确的是（）ABCD的最大值为210（2022广东铁一中学高三期末）若且，则下列不等式恒成立的是（）ABCD11（2022广东深圳高三期末）
3、已知点O是边长为1的正方形ABCD的中心，则下列结论正确的为（）ABCD12（2021广东汕头高三期末）如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，AE与DB交于F，则（）A在方向上的投影为0BCD三、填空题13（2022广东珠海高三期末）非负实数x，y满足，则的最小值为_14（2022广东金山中学高三期末）已知向量与的夹角是，且，若，则实数_15（2022广东东莞高三期末）桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为，将卡纸绕顶点顺时针旋转，得到、的旋转点分别为、，则_.16（2022广东汕尾高三期末）已知非零向量，且，则与的夹角为_17（2022广东佛山高三期
4、末）菱形中，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），则_，的最小值为_.参考答案：1.【答案】C【分析】首先求出线段的长，然后用向量表示向量，【详解】在中，所以，所以，所以，故选：C2.【答案】C【分析】利用平方法，根据向量模的平方等于向量的平方直接即可求出.【详解】，所以.故选：C.3.答案】D【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由，可得，则，对于A中，由，所以，所以A不正确；对于B中，由，且，则，所以B不正确；对于C中，由，且，当时，此时；当时，此时；当时，此时，所以C不正确；对于D中，由，因为，可得，所以，可得，所以D
5、正确.故选：D.4.【答案】C【分析】由题意，故，展开可得关于的一元二次函数，配方，即可求得的最大值.【详解】中，.由题意，,当时， 取得最大值，最大值为.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积，属于基础题.5.【答案】A【分析】以为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得的值.【详解】以为原点建立直角坐标系，设，则，则，所以，所以.故选：A6.【答案】C【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.【详解】如图，延长到D，使得因为，所以点P在直线上取线段的中点O，连接，则显然当时，取得最小值，因为，则，所以，所以的最小值为故选：C.7.【答案】A【
6、分析】根据向量的概念，结合充分、必要条件的概念，即可得答案.【详解】对于非零向量，可得，所以，充分性成立，但，此时的方向不定，不能推出，必要性不成立，故选：A8.【答案】BC【分析】A选项结合指数函数的单调性来判断正确性，BCD选项结合基本不等式来判断正确性.【详解】因为所以，所以.对于项，因为所以，故A项错误;对于B项，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故B项正确;对于C项，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C项正确，对于D项，因为，当且仅当，即，时等号成立，这与矛盾，故D项错误.故选：BC9.【答案】BC【分析】先根据向量加法，可直接求出.对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可
7、；对选项，直接求出余弦值；对选项，直接求出正弦值；对选项，直接求出向量的模.【详解】根据向量的加法可得：根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：对选项，则有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确；对选项，则有：，故选项正确；对选项， ，则有：故有：，故选项错误.故选：10.【答案】CD【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】，当且仅当时等号成立，则或，则，即AB错误，D正确.对于C选项，C选项正确.故选：CD11.【答案】AD【分析】通过向量加法的平行四边形法则、向量减法的三角形法与向量的数量积公式即可判断各选项正确与否.【详解】通过向量加法的平行四边形法则可知
8、，选项A正确；，选项B错误；与方向不同，选项C错误；延长到,使,通过向量减法的三角形法则可知,在中，选项D正确.故选：AD.12.【答案】AB【分析】根据向量投影、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】平行四边形中，所以，所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以A正确；，所以B正确；，所以C不正确；因为，所以，所以D不正确.故选：AB13.【答案】0【分析】分和x，两种情况求解即可.【详解】当时，；当x，时，由得，所以（当且仅当,即 时，等号成立）所以的最小值为0故答案为：.14.【答案】【详解】试题分析：由题意 ，可得 ，即 ，解得考点
9、：本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积的运算点评：解决本题的关键是掌握向量垂直的充要条件15.【答案】【分析】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系，得出点的坐标，旋转后得出点的坐标，从而得出向量的坐标，从而得出数量积.【详解】以点为坐标原点，为轴建立平面直角坐标系. 如图,则 则 将绕顶点顺时针旋转,得到，如图. 则,即可以看成是角的终边. 点在轴上则, 所以 所以所以 故答案为：16.【答案】【分析】根据题意结合向量的数量积的运算律求出，即可得解.【详解】非零向量，且，所以，又，所以，即与的夹角为.故答案为：.17.【答案】 0 【分析】建立坐标系，用坐标表示向量，第一个空利用向量数量积坐标公式进行相应计算，第二个空设出，表达出，利用二次函数的性质求最小值，再结合求出最小值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，故，设，则，则，；因为，所以，故当时，取得最小值为，因为，所以当，即时，最小，最小值为故答案为：0，【点睛】建立坐标系，解决平面向量相关的取值范围或共线等问题是非常好用的.
