1、专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90、120（60）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等.【常见模型及结论】1）全等型60和120：如图1，已知AOB2DCE120，
2、OC平分AOB.则可得到如下几个结论：CDCE，ODOEOC，.2）全等型90：如图2，已知AOBDCE90，OC平分AOB.则可以得到如下几个结论：CDCE，ODOEOC，.3）全等型和：如图3，已知AOB，DCE，OC平分AOB.则可以得到以下结论：CDCE，ODOE2OCcos，. 1（2021贵州黔东南中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD （探究发现）（1）如图，若BAD，ABCADC求证：ADABAC；（拓展迁移）（2）如图，若BAD，ABCADC猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；若AC10，求四边形ABCD的面积2（2022广东深圳一模）【问题提出】
3、如图1，在四边形中，求四边形的面积【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是 （2）在（1）的基础上，求四边形的面积（3）如图3，等边的边长为2，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边分别交于点，交于点，连接，求的周长3（2022河南安阳二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用【理解】（1）如图1，AC平分，求证：【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的绕点C逆时针旋转，CD交MA
4、的延长线于点D，CB交射线AN于点B，写出线段AD，AB，AC之间的数量关系，并就图2的情形说明理由【应用】（3）如图3，为等边三角形，P为BC边的中点，将绕点P转动使射线PM交直线AC于点M，射线PN交直线AB于点N，当时，请直接写出AN的长模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。常见含90、120（60）及任意角度的三种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】1.对角互补相似如图，在RtABC中，C90，点O是AB的中点，若EOF90，则. 2.相似型90如图，已知AOBDCE9
5、0，BOC. 结论：CECD.1（2022黑龙江鸡西九年级期末）如图，在Rt中，在Rt中，点在上，交于点，交于点，当时，的长为（）A4B6CD2（2022山东菏泽中考真题）如图，在中，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：3（2022江苏九年级专题练习）如下图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点另一边交的延长线于点（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是 ；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）拓展延伸：
6、如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，求的值课后专项训练：1（2022山东济南一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDDC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系(1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DMDN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、
7、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明2（2022山东德州九年级期中）【发现与证明】如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于，那么正方形绕点无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值（1）请你写出这个定值，并证明你的结论【应用迁移】（2）如图，四边形中，连接若，求四边形的面积3（2022山西吕梁九年级期末）如图，已知与，平分 (1)如图1，与的两边分别相交于点、，试判断线段与的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：理由如下：如图1，过点作，交于点，则，请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分(2)你有与小宇不同的思考方法
8、吗？请写出你的证明过程(3)若，如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、有什么数量关系？说明理由如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、有什么数量关系4（2022江苏九年级专题练习）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，
9、当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.5（2022吉林白城九年级期末）已知AOB90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图)，易证：ODOEOC；当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图，图这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明6（2022湖北武汉中考真题）已知是的角平分线，点E，F分别在边，上，与的面
10、积之和为S(1)填空：当，时，如图1，若，则_，_；如图2，若，则_，_；(2)如图3，当时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当，时，请直接写出S的大小7（2022河南模拟预测）在ABC中，ABAC，点D是BC中点，EDF两边分别交线段AB于点E，交线段AC于点F，且EDF+BAC180（1）如图1，当EDF90时，求证：BEAF；（2）如图2，当EDF60时，求证：AE+AFAD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF并延长EF至点G，使FGEF，连接CG，若BE5，CF4，求CG的长度8（2022江西吉水县第三中学九年级期末）【问题情境】如图，直角三角板ABC中，C9
11、0，ACBC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点【问题探究】（1）在旋转过程中，如图2，当ADBD时，线段DP、DQ的数量关系是（）A、DPDQB、DPDQC、DPDQD、无法确定如图3，当AD2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由根据你对、的探究结果，试写出当ADnBD时，DP、DQ满足的数量关系为（直接写出结论，不必证明）（2）当ADBD时，若AB20，连接PQ，设DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理
12、由9（2022山东宁阳县实验中学九年级期末）如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点（1）求证：；（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，则_10（2022广东佛山九年级期中）如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，在RtMPN中，MPN90，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE2PF时，AP_11（2021湖北随州中考真题）如图，在中，为的中点，平分交于点，分别与，交于点，连接，则的值为_；若，则的值为_12（2021辽宁朝阳中考真题）如图，在RtABC中，ACBC，ACB90，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OBkOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90，交射线CB于点N（1）如图1，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当k1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；（3）点P在射线BC上，若BON15，PNkAM（k1），且，请直接写出的值（用含k的式子表示）
