1、专题04 函数及其表示【考点总结】1函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值
2、叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数注意分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集【常用结论】几种常见函数的定义域(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合(2)f(x)为偶次根式型函数
3、时，定义域为使被开方式非负的实数的集合(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0(5)指数函数的底数大于0且不等于1.(6)正切函数ytan x的定义域为.【易错总结】(1)对函数概念理解不透彻；(2)对分段函数解不等式时忘记范围；(3)换元法求解析式，反解忽视范围例1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f中不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：例2设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_解析：因为
4、f(x)是分段函数，所以f(x)1应分段求解当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x1；当x1时，f(x)141，即3，所以1x10.综上所述，x2或0x10，即x(，20，10答案：(，20，10例3已知f()x1，则f(x)_解析：令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)来源:学科网【考点解析】【考点】一、函数的定义域来源:Z*xx*k.Com角度一求函数的定义域例1、(1)(2020安徽宣城八校联考)函数y的定义域为()A(1，3B(1，0)(0，3C. 1，3 D1，0)(0，3(2)(2020华南师范大学附属中学
5、月考)已知函数f(x)的定义域是1，1，则函数g(x)的定义域是()A0，1 B(0，1)C0，1) D(0，1【解析】(1)要使函数有意义，x需满足解得1x0或00且1x1，解得x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg (x1)答案：lg (x1)【变式】3已知函数f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_解析：因为2f(x)f3x，把中的x换成，得2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)【变式】4已知函数f(1)x2，则f(x)的解析式为_解析：法一(换元法)：设t1，则x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t2
6、1.故f(x)x21，x1.法二(配凑法)：因为x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.答案：f(x)x21(x1)【考点】三、分段函数角度一分段函数求值例1、 (1)(2020江西南昌一模)设函数f(x)则f(5)的值为()A7B1C0 D(2)若函数f(x)则f(f(9)_【解析】(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故选D.(2)因为函数f(x)所以f(9)lg 101，所以f(f(9)f(1)2.【答案】(1)D(2)2角度二已知函数值求参数例2、设函数f(x)若f(m)3，则实数m的值为_【解析】当m2时，由m213
7、，得m24，解得m2；当0m2时，由log2m3，解得m238(舍去)综上所述，m2.【答案】2角度三与分段函数有关的方程、不等式问题例1、 (1)(2020安徽安庆二模)已知函数f(x)若实数a满足f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8(2)(一题多解)(2020安徽皖南八校联考)已知函数f(x)则满足f(2x1)0.当0a1时，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，则ff(4)8，当a1时，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立来源:Z,xx,k.Com故选D.(2)法一：由f(x)可得当x1时，f(x)1，当x1时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(1)log221
8、，要使得f(2x1)3，来源:学.科.网Z.X.X.K即不等式f(2x1)f(3x2)的解集为(3，)，故选B.法二：当x1时，函数f(x)在1，)上单调递增，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)3.故选B.【答案】(1)D(2)B分段函数问题的求解思路(1)根据分段函数的解析式，求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知分段函数的函数值，求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，构造关于参数的方程然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(3)已知分段函数的函数值满足的不等式，求自变
9、量取值范围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来 【变式】1(2020河南郑州质量测评)已知函数f(x)则不等式f(x)1的解集为()A(，2 B(，0(1，2C0，2 D(，01，2解析：选D.当x1时，不等式f(x)1为log2x1，即log2xlog22，因为函数ylog2x在(0，)上单调递增，所以1x2；当x1(舍去)所以f(x)1的解集是(，01，2故选D.【变式】2已知函数f(x)若f(a)3，则f(a2)_解析：当a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：【变式】3(2020闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x2)则f(2)_解析：f(2)f(42)642.答案：2
