1、2019年石嘴山市高三年级适应性测试数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题两部分，其中第卷第22-23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的中性笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效.4.作图可先使用2B
2、铅笔填涂；非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 若集合，那么等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以.集合，所以.故选C.2. 若复数，复数，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先计算，再求.【详解】，故，故选B.【点睛】本题考察复数的概念与运算，涉及到乘法运算和复数的模，为基础题.3. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示
3、)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. 2B. 3C. 10D. 15【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域4. 若，则（ ）.A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指
4、对数的函数性质即可知的大小关系.【详解】，故选：A【点睛】本题考查了指对数的大小比较，根据指对数的性质确定与0、1的关系比较大小，属于简单题.5. 已知向量与向量满足，则与的夹角是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直得到向量的数量积为，由此计算出的结果，再根据数量积的定义求解出的值从而向量，的夹角可求.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：D.【点睛】本题考查向量夹角的求解，主要考查学生对向量数量积计算公式的灵活运用，难度较易.6. 函数的部分图象大致是（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用诱导公式整理化简，再利用定义判断
5、函数的奇偶性，最后特殊值代入即可判断选项.【详解】由，所以函数为奇函数，排除选项B，D；又，排除选项A.故选：C.【点睛】本题主要考查了诱导公式，函数的奇偶性.属于较易题.7. 已知等比数列的前项和为，若，且，成等差数列，则（ ）.A. 10B. 12C. 18D. 30【答案】A【解析】【分析】先根据题意求出等比数列的首相与公比，再由等比数列前项和公式即可求解.【详解】设等比数列公比为，由，所以，又，所以，因为，成等差数列，所以，所以，由，所以（舍）或，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，属于中档题.8. 已知实数满足，则的最小值是 （ ）A. 4B. 5C.
6、6D. 7【答案】C【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足得到可行域如图：z3x2y变形为yx，由，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为32206；故选C【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标
7、代入目标函数求出最值.9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）.A. 的最大值为2B. 由的图像向左平移个单位C. 的最小正周期为D. 的单调递增区间为（）【答案】D【解析】【分析】根据三角恒等变换公式可将化简为，然后根据各选项的要求分别求得函数的最大值、最小正周期、单调递增区间以及函数图象平移后的解析式，最后作出判断即可.【详解】，显然的最大值为，故A错误；的图像向左平移个单位后解析式为，故B错误；的最小正周期为，故C错误；令（），解得（），所以的单调递增区间为（），故D正确.故选：D.【点睛】本题考查简单三角恒等变换，考查正弦型函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
8、10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的表面积为（ ）.A. B. C. 64D. 【答案】C【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可.【详解】由题意可知:几何体是棱长为4的正方体去掉一个半径为4的圆柱的几何体，如图，几何体的表面积为：.故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为点，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据准线方
9、程和抛物线定义可知四边形为平行四边形，从而可知为半通径，从而可构造出关于的齐次方程，解方程求得离心率.【详解】由可得准线方程为：（过点）设到准线的距离为，则又，四边形为平行四边形 轴又，则，即：解得：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于的齐次方程，从而建立起关于离心率的方程.12. 定义在R上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由不等式在上恒成立，得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案【详解】解：定义在R的奇函数满
10、足：，且，又时，即， ，函数在时是增函数，又，是偶函数；时，是减函数，结合函数的定义域为R，且，可得函数与的大致图象如图所示，由图象知，函数的零点的个数为3个故选C【点睛】本题考查了函数单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置）13. 已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，推导出，由此能求出结果【详解】解：因为，所以故答案为：【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础题14. 的展开式中，的系数为_.【答案】160【解析】【分析
11、】根据二项式通项即可求得对应的，进而求它的系数即可.【详解】由二项式通项知：，当有，系数为，故答案为：160.【点睛】本题考查了二项式定理，根据二项式通项求指定项的系数，属于简单题.15. 设是数列的前项和，点在直线上，则数列的前项和为_.【答案】【解析】【分析】点，在直线上，可得利用等差数列的求和公式、裂项求和方法即可得出【详解】解：点，在直线上，则数列的前项和故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切
12、球的体积为 .【答案】【解析】试题分析： 三棱锥展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为则，得所以三棱锥的棱长为，可得棱长的高 设内切球的半径为，得，所以 .考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=2.（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且，求ABD的面积.【答案】（1）c=4（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得.（2）先求得三角形和三角形的面积比，再由三角形的面积，求得三角
13、形的面积.【详解】（1）由已知可得，所以.ABC中，由余弦定理得，即，解得c=-6（舍去），c=4.（2）由题设可得，所以.故ABD与ACD面积的比值为.又ABC的面积为，所以ABD的面积为.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.18. 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2019年元旦期间，石嘴山市某物平台的销售业绩高达1271万人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做
14、出好评的交易为80次.（1）完成下面的列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量，求对商品和服务全好评的次数的分布列，数学期望和方差.附：0.150.100.050.0250.01000050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为，方差为.【解析】【分析】（1）根据题设已知条件信息完善列联表，由卡方检验计算公式求卡方值
15、，即可知是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关；（2）根据二项分布公式得到分布列，并依据二项分布公式求期望、方差.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的列联表如下：对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200，故有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关.（2）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3.其中，的分布列为：0123，.【点睛】本题考查了卡方检验值的计算，利用二项分布得到分布列，应用二项分布公式求期望、方差.19. 设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆
16、右焦点的直线（斜率存在且不为0）交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意求得，的值即可确定椭圆方程；（2）设直线代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，根据点到直线的距离公式可求出，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围【详解】解：（1）由题意知，则，圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得. 所以椭圆的方程为：. （2）由已知可设的方程为，并设，.由，得.显然，且，. 所以. 过且与垂直的直线，则圆心到的距离为，所以. 故四边形面积：.因为，所以，所以，所以，所以
17、故四边形面积的取值范围为.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题20. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，,点在线段上（I）当点为中点时，求证：平面；（II）当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥 的体积【答案】（I）建立空间直角坐标系，证明，进而得证；（II）【解析】【详解】试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条直线，与平面外的直线平行即可，取中点，连结可证明四边形为平行四边形 于是，从而证明 面;（2）建立空间直角坐标系，设点M的坐标，求两
18、个半平面的法向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，从而确定点M的位置，进而求三棱锥的体积.试题解析：（1）证明 取中点，连结在中，分别为的中点，则，且由已知，因此，且所以，四边形为平行四边形 于，又因为平面，且平面，所以平面，从而可证.（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合.设，则，又，设，则，即.设是平面的法向量，则,.取，得，即得平面的一个法向量为. 由题可知，是平面的一个法向量.因此，即点为中点.此时，为三棱锥的高，所以，. 考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、二面角和三棱锥的体积.21. 已知函数，.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程：（2）若函数有
19、两个极值点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，将式代入得，令，令，解得，当时，在递减；当时， ，在递增；所以，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出
20、 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分.做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的极坐标方程和的
21、直角坐标方程；（2）若曲线的极坐标方程为，与的交点为，与异于极点的交点为，求.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线l的方程，即可结合，得到的直角方程，即可（2）分别计算极径，结合，计算结果，即可【详解】（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），所以直线l的普通方程为， 又故直线l的极坐标方程为. 由曲线C1的极坐标方程为，得， 所以曲线C1的直角坐标方程为. （2）则，解得. 又 所以.【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考查了极坐标下弦长计算公式，难度中等选修4-5：不等式选讲23. 已知函数的最大值为4.（1）求实数的值；（2）若，求最小值.【答案】（1）或；（2）4.【解析】【分析】（1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得的范围，去绝对值后，再利用“”的代换计算.【详解】（1），或.（2），由（1）可知，当且仅当，即时，等号成立，.【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.
