1、专题03 实数的概念、平方根和开平方（2大考点+8种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：实数的概念考点二：开平方题型一：实数的概念题型二：求一个数的算数平方根题型三：利用算术平方根的非负性解题题型四： 算术平方根的实际应用题型五：平方根概念理解题型六：求一个数的平方根题型七： 已知一个数的平方根，求这个数题型八：利用平方根解方程考点一：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数注意：1)整数和分数统称为有理数；2)圆周率是一个无理数2、无理数也有正、负之分如、等这样的数叫做正无理数；、这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如与，与，称它们互为相反数3、有理数和无理数统称为实数（
2、1）按定义分类（2）按性质符号分类考点二：开平方定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方1、 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根这个数叫做被开方数如，的平方根是说明：1) 只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2) 平方和开平方互为逆运算3、 算术平方根：正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2），2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0题型一：实数的概念【例1】（
3、2023下上海七年级校考期中）在，（它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个）这个数中，无理数的个数是（）A个B个C个D个【变式1】（2023下七年级单元测试）在数字，3.33，0，2.121121112（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（）A2个B3个C4个D5个【变式2】（2023下七年级单元测试）下列实数中，是无理数的是（ ）ABCD【变式3】（2021下上海七年级校考期中）在，0，中，无理数有 （具体填出）【变式4】（2023下上海奉贤七年级校考期中）在数学课本36页的阅读材料中，运用反证法说明“是一个无理数”，请模仿这种方法，说明是无理数阅读材料：“无理数”
4、的由来为什么不可能是一个有理数？现在我们用代数方法来解答这个问题假设是一个有理数，那么可以得到，其中a、b是整数且a、b互素且，这时，就有：，于是，则a是2的倍数再设，其中m是整数，就有：，也就是：，所以b也是2的倍数，可见a、b不是互素数，与前面所假设的a与b互素相矛盾，因此不可能是一个有理数解：假设是一个有理数则（a、b是整数且a、b互素且），则，两边同时平方得：_，所以：，可得：，所以：_，因为：_，所以：是一个无理数题型二：求一个数的算数平方根【例2】（2023下上海浦东新七年级校考期中）的算术平方根是（）A2B2C4D4【变式1】（2023下上海七年级专题练习）的算术平方根是（）AB
5、CD【变式2】（2023下上海宝山七年级校考期中）下列各式计算正确的是（）ABCD【变式3】（2023下上海虹口七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为（）A2022B2023C2024D2025【变式4】（2023下上海奉贤七年级校考期中）如图正方形的面积为，正方形面积为，求的面积（结果保留两个有效数字）题型三：利用算术平方根的非负性解题【例3】（2022上上海七年级专题练习）已知，则 【变式1】（2023下上海嘉定七年级校考阶段练习）已知与互为相反数，则的值为 【变式2】（2023下上海徐汇七年级上海市第四中学校考期中），则 【变式3】（2022下上海七年级专题练习）已知，求的值【
6、变式4】（2022下上海七年级专题练习）已知，求x的个位数字题型四： 算术平方根的实际应用【例4】（2022上上海七年级专题练习）一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 【变式】（2022下上海杨浦七年级校考期中）已知（n为正整数），则原方程的解为 题型五：平方根概念理解【例5】（2023下上海七年级统考期中）下列说法正确的是（）A只有0的平方根是它本身B无限小数都是无理数C不带根号的数一定是有理数D任何数都有平方根【变式】（2023下上海普陀七年级统考期中）如果和是一个非零数的两个平方根，那么 题型六：求一个数的平方根【例6】（2022下上海静安七年级统考期中）的平方
7、根为（）AB3CD【变式1】（2023下上海七年级阶段练习）下列说法中，正确的个数是（）只有正数才有平方根；是25的平方根；25的平方根是5；的平方根是A1个B2个C3个D4个【变式2】（2022下上海嘉定七年级校考期末）下列结论正确的是（）A1的平方根是1B0的平方根是0C的平方根是D的平方根是【变式3】（2021下上海浦东新七年级校联考期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a1和a2(1)求a和x的值；(2)求3x2a的平方根题型七： 已知一个数的平方根，求这个数【例7】（2021下上海七年级校考期中）如果与是同一个数的平方根，那么这个数等于（）A1B-3C4D4或100【变式1】（2
8、021下上海七年级上海市建平实验中学校考期中）已知某数的平方根是3a1和a+5，那么这个数是 【变式2】（2021下上海松江七年级校考期中）一个正数的两个平方根为和，则 【变式3】（2021下上海七年级校考期中）对于实数a，我们规定用表示不小于的最小整数，称为a的根整数，如4（1）计算： （2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次4，再进行第二次求根整数2，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数， 次后结果为2（3）若2，写出满足题意的m的整数值 题型八：利用平方根解方程【例8】（2022上上海七年级专题练习）若，则 【变式
9、1】（2022下上海宝山七年级校考阶段练习）如果，那么 【变式2】（2021下上海徐汇七年级校考期中）已知三角形的三边长分别为a、b、c，满足，且，则 【变式3】（2022上上海七年级专题练习）求下列式子中x的值：【变式4】（2022下上海七年级阶段练习）求x的值：（x3）21【变式5】（2023上上海七年级校考期中）如图1，已知并排放置的正方形和正方形的边长分别为、， A、B、E三点在一直线上，且正方形和正方形的面积之差为 12(1)用含有、的代数式，表示图中阴影部分的面积；(2)、，则四边形的面积是多少？(3)图中正方形绕点B顺时针旋转后的对应图形， 连接、，若四边形的面积是，求、的值一、
10、单选题1（2023下上海普陀七年级统考期中）下列运算中，正确的是（）ABCD2（2023下上海普陀七年级统考期中）下列各数中，无理数是（）ABCD3（2023下上海奉贤七年级校考期中）下列计算中，正确的是（）ABCD4（2020下上海浦东新七年级校联考期末）下列各数：，0，0.3030030003，中，无理数个数为（）A2个B3个C4个D5个5（2021下上海七年级校考期中）有一个如下图的数值转换器，当输入64时，输出的是（）A8BCD二、填空题6（2021下上海宝山七年级校考期中）下列各数：，0，0.3030030003，中，无理数的个数为 个7（2023下上海静安七年级上海市回民中学校考期
11、中）一个正数的两个平方根分别为与，则 8（2023下上海宝山七年级统考期末）已知实数的一个平方根是，则它的另一个平方根是 9（2021下上海静安七年级上海市市西初级中学校考期中）的算术平方根是 10（2021下上海静安七年级上海市市北初级中学校考期中）若，则 11（2021下上海宝山七年级校考期中）已知，那么 12（2023下上海闵行七年级统考期中）的平方根是 13（2021下上海宝山七年级校考期中）已知，那么 14（2023下上海七年级专题练习）已知与互为相反数， 三、解答题15（2021下上海七年级校考期中）已知，且为正数，求的算术平方根16（2022上上海七年级专题练习）已知的一个平方根
12、是3，的一个平方根是，求的平方根17（2022下上海七年级期中）已知，求的平方根18（2021下上海徐汇七年级校考期中）已知，求的值19（2021下上海宝山七年级校考期中）若和是同一个数的平方根，求这个数20（2021下上海七年级上海市西南模范中学校考期中）已知实数满足等式，求的值21（2022下上海七年级期中）证明：不是有理数22（2022上上海七年级专题练习）已知a216，|b|3，解下列问题：(1)求ab的值；(2)若|a+b|a+b，求a+b的平方根23（2023上上海浦东新七年级上海市建平中学西校校考期中）阅读理解：“若x满足，求的值解：设，则，那么解决问题：(1)若x满足，求的值；(2)如图，正方形的边长为x，长力形的面积是10，四边形和都是正方形，四边形是长方形求图中长方形的边长
