1、专题03 平行线四大模型（能力提升）1将一把直尺和一块含30和60角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果CDE40，那么BAF的大小为（）A25B20C15D10【答案】D【解答】解：由题意知：CAB60，C90CDE40，CED50DEAF，FAECED50BAFCABFAE605010故选：D2如图，l1l2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点A、B、C在同一直线上，180，则2的度数为（）A100B120C130D150【答案】C【解答】解：如图，过点A作ADl1，l1l2，ADl2，FNA+NAD180，ADl1，EMA+MAD180，EMA+MAD+DAN+ANF180+1803
2、60，EMAEMC+CMA80+60140，MAD+DAN90，FNA36014090130，即2130，故选：C3如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，FMAFGC，FEN2NEB，FGH2HGC，下列四个结论：ABCD；EHG2EFM；EHG+EFM90；3EHGEFM180其中正确的结论是（）ABCD【答案】D版权【解答】解：FMAFGCABCD正确；过点F作FPAB，HQAB，ABCD，FPABHQCD，设NEBx，HGCy，则FEN2x，FGH2yEHGEHQ+GHQAEH+HGCNEB+HGCx+y，EFMBEFFMEBEFAMGBEF（180FGC）x+2
3、x（180yy）3x+3y180，2EFM6x+6y360，EHG2EFM错误；EHG+EFMx+y+3x+3y1804x+4y18090，错误；3EHGEFM3（x+y）（3x+3y180）180，正确综上所述，正确答案为故选：D4如图，ABEF，C90，则、的关系为（）A+B+90C+180D+90【答案】B【解答】解：延长DC交AB于G，延长CD交EF于H直角BGC中，190；EHD中，2，ABEF，12，90，即+90故选：B5如图，ABEF，C90，则、y的关系是（）A+90B+180C+90D+【答案】C【解答】解：如图，过点C、D分别作AB的平行线CG、DH，ABEF，ABCGD
4、HEF，1，23，4，290190，34，90，+90故选：C6如图，ABCD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线若140，260，370，则4的度数为（）A55B50C40D30【答案】B【解答】解：如图2，过M作OMAB，PNAB，ABCD，ABOMPNCD，1EMO，4PNF，OMNPNM，EMNMNF（1+MNP）（MNP+4）14，6070404，450故选：B7为了落实“双减”政策，促进学生健康成长，各学校积极推行“5+2”模式，立足学生的认知成长规律，满足学生多样化的需求，打造特色突出、切实可行的体育锻炼内容晋中市的某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动，如图1是一位同学抖空
5、竹时的一个瞬间，小丽把它抽象成图2的数学问题：已知ABCD，EAB80，ECD110，则E的度数是 30【答案】30【解答】解：延长DC交AE于点F，ABCD，EFCA80，由外角的性质得，DCEE+EFC，E1108030故答案为：308如图，直线PQMN，直角三角尺ABC的BAC30，ACB90（1）若把三角尺按图甲方式放置，则MAC+PBC90；（2）若把三角尺按图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若AENA，求BDF的值；（3）如图丙，三角尺的直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，适当转动三角尺，使得CE恰好平分MEG，求的值【解答】解：（1）延
6、长BC交MN于点D，PQMN，PBCADC，ACB是ACD的一个外角，ACBADC+MAC，ACBPBC+MAC90，故答案为：90；（2）AENA，BAC30，AENA30，CEMAEN30，利用（1）的结论可得：ACBPDC+MEC，PDCACBMEC60，BDFPDC60，BDF的度数为60；（3）CE平分MEG，CEMCEG，设CEMCEGx，GEN180CEMCEG1802x，利用（1）的结论可得：ACBPDC+MEC，PDCACBMEC90x，BDFPDC90x，2，的值为29如图，ABCD，点E为两直线之间的一点（1）如图1，若BAE35，DCE20，则AEC ；（2）如图2，试
7、说明，BAE+AEC+ECD360；（3）如图3，若BAE的平分线与DCE的平分线相交于点F，判断AEC与AFC的数量关系，并说明理由；如图4，若设Em，BAFFAE，DCFFCE，请直接用含m、n的代数式表示F的度数【解答】解：（1）55如图所示，过点E作EFAB，ABCDABCDEF，BAE1，ECD2，AEC1+2BAE+ECD35+2055，故答案为55（2）如图所示，过点E作EGAB，ABCDABCDEG，A+1180，C+2180，A+1+2+C360，即BAE+AEC+ECD360（3）2AFC+AEC360，理由如下：由（1）可得，AFCBAF+DCF，AF平分BAE，CF平分
8、DCE，BAE2BAF，DCE2DCF，BAE+DCE2AFC，由（2）可知，BAE+AEC+DCE360，2AFC+AEC360由知F+FAE+E+FCE360，BAFFAE，DCFFCE，BAF+DCFF，F（FAE+FCE），FAE+FCEnF，F+E+nF360，（n+1）F360E360m，F10已知AMCN，点B在直线AM、CN之间，ABBC于点B（1）如图1，请直接写出A和C之间的数量关系： （2）如图2，A和C满足怎样的数量关系？请说明理由（3）如图3，AE平分MAB，CH平分NCB，AE与CH交于点G，则AGH的度数为 45【解答】解：（1）过点B作BEAM，如图，BEAM，
9、AABEBEAM，AMCN，BECNCCBEABBC，ABC90A+CABE+CBEABC90故答案为：A+C90；（2）A和C满足：CA90理由：过点B作BEAM，如图，BEAM，AABEBEAM，AMCN，BECNC+CBE180CBE180CABBC，ABC90ABE+CBE90A+180C90CA90（3）设CH与AB交于点F，如图，AE平分MAB，GAFMABCH平分NCB，BCFBCNB90，BFC90BCFAFGBFC，AFG90BCFAGHGAF+AFG，AGHMAB+90BCN90（BCNMAB）由（2）知：BCNMAB90，AGH904545故答案为：4511已知直线EF分
10、别与直线AB，CD相交于点G，M，并且AGE+CHF180（1）如图1，求证：ABCD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：MAGM+CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，若射线GH恰好是BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若NAGM，则M、N、FGN的数量关系是 （直接写答案）【解答】（1）证明：AGEBGF，CHFEHD，又AGE+CHF180，BGF+EHD180，ABCD；（2）证明：过点M作MKCD，则KMHCHM，又ABCD；ABMK；AGMGMK，GMHAGM+KMHGMHAGM+CHM（3）解：如图3，令AGM2，CHM，则N2，M2+
11、，射线GF是BGM的平分线，FGMBGM （180AGM）90，AGHAGM+FGM2+9090+，GMHN+FGN，2+2+FGN，FGN2，M2+N+FGN，即：MN+FGN12问题情境我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用已知三角板ABC中，BAC60，B30，C90，长方形DEFG中，DEGF问题初探（1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，ABDE于点N，求EMC的度数分析：过点C作CHGF则有CHDE，从而得CAFHCA，EMCMCH，从而
12、可以求得EMC的度数由分析得，请你直接写出：CAF的度数为 ，EMC的度数为 类比再探（2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写CAF与EMC的数量关系，并说明理由（3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究BAG与BMD的数量关系？并说明理由【解答】解：（1）由题可得，CAFBAFBAC906030，EMCBCH903060；故答案为：30，60；（2）EMC+CAF90，理由：证明：如图，过C作CHGF，则CAFACH，DEGF，CHGF，CHDE，EMCHCM，EMC+CAFMCH+ACHACB90；（3）BAGBMD30，理由：证明：如
13、图，过B作BKGF，则BAGKBA，BKGF，DEGF，BKDE，BMDKBM，BAGBMDABKKBMABC3013已知ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点E、F，点G为落在直线AB和直线CD之间的一个动点（1）如图1，点G恰为BEF和DFE的角平分线的交点，则EGF ；（2）若点G恰为BEF和DFE的三等分线的交点，有如下结论：EGF一定为钝角；EGF可能为60；若EGF为直角，则EFCD其中正确结论的序号为 （3）进一步探索，若EFCD，且点G不在线段EF上，记AEG，CFG，EM为AEG最接近EG的n等分线，FN是CFG最接近CF的n等分线（其中n2）直线EM、FN交于点Pn，是否
14、存在某一正整数n，使得EPnF90？说明理由【解答】解：（1）ABCD，BEF+DFE180，点G恰为BEF和DFE的角平分线的交点，FEG+EFG18090，EGF1809090故答案为：90（2）若点G恰为BEF和DFE的三等分线的交点，FEG+EFG180或者FEG+EFG180，FEG+EFG60或FEG+EFG120，EGF18060120或EGF18012060，错误，正确，当EGF为直角，只有BEF+DFE90或BEF+DFE90，不妨假设BEF+DFE90，BEF+DFE90，（BEFDFE）+（DFEBEF）0，BEFDFE，BEF+DFE180，BEFDFE90，EFCD，
15、故正确故答案为：（3）不存在某一整数n，使得EPnF90，理由如下：EM为AEG最接近EG的n等分线，FN是CFG最接近CF的n等分线（其中n2），AEM，CFM当点G在EF的左侧，此时90，90，Pn必在EF的左侧，如图2所示，过点Pn作PnQAB，ABCD，PnQCD，EPnFEPnQ+FPnQAEM+CFN+90+9090，当点G在右侧，此时90，90若90，则Pn在EF的左侧，如图3中，同理可得EPnF+90若90，则Pn与F重合，不存在EPnF，舍弃若90，则Pn在EF的右侧，如图4中，过点Pn作PnQAB，ABCD，PnQCD，EPnFEPnQFPnQBEM+CFN（180），90，0，（180）90，即EPnF90，综上所述，不存在某一整数n，使得EPnF90
