1、专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍1二、典型题型2题型一：求线面角2题型二：已知线面角求参数5题型三：求线面角最值（范围）8三、专项训练10一、必备秘籍1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围
2、为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为.3、向量法设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.二、典型题型题型一：求线面角1（2223上河南模拟预测）在三棱台中，平面ABC，(1)证明：平面平面；(2)记的中点为M，过M的直线分别与直线，交于P，Q，求直线PQ与平面所成角的正弦值2（2223上河南模拟预测）已知中，将沿折起，使点A到点处，(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值3（2324柳州模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱
3、的中点.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.4（2324上南充模拟预测）如图所示，在圆锥中，为圆锥的顶点，为底面圆圆心，是圆的直径，为底面圆周上一点，四边形是矩形(1)若点是的中点，求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值5（2324上浙江一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，与交于点(1)若是中点，求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值题型二：已知线面角求参数1（2223下抚顺模拟预测）如图，在几何体ABCDEF中，平面ABC，侧面ABFE为正方形，M为AB的中点，(1)证明：；(2)若直线MF与平面DME所成角的正弦值为，求实数的值2（2223下江苏
4、一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，是的中点.(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.3（2223下广州三模）如图，四棱锥的底面为正方形，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点. (1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.4（2223厦门模拟预测）筝形是指有一条对角线所在直线为对称轴的四边形如图，四边形为筝形，其对角线交点为，将沿折到的位置，形成三棱锥(1)求到平面的距离；(2)当时，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由5（2223万州模拟预测）如图1所示，在
5、四边形中，为上一点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥(1)若平面平面，证明：；(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求6（2223下荆门模拟预测）在三棱柱中，四边形是菱形，平面平面，平面与平面的交线为.(1)证明：；(2)已知上是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.题型三：求线面角最值（范围）1（2223下乐山三模）在直三棱柱中，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（）ABCD2（2122下山东模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别
6、是的中点且异面直线与所成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.3（2021下渝中阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围4（2223河南二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.5（2223海口模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，求的最大值.三、专项训练一、单选题1（2223下乐山三模）在直三
7、棱柱中，点P满足，其中，则直线AP与平面所成角的最大值为（）ABCD2（2324上亳州阶段练习）将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（）ABCD3（2324上泰安阶段练习）三棱柱的侧棱与底面垂直，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为（）ABCD4（2223上江西阶段练习）如图，在长方体中，为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值取最大值时，（）ABCD二、填空题5（2223上厦门期末）正方体中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 6（2324上济宁阶段练习）已
8、知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为 7（2122全国单元测试）如图所示，在正方体中，AB3，M是侧面内的动点，满足，若AM与平面所成的角，则的最大值为 .8（2223上宁波阶段练习）已知圆柱中，点在圆上，点、在圆上，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 .9（2122下绵阳期末）在正方体中，点在侧面(包括边界)上运动，满足记直线与平面所成角为，则的取值范围是 三、解答题10（2122下山东模拟预测）如图，C是以为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面为正三角形，E，F分别是上的动点.(1)求证：；(2)若E，F分别是的中点且异面直线与所
9、成角的正切值为，记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成角的取值范围.11（2021下渝中阶段练习）如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点（1）证明：；（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围12（2223河南二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.(1)求证：平面；(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.13（2223海口模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面.(1)证明：平面平面；(2)若，与平面所成的角为，求的最大值.14（2324上沈阳阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且
10、M是的中点，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的余弦值.15（2324上东莞阶段练习）如图1，梯形中，过分别作，垂足分别为，已知，将梯形沿折起，得空间几何体，如图2(1)在图2中，若，证明：平面(2)在图2中，若，在线段上求一点，使与平面所成角的正弦值最大，并求出这个最大值16（2324上河东期中）如图，在四棱线中，底面为矩形，平面，点是棱的中点(1)求证：平面；(2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的正弦值17（2324上广东阶段练习）已知正方形的边长为4（图1），、分别为、的中点，以为棱将正方形折成如图所示的二面角，且，点是线段上的动点（图2）(1)若为的中点，
11、为的中点（图3），证明：直线平面；(2)是否存在点，使得直线与平面所成的角为；若存在，求此时点到平面的距离，若不存在，说明理由18（2324上西青阶段练习）四棱柱中，底面，为的中点(1)求证：；(2)求面与面夹角的余弦值(3)设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长19（2324上温州阶段练习）已知几何体，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长均为1，点M在棱DG上(1)求证：；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由20（2324上湖南阶段练习）如图，在三棱锥中，平面平面，.(1)求证：；(2)若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
