1、专题02 新知识学习型&新定义问题之求函数的特殊点（原卷版）通用的解题思路：先把新定义中的等量关系翻译成一个函数解析式、再把翻译出的函数与每一问中的函数联立，总结成六个字，就是：先翻译、再联立。联立之后若得到含参数的一元一次方程ax=b联立之后若得到含参数的一元二次方程，首选十字相乘，其次韦达定理，最次公式法。1. （中考真题）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（1，1），（0，0），（，），都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=
2、3kx+s1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足2x12，|x1x2|=2，令t=b22b+，试求出t的取值范围2（中考真题）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“H函数”的打“”y2x（）；y（m0）（）；y
3、3x1（）（2）若点A（1，m）与点B（n，4）是关于x的“H函数”yax2+bx+c（a0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x2的右侧，求a，b，c的值或取值范围（3）若关于x的“H函数”yax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：a+b+c0，（2c+ba）（2c+b+3a）0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围3.（中考真题）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数yx1，令y0，可得x1，我们就说1是函数yx1的零点已知函数yx22mx2（m+3）（m为常数）（1）当m0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个
4、零点；（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线yx10上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式4.（2022安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点例如：点（1，1），（12，12），（-2，-2），都是和谐点（1）判断函数y2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数yax2+6x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）求a，c的值；若1xm时，函数yax2+6x+c+14（a0）的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围5（青竹湖）定义：
5、若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”yx+1，其“青一点”为（1，2）（1）判断：函数y2x+3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；函数的图象上的青一点是 ；（2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围；（3）若函数的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当1m3时，n的最小值为k，求k的值6（2022秋开福区月考）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（1，1），（0，0），（2022，2022），都是“立信点”（1）函数y2x+1图象上的“立信点”坐标为 ；函数yx2+2x2图象
6、上的“立信点”坐标为 （2）若二次函数yx2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和+1且求k的值；（3）若二次函数yax2+bx+1（a，b是常数，a0）的图象上有且只有一个“立信点”，令sb2+4a，当tbt+1时，s有最小值t，试求t的值7（2022秋长沙期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”，例如点（1，3），（2，6），（1，33），都是“一中点”例如：抛物线yx24上存在两个“一中点”P1（4，12），P2（1，3）（1）在下列函数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“”，若函数图象
7、上不存在“一中点”的打“”y2x1 ；yx21 ；yx2+4 （2）若抛物线yx2+（m+3）xm2m+1上存在“一中点”，且与直线y3x相交于点A（x1，y1）和B（x2，y2），令tx12+x22，求t的最小值；（3）若函数yx2+（bc+3）x+a+c2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且当1b2时，a的最小值为c，求c的值8（麓山国际）已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“麓点”，例如：y3x2上存在“麓点”P（1，1）（1）直线 （填写直线解析式）上的每一个点都是“麓点”；双曲线y上的“麓点”是 ；（2）若抛物线yx2+（a+1）xa2a+1上
8、有“麓点”，且“麓点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求Wx12+x22的最小值；（3）若函数yx2+（nk+1）x+m+k1的图象上存在唯一的一个“麓点”，且当2n1时，m的最小值为k，求k的值9（中雅）已知y是x的函数，若函数图象上存在一点P（a，b），满足ba2，则称点P为函数图象上“梦幻点”例如：直线y2x+1上存在的“梦幻点”P（1，3）（1）求直线上的“梦幻点”的坐标；（2）已知在双曲线（k0）上存在两个“梦幻点”？且两个“梦幻点”之间的距离为，求k的值（3）若二次函数的图象上存在唯一的梦幻点，且2m3时，n的最小值为t，求t的值10.（2022长沙期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”例如，点（13，13）是函数yx图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y=2x图象的“2阶方点”（1）在（2，-12）；（1，1）；（1，1）三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y关于x的一次函数yax3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；（3）若y关于x的二次函数y（xn）22n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围
