1、专题02 整式及因式分解（10个高频考点）（举一反三） 【考点1 整式的相关概念】1【考点2 整式的加减运算】3【考点3 幂的运算】3【考点4 整式乘法公式的运用】4【考点5 整式的混合运算】5【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】6【考点7 因式分解】7【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】8【考点9 因式分解的应用】9【考点10 图形或数字变化类的规律探究】10【要点1 整式的相关概念】(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的
2、数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式与多项式统称整式。(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。【考点1 整式的相关概念】【例1】（重庆市育才中学教育集团2022-2023学年九年级二模数学试题）关于x的三次三项式A=12x3+3x
3、25=a(x1)3+b(x1)2+c(x1)+d（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式B=7x2exf（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（）当2A3B是关于x的三次三项式时，则f=103；当AB中不含x3时，则f=6e；当x=1时，B=2；当x=13时，B=19，则e=132，f=32；d=52；a+b+c=112A2B3C4D5【变式1-1】（2022重庆八中三模）下列说法中，不正确的是（）Aabc2的系数是1，次数是4B3xy42x是整式C2R2+3R是二次二项式D3x26x+1的项是3x2，6x，1【变式1-2】（2022浙江台州一模）若多项式n2xm+2n1x5m
4、+6是关于x的三次多项式，则多项式m+n的值为_【变式1-3】（2022湖北鄂州市鄂城区教学研究室三模）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t2分钟月租费（元/月）不加收通话费时限（分）超时加收通话费标准（元/分）套餐A581500.3套餐B883500.3(1)请用含t1t1150、t2t2350的代数式表示甲和乙的通话费用；(2)若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；(3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为_【要点2 整式的加减】(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去
5、括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。【考点2 整式的加减运算】【例2】（2022河北一模）若关于x的多项式x4+3x2+ax1与3x4+7x3bx2+x的差不含二次项和一次项，则a+b等于（）A2B2C4D4【变式2-1】（2022陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）已知A=3x2x+2y4xy，B=x22xy+xy5(1)求A3B；(2)若A3B的值与y的取值无关，求x的值【变式2-2】（20
6、22广东顺德德胜学校三模）已知2x2ya+10.5xy26x3+8是六次四项式，单项式5x2by2的次数与这个多项式的次数相同，求a+b2【变式2-3】（2022陕西西安市第三十一中学模拟预测）某同学做一道题：“已知两个多项式A和B，计算2A+B”，他误将2A+B看成A+B，求得的结果为9x2+2x1，已知B=x2+3x2(1)求多项式A；(2)请你求出2A+B的正确答案【要点3 幂的运算】同底数幂的乘法：aman=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把
7、所得的幂相乘。同底数幂的除法：aman=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【考点3 幂的运算】【例3】（2022广东广州二模）已知3m=4，32m4n=2若9n=x，则x的值为（）A8B4C22D2【变式3-1】（2022上海中考真题）下列运算正确的是（）Aa+a=a6 B（ab）2 =ab2 C（a+b）=a+b D（a+b）（a-b）=a -b2【变式3-2】（2022江苏扬州中考真题）掌握地震知识，提升防震意识根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E=k101.5n（其中k为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震
8、级为6级的地震所释放能量的_倍【变式3-3】（2022湖南长沙中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力看似“码码相同”，实则“码码不同”通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD
9、（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210=1024,103=1000，所以我估计2200比1060大其中对2200的理解错误的网友是_（填写网名字母代号）【要点4 整式的乘除运算】单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多
10、项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加
11、。【考点4 整式乘法公式的运用】【例4】（2022湖北荆门中考真题）已知x+1x3，求下列各式的值：(1)（x1x）2；(2)x4+1x4【变式4-1】（2022黑龙江大庆中考真题）已知代数式a2+(2t1)ab+4b2是一个完全平方式，则实数t的值为_【变式4-2】（2022江苏泰州中考真题）已知a=2m2mn,b=mn2n2,c=m2n2(mn) 用“”表示a、b、c的大小关系为_.【变式4-3】（2022河北石家庄市第四十四中学三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n21，整式C0(1)当n=1999时，写出整式A+B的值_（用科学记数法表示结果）；(2)求整式A2B2；(3)嘉淇
12、发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由【考点5 整式的混合运算】【例5】（2022重庆市綦江区东溪中学九年级阶段练习）已知多项式A=x2+2y+m和B=y22x+n（m，n为常数），以下结论中正确的是（）当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B0；当m=n=0时，AB所得的结果中不含一次项；当x=y时，一定有AB；若m+n=2且A+B=0，则x=y；若m=n，AB=1且x，y为整数，则x+y=1ABCD【变式5-1】（2022广东广州中考真题）已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a3b)+a2(1)化简T；(2)若关于x的方程x2+
13、2axab+1=0有两个相等的实数根，求T的值【变式5-2】（2022河南商丘一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x1),N=4x(x+1)，当x=2时，请比较M与N的大小【变式5-3】（2022重庆一中二模）对整式 a2 进行如下操作：将 a2 与另一个整式 x1 相加， 使得 a2 与 x1 的和等于 a+12， 表示为m1=a2+x1=a+12， 称为第一次操作； 将第一次操作的结果 m1 与另一个整式 y1 相减，使得 m1 与y1 的差等于 a21， 表示为 m2=m1y1=a21， 称为第二次操作； 将第二次的操作结果 m2 与另一个整式 x2 相加，使得 m2 与 x2
14、的和等于 a+22， 表示为 m3=m2+x2=a+22， 称为第三次操作；将第三次操作的结果 m3 与另一个整式 y2 相减， 使得 m3 与 y2 的差等于 a222， 表示为m4=m3y2=a222， 称为第四次操作， 以此类推， 下列四种说法：x2=6a+13 ； y5+y7x5x7=20 ； x2022y2021=2a+4045 ；当 n 为奇数时， 第 n 次操作结果 mn=a+n+122； 当 n 为偶数时，第 n 次操作结果 mn=a2n22 ： 四个结论中正确的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】【例6】（2022湖北随州
15、一模）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A（ab）2a22ab+b2Ba（ab）a2abC（ab）2a2b2Da2b2（a+b）（ab）【变式6-1】（2022湖北武汉市光谷实验中学一模）如图，将图1的正方形的纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图2无缝隙、不重叠的矩形，则ba_【变式6-2】（2022河北石家庄市第四十四中学三模）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形（1）以上两个图形反映了等式：_；（2）运用（1
16、）中的等式，计算2022220212023=_【变式6-3】（2022安徽六安市轻工中学一模）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。例如图1可以得到(a+b)2=2abb，基于此，请解答下列问题（1）根据图2，写出一个代数恒等式_。（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b 的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=_。【要点5 因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解的常用方法：提公因式法：pa+pb+p
17、c=p(a+b+c)；公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【考点7
18、 因式分解】【例7】（2022安徽芜湖二模）下列因式分解正确的是（）Aa2bab2=a(a+b)(ab)Ba2(2b1)2=(a+2b1)(a2b+1)Ca32ab+ab2=a(ab)2Da2b24a2b+4a2=a(b2)2【变式7-1】（2022浙江杭州模拟预测）若x2+mx+n分解因式的结果是(x2)(x+1)，则m+n的值为（）A-3B3C1D-1【变式7-2】（2022四川内江中考真题）分解因式：a43a24_【变式7-3】（2022黑龙江绥化中考真题）因式分解：m+n26m+n+9=_【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】【例8】（2022湖南怀化市第四中学二模）【阅读理解】对于二
19、次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=x+a2，但对于二次三项式x2+2ax3a2，就不能直接用公式法了我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax3a2=x2+2ax+a2a23a2=x2+2ax+a24a2=x+a22a2=x+a+2ax+a2a=x+3axa像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2+2ax8a2分解因式(2)【拓展应用】二次三项式x24x+7有最小值或最大值吗？如果有，请你求出
20、来并说明理由(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：a4+a2b2+b4【变式8-1】（2022吉林大学附属中学八年级二模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b) =a+bx+y2xy+y21+x2=x2+2xy+y21=(x+y)21=(x+y+1)(x+y1)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：x2
21、+2x3=x2+2x+14=(x+1)222=(x+1+2)(x+12)=(x+3)(x1)请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：a24ab2+4；(2)分解因式：x26x7.【变式8-2】（2022重庆八中二模）因式分解：(1x2)(1y2)4xy【变式8-3】（2022重庆巴蜀中学三模）因式分解：x4+4【考点9 因式分解的应用】【例9】（2022湖北武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法已知：x2x1=0，且x0，则x42x3+3x的值是（）A1+5B15C3+5D35【变式9-1】（2022河北模拟预测）2161可以被1
22、020之间的两个整数整除，那这两个整数是（）A13和15B12和16C14和17D15和17【变式9-2】（2022四川乐山中考真题）已知m2+n2+10=6m2n，则mn=_【变式9-3】（2022青海西宁中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a3ab4+6b因式分解【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=2a3ab46b=a23b223b=23ba2解法二：原式=2a43ab6b=2a23ba2=a223b【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的
23、分组分解法分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将x2a2+x+a因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a22abbx+b2因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形若直角三角形的两条直角边长分别是a和bab，斜边长是3，小正方形的面积是1根据以上信息，先将a42a3b+2a2b22ab3+b4因式分解，再求值【考点10 图形或数字变化类的规律探究】【例10】（202
24、2山东济宁中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）A297B301C303D400【变式10-1】（2022西藏中考真题）按一定规律排列的一组数据：12，35，12，717，926，1137，则按此规律排列的第10个数是（）A19101B21101C1982D2182【变式10-2】（2022重庆中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有1个菱形，第个图案中有3个菱形，第个图案中有5个菱形，按此规律排列下去，则第个图案中菱形的个数为（）A15B13C11D9【变式10-3】（2022山东泰安中考真题）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对n,m表示第n行，从左到右第m个数，如3,2表示6，则表示99的有序数对是_
