1、专题02 不等式（核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布集合5年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国甲，第16题,5分基本不等式求最值余弦定理2022年全国甲，第20题第2问,12分基本不等式抛物线2022年全国乙，第9题,5分基本不等式立体几何2023年全国甲，第14题,5分线性规划：“截距型”无2023年全国乙，第14题,5分线性规划：“截距型”无2. 命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容在高考题中多作为载体考查其它知识点，结合不等式的解法考查集合的关系与运算、求函数的定义域与值域等；结合基本不等式解决最值和恒成立问题。 2.考查线性规划问题：“截距型”、“斜率型”、“距离型
2、”的目标函数最值；【备考策略】1.掌握不等式的性质，能通过不等式的性质进行化简求值； 2.会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、函数不等式等； 3.能结合基本不等式解决最值和恒成立问题； 4.能够利用作差法、作商法比较大小； 5.能够解决线性规划的三个常见问题：“截距型”、“斜率型”、“距离型”的目标函数最值。【命题预测】1.考查线性规划问题：“截距型”、“斜率型”、“距离型”的目标函数最值； 2.结合函数的图像与性质、三角函数、数列、圆锥曲线等知识进行综合运用； 3.能结合基本不等式解决最值和恒成立问题；知识讲解一、不等式的性质一、比较两个实数的基本事实a-b0ab,a-b=0a
3、=b,a-b0a1ab(aR,b0),ab=1a=b(aR,b0),ab1a0).二、等式与不等式的性质等式的性质不等式的性质a=bb=a性质1:abbb,bcaca=bac=bc性质3:aba+cb+ca=bac=bc;a=b,c0ac=bc性质4:ab,c0acbc;ab,c0acb,cda+cb+da=b,c=dac=bd性质6:ab0,cd0acbda=b0an=bn性质7:ab0anbn(nN*,n2)a=b0na=nb性质8:ab0nanb(nN*,n2)1.倒数的性质(1)ab,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb或axb01b1xb0,m0,则(1)b
4、ab-ma-m(b-m0).(2)aba+mb+m;ab0).3.分式不等式的转化(1)f(x)g(x)0(0(0,b0.2.等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.3.其中a+b2叫作正数a,b的算术平均数,ab叫作正数a,b的几何平均数.利用基本不等式求最大值、最小值1.如果x,y(0,+),且xy=P(定值),那么当x=y时,x+y有最小值2P.(简记:积定和最小)2.如果x,y(0,+),且x+y=S(定值),那么当x=y时,xy有最大值S24.(简记:和定积最大)1.ba+ab2(a,b同号且均不为0),当且仅当a=b时取等号.2.aba+b22a2+b22(当且仅当a=b时取等
5、号).3.21a+1baba+b2a2+b22(a0,b0,当且仅当a=b时取等号).4.连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.1.拼凑法求最值:拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.2.拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标;(3)拆项、添项应注意检验是否满足利用基本不等式的条件.1.常数代换法的运用技巧常数代换的实质是x
6、1=x,所以关键是找到常数,从而找到结果为1的式子,然后通过乘积的运算,利用基本不等式解题.2.用常数代换法求最值时应注意的两个方面(1)注意目标代数式的结构特征,看是否需要整体乘以“1”的“替身”;(2)注意常数的获得方式,要根据已知代数式的结构特征灵活处理.三、线性规划问题1、二元一次不等式所表示的平面区域的判断：法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若
7、同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.2、二元一次不等式组所表示的平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.3、利用线性规划求目标函数为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最
8、优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.4、常见的目标函数的类型：“截距”型：“斜率”型：或“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.四、二次函数与一元二次不等式1、一元二次不等式一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,其一般形式为
9、ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)或ax2+bx+c0).（2）.求出相应的一元二次方程的根.（3）.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法为“大于取两边,小于取中间”.3、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实数根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0a0,0,0ax2+bx+c0a0,0ax2+bx+c0af(x)能成立af(x)min ;af(x)能成立af(x)
10、max.5、根据方程根的正负情况求解参数（1）.开口向上分布情况两个负根(x10,x20,x20)一正根一负根(x100,-b2a00,-b2a0,f(0)0f(0)0（2）.开口向下,可将方程的二次项系数转化为正数,或者模仿上表自行推导求解.6、根据方程的根与实数k(k0)的大小关系求解参数（1）.开口向上分布情况两根都小于k(x1k,x2k,x2k)一根小于k,一根大于k(x1k0,-b2a00,-b2ak,f(k)0f(k)0（2）.开口向下,可将方程的二次项系数转化为正数,或者模仿上表自行推导求解.7、根据方程的根所在区间求解参数（1）.开口向上分布情况两根都在(m,n)内两根仅有一根
11、在(m,n)内(有两种情况,只画了一种)一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内,mnp0,f(m)0,f(n)0,mb2anf(m)f(n)0,f(n)0,f(p)0（2）.开口向下,可将方程的二次项系数转化为正数,或者模仿上表自行推导求解.考点一、不等式的性质1对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】C【分析】ABD选项，由做差法可判断大小；C选项，分三种情况讨论即可判断大小.【详解】A选项，故A错误；B选项，因不清楚的正负情况，故B错误；C选项，当时，；当时，当时，综上，故C正确；D选项，故D错误.2（德州模拟）已知，则（ ）ABCD【答案】B
12、【分析】移项可得，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假【详解】由题可得，设，所以，即函数在上递增，所以由可得：对于A，由函数在上递减，所以当时，A错误；对于B，易知函数在上递增，所以当时，即，B正确；对于C，当时，若，则，C错误；对于D，因为函数在上递增，所以当时，D错误3（北京名校模拟）已知，则的取值范围为_【答案】【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设,则解得故，由,故，由,故，所以.1设、为实数，且，则下列不等式正确的是（）ABCD【答案】D【分析】根据不等式的性质判断A、D，利用特例说明B，利用作差法判断C
13、.【详解】因为、为实数，且，所以，故A错误，D正确；当时，故B错误，因为，所以，故C错误；2下列结论中，所有正确的结论是（）A若，则B命题的否定是：C若且，则D若，则实数【答案】A【分析】对A，根据不等式的性质推导即可；对B，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对C，利用作差法判断即可；对D，举反例判断即可.【详解】对A，则，又，则，故A正确；对B，命题的否定是：，故B错误；对C，因为且，故，即，故C错误；对D，当，时，不成立，故D错误；3若实数x、y满足，则的取值范围为_【答案】【分析】根据题意以整体，结合不等式的性质分析运算.【详解】设，由题意可得，解得，所以，由，可得，所以，即，考点二
14、、基本不等式1已知，且，则下列不等式成立的是（）ABCD【答案】C【分析】对于A，直接利用基本不等式判断；对于B，利用“1”的代换，再利用基本不等式判断；对于C，由判断；对于D，由得到，再利用函数的单调性判断.【详解】对于A，当且仅当时取“=”，A不正确；对于B，当且仅当，即时取“=”，B不正确；对于C，因，则有，即，当且仅当，即时取“=”，由得，所以当时，C正确：对于D，由得，而函数在上单调递增，因此，不正确.2（天津名校模拟）已知，且，则的最小值为（）AB21C25D【答案】C【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】，因为，故，当且仅当时，即时等号成立所以的最小值为3（浙江
15、名校模拟）已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若，且，则面积的最大值为_【答案】【分析】利用正弦定理边角变换得到，再利用余弦定理即可求的C；代入所得数据得到，再利用基本不等式得到，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】由正弦定理及得，由余弦定理得，又因为，所以又，所以由得，因为，即，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故的面积最大值为1已知，且，则（）A B C D【答案】D【分析】根据公式即可判断选项A，B，C错误；根据不等式可判断选项D正确.【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，故选项A，B，C错误；因为，当且仅当时等号成立，所以，即，当且仅当时等
16、号成立，因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确.2若，则的最小值是 （）A B1 C2 D【答案】C【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.【详解】，当且仅当时取等号，因此，即，解得，所以当时，取得最小值2.3已知，.(1)若不等式恒成立，求的最大值；(2)若，求的最小值.【答案】(1)12； (2)4.【分析】（1）对给定不等式分离参数，再利用1的妙用求出最小值作答.（2）变形给定等式，利用均值不等式建立并解一元二次不等式作答.【详解】（1）因为，则，而，当且仅当，即时取等号，依题意，不等式恒成立，于是所以m的最大值为12.（2）若，则，当且仅当，即，时取等号
17、，于是，而，解得，所以的最小值为4.考点三、线性规划1（2023年全国甲卷（理科）第14题）设x，y满足约束条件，设，则z的最大值为_【命题意图】本题考察线性规划“截距”型问题，由约束条件作出可行域，求目标函数最值，难度：容易【答案】15【详解】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数过点时，有最大值，由可得，即,所以.2（内蒙古名校模拟）已知x，y满足约束条件，则的最小值为（）A1BC-2D【答案】D【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求出的最小值.【详解】由约束条件作出可行域如图，表示可行域内的点与点连线的斜率，联立方程，得交点坐标，由图得，当过点时，斜率最小为，所以的最小值为.3（江西省
18、新八校模拟）已知x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】/【分析】画出可行域，表示可行域中一点与原点之间距离的平方，由图找到最小值，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】画出可行域如下图阴影部分，表示可行域中一点与原点之间距离的平方，由图可知，原点到直线的距离最小，为，则的最小值为.1若，满足约束条件 则的最大值为（）A0B2C14D16【答案】C【分析】画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答.【详解】画出不等式组对应的可行域（如图所示），由题得，它表示斜率为纵截距为的平行直线系，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大.联立直线方程得.此时的最大值为.2已知实数x，y满足约束条件，
19、则的最大值是（）A2BC3D4【答案】C【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示（阴影部分），解方程组 ，得，故，解，可得，故，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,根据的几何意义可知的最大值为2，的最大值为.3已知实数、满足，若恒成立，则实数的取值范围为（）ABCD【答案】B【分析】作出可行域，找出使得取的最大值时对应的最优解，求出的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：记点、，则，联立可得，即点，同理可得、，因为，所以，当点与点重合时，取最大值，且，所以，的最大值为，故.考点四、二次函数与一元二次
20、不等式1（镇江中学模拟）已知全集，则（）ABCD【答案】A【分析】先化简集合，再根据补集和交集运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，则，所以.2（信阳市模拟）已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】求解命题中涉及的不等式，根据题意可得相应集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由，得，所以，由，得，所以，因为p是q的必要而不充分条件，所以，则，解得，3已知集合，若，且，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】先求出集合，然后根据的关系，结合进行分析即可.【详解】因为或，所以或，由，所以当时，不成立，所以集合为空集，满
21、足题意，当时，由，所以，所以有，综上所述实数的取值范围是，1设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.【详解】解不等式得，不等式化为，所以，因为为的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.2已知集合，若，则实数a的取值范围为 【答案】【分析】解不等式，化简集合A，B，后由可得时的范围 .【详解】，注意到，则或；，则或，若，则或，则时，a的范围集合为时a的范围集合关于的补集，即为.3已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】首先解一元二
22、次不等式求出集合，依题意可得，即可得到，再求出集合，即可求出参数的取值范围.【详解】由，解得，所以，因为，所以不等式，等价于，因为“”是“”的充分非必要条件，所以，所以，则，所以不等式，即，解得，所以，又，所以.【基础过关】1设P=2a2-4a+3,Q=(a-1)(a-3),aR,则有（ ）.A.PQB.PQC.P0;cadb;bcad.则以其中两个不等式为条件,剩下的一个不等式为结论,能得到的真命题的个数是().A.0B.1C.2D.3【答案】D【详解】由ab0,在bcad两边同除以ab,得cadb,故成立;由ab0,在cadb的两边同乘以ab,得bcad,故成立;由cadb,移项通分得bc
23、adab0,结合bcad,得分母ab0,故成立.综上所述,以其中两个作条件,余下的一个作结论,可组成3个真命题.3(2023宿州模拟)已知函数y=x-4+9x+1(x-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b=(). A.9 B.7 C.5 D.3【答案】B【详解】因为x-1,所以x+10,所以y=x-4+9x+1=x+1+9x+1-52(x+1)9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.4已知x54,则f(x)=4x-2+14x5的最大值为.【答案】1【详解】x0,则f(x)=4x-5+14x5+3=-54
24、x+154x+3-2(5-4x)154x+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=154x,即x=1或x=32(舍去)时,取等号.故f(x)=4x-2+14x5的最大值为1.5已知不等式2x+m+2x10对一切x32,+恒成立,则实数m的取值范围是.【答案】(-6,+)【详解】 由题意知,-m0,则2x+2x1=2(x-1)+2x1+222(x1)2x1+2=6,当且仅当2(x-1)=2x1,即x=2时,等号成立,-m-6.6(2023重庆模拟)已知a0,b0,且a+b=2,则2a+12b的最小值是().A.1B.2C.94D.92【答案】C【详解】因为a0,b0,且a+b=2,所以a+b2=1,
25、所以2a+12b=12(a+b)2a+12b=122ba+a2b+52122+52=94,当且仅当a=43,b=23时,等号成立.7已知a1,b0,a+b=2,则1a1+12b的最小值为.【答案】32+2【详解】已知a1,b0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,又a-10,则1a1+12b=(a-1)+b1a1+12b=1+12+a12b+ba132+2a12bba1=32+2,当且仅当a12b=ba1,即a=3-2,b=2-1时取等号,则1a1+12b的最小值为32+2.8（2023 河南省部分名校模拟）若，满足约束条件 则的最大值为（）A0B2C14D16【答案】C【分析】画出不等式组对
26、应的可行域，再利用数形结合分析解答.【详解】画出不等式组对应的可行域（如图所示），由题得，它表示斜率为纵截距为的平行直线系，当直线经过点时，直线的纵截距最小，最大.联立直线方程得.此时的最大值为.9（2023 赣州市名校模拟）设实数，满足约束条件，则的最小值为（）ABC5D【答案】B【分析】由题意画出可行域，表示可行域中一点与之间距离的平方，由图可知到直线的距离的平方为的最小值，求解即可.【详解】由题意画出可行域，如下图，表示可行域中一点与之间距离的平方，则到直线的距离的平方为的最小值，则，所以.10设满足约束条件，则的最小值为_【答案】/0.5【分析】作出线性区域，由图分析求目标函数的最小值
27、即可.【详解】作出线性区域如图所示：，所以表示可行域中的点到原点连线的斜率，由图可知，点与原点连线斜率最小，所以的最小值为：11设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.【详解】解不等式得，不等式化为，所以，因为为的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.12不等式1x1+20的解集为 .【答案】xx1或x12【详解】可将原不等式变为2x1x10,即(2x-1)(x-1)0,x10,解得x1或x12.13已知关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0.当该方程有一个正根和一个负
28、根时,实数a的取值范围是.【答案】(-1,1)【详解】关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,只需其对应的二次函数f(x)=x2+2(a+2)x+a2-1满足f(0)0,即a2-10,解得-1a1.【能力提升】1(2023新余模拟)下列结论中,恒成立的是().A.若,则(nN*) B.C.若0a1,则(1-a)1+a1 D.若-11,则-32+121【答案】C【详解】根据不等式乘方性质知A选项不正确;因为，所以B选项不正确;根据指数函数的图象性质可知选项C正确;因为-11,所以-11,-121212,所以-32+12-1,b0,则1a+1+1b的最小值为().A.3
29、2 B.1 C.43 D.23【答案】C【详解】由a+b=2,得a+1+b=3.因为a-1,所以a+10,所以1a+1+1b=13(a+1+b)1a+1+1b=132+ba+1+a+1b132+2ba+1a+1b=43,当且仅当ba+1=a+1b,即a=12,b=32时,等号成立，所以1a+1+1b的最小值为43.3(2020年江苏卷)已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.【答案】45【详解】(法一)由5x2y2+y4=1得x2=15y2-y25,则x2+y2=15y2+4y25215y24y25=45,当且仅当15y2=4y25,即y2=12时取等号,则x2+y2的最
30、小值是45.(法二)4=(5x2+y2)4y2(5x2+y2)+4y222=254(x2+y2)2,则x2+y245,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即x2=310,y2=12时取等号,所以x2+y2的最小值是45.4(2023河南模拟)已知在等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则Sn+10an+1的最小值为.【答案】3【详解】a3=7,a9=19,d=a9-a393=1976=2,an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),因此Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+1122(n+
31、1)9n+1=3,当且仅当n=2时取等号.故Sn+10an+1的最小值为3.5（兰州市名校模拟）已知x，y满足约束条件，若的最大值为4，则_【答案】2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值【详解】作出，满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）则，若取得最大值为4，即目标函数在轴的最大截距为4，目标函数经过时，取最大值，则，解得，6已知实数x，y满足不等式组，则的最小值为_【答案】-1【分析】作出可行域，由图求目标函数的最小值即可.【详解】作出可行域如图中阴影部分所示易得，的几何意义为可行域内的点和定点连线的斜率由图可知，当点P与点A重合时，z最
32、小，7已知单位向量，若对任意实数x，恒成立，则向量的夹角的取值范围为（）ABCD【答案】A【分析】利用平面向量数量积与模长的关系结合一元二次不等式恒成立的解法计算即可.【详解】设向量的夹角为，因为，所以，则，即恒成立.所以，解得，故的夹角的取值范围是.8解关于x的不等式12x2-axa2(aR).【详解】原不等式可化为12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,不等式的解集为-,-a4a3,+;当a=0时,不等式的解集为(-,0)(0,+);当a0时,不等式的解集为-,a3-a4,+.9(2023江苏模拟)已知关
33、于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x0的解集是.【答案】x|x13或x1【详解】因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|1x0,且方程ax2+bx+c=0的解为x1=1,x2=3,则-ba=4,ca=3,所以b=-4a,c=3a,故不等式cx2-bx+a0可化为3ax2+4ax+a0,则3x2+4x+10,解得x-13或x0的解集是x|x13或x1.10若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则实数a的取值范围是(). A.(-,2 B.-2,2 C.(-2,2 D.(-,-2)【答案】C【详解】当a-2=0,即a=2时,不等式为-40,
34、对一切xR恒成立;当a2时,有a-20,=4(a-2)2+16(a-2)0,即a-20,a24,解得-2a0恒成立,则x的取值范围为().A.(-,2)(3,+) B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+) D.(1,3)【答案】C【详解】把不等式的左端看成关于a的一次函数,记f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则由f(a)0对于任意的a-1,1恒成立,得f(-1)=x2-5x+60,且f(1)=x2-3x+20成立即可,解不等式组x2-5x+60,x2-3x+20,得x3.12(2023无锡模拟)已知实数a,b满足如下两个条件:(1)关于x的方程3x2-2x-ab=0有两个异号的实
35、根;(2)2a+1b=1.若对于上述的一切实数a,b,不等式a+2bm2+2m恒成立,则实数m的取值范围是().A.(-4,2) B.(-2,4)C.(-,-42,+) D.(-,-24,+)【答案】A【详解】设方程3x2-2x-ab=0的两个异号的实根分别为x1,x2,则x1x2=-ab30.又2a+1b=1,a0,b0,则a+2b=(a+2b)（2a+1b）=4+ab+4ba4+2ab4ba=8(当且仅当a=4,b=2时取“=”),由不等式a+2bm2+2m恒成立,得m2+2m8,解得-4m2.实数m的取值范围是(-4,2).【真题感知】1（2023年全国乙卷（理科）第14题）若x，y满足
36、约束条件，则的最大值为_.【答案】8【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：，移项得，联立有，解得，设，显然平移直线使其经过点，此时截距最小，则最大，代入得，2（2022年全国甲卷（理科）第16题）已知中，点D在边BC上，当取得最小值时，_【详解】设，则在中，在中，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.3（2022年全国乙卷（理科）第9题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）ABCD【详解】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径
37、为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立)所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C4（2022年全国甲卷（理科）第20题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线AB的方程【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（2）设，直线，由可得，由斜率公式可得，直线，代入抛物线方程可得，所以，同理可得，所以又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，若要使最大，则，设，则，当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，设直线，代入抛物线方程可得，所以，所以直线.
