1、专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。模型1.线段的双中点模型 图1 图21）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.2）双中点模型（两线段有公共部分）条件：如图2，已知A、B、C三点共线，D、E分别为AB、BC中点，结论：.例1（2023广东七年级
2、期中）如图，是的中点，是的中点，若，则下列说法中错误的是（）ABCD例2（2022秋江苏泰州七年级校考期末）如图，线段，长度为2的线段在线段上运动，分别取线段、的中点、，则 例3（2022秋湖北咸宁七年级统考期末）如图，点是的中点，点是的中点，现给出下列等式：，其中正确的等式序号是 例4（2022秋江苏淮安七年级统考期末）线段，是的中点，是的中点，是的中点，是的中点，依此类推，线段的长为 例5（2022秋山东青岛七年级校考期末）直线l上有三点A、B、C，其中，M、N分别是、的中点则的长是 例6（2023河南周口七年级统考期末）如图，点C在线段上，点M是的中点，点N是的中点(1)若，求的长；(2
3、)若，求的长；(3)若，求的长例7（2022秋广东广州七年级统考期末）如图，点在线段上，点、分别是、的中点(1)求线段的长；(2)若点在线段的延长线上，且满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由例8（2022春湖南株洲七年级统考期末）材料阅读：当点在线段上，且时，我们称为点在线段上的点值，记作如点是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义初步感知：(1)如图1，点在线段上，若，则_；若，则_；(2)如图2，已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，运动速度均为，当点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为，请用含有的式
4、子表示和，并判断它们的数量关系拓展运用：(3)已知线段，点、分别从点和点同时出发，相向而行，若点、的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点、同时停止运动，设运动时间为则当为何值时，等式成立例9（2022贵州铜仁七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC10厘米，BC6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点（1）求线段MN的长度（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设ACa，BCb，其他条件不变，求MN的长度（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随
5、之停止运动设点P的运动时间为t（s）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t模型2.双角平分线模型 图1 图2 图31）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分AOB、BOC； 结论：.2）双角平分线模型（两个角有公共部分）条件：如图1，已知：OD、OE分别平分AOB、BOC； 结论：.3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知AOB+BOC+AOC=360，OP1平分AOC、OP2平分BOC；结论：.例1（2022秋陕西西安七年级校考期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线若，则的度数为
6、（）ABCD例2（2023秋福建福州七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论： ；其中正确的结论有 （填序号）例3（2023河南七年级校联考期末）如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，则的度数是 例4（2022秋山西太原七年级统考期末）图，AOC=BOD=90，OB在AOC的内部，OC在BOD的内部，OE是AOB的一条三等分线请从A，B两题中任选一题作答A当BOC30时，EOD的度数为 B当BOC时，EOD的度数为 （用含的代数式表示）例5（2023江苏无锡七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；(2)
7、若，是平面内两个角， ，、分别平分、，求的度数（用含、的代数式表示）例6（2022秋河南商丘七年级统考期末）综合与探究：如图1，在的内部画射线，射线把分成两个角，分别为和，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“3等分线”(1)若，射线为的“3等分线”，则的度数为_(2)如图2，已知，过点O在外部作射线若三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求的度数（）例9（2022四川成都市七年级期末）如图所示：点是直线上一点，是直角，平分（1）如图1，若=40，求的度数；（2）如图1，若=，直接写出的度数（用含的代数式表示）；（3）保持题目条件不变，将图1中的按顺时针方
8、向旋转至图2所示的位置，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由课后专项训练1（2023秋福建泉州七年级统考期末）在直线上任取一点A，截取，再截取，则的中点与的中点之间的距离为（）ABC或D或2（2023秋海南七年级统考期末）已知线段，点是直线上一点，若是的中点，是的中点，则线段的长度是（）ABC或D或3（2023秋江西上饶七年级统考期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段的中点，下列结论：若，则；若，则；其中正确的结论是（）ABCD4（2023秋江苏徐州七年级校考期末）如图，点M在线段AN的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、；第二次操作：分别取线段和的中点，；
9、第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作2023次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和（）ABCD5（2023秋广西七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且下列说法正确的是（）甲：当点B与点O重合时，；乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则；丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变A甲、乙B只有乙C只有丙D乙、丙6（2023秋河南驻马店七年级统考期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（）ABCD7（2023秋山西大同
10、七年级统考期末）在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线若，射线为的三等分线，则的度数为（）ABC或D或8（2023秋广西崇左七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，则的度数为（）ABCD9（2023吉林七年级上学期期末数学试题）如图，射线OC、OD把平角AOB三等分，OE平分AOC，OF平分BOD，下列说法正确的是（）A图中只有两个120的角B图中只有DOE是直角C图中AOC的补角有3个D图中AOE的余角有2个10（2023秋重庆开州七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四
11、个结论：在图1的情况下，在内作，则平分；在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；的角度恒为其中正确的结论个数为（）A1个B2个C3个D4个11（2022秋四川巴中七年级统考期末）如图：数轴上点、表示的数分别是，1，且点为线段的中点，点为原点，点在数轴上，点为线段的中点、为数轴上两个动点，点从点向左运动，速度为每秒1个单位长度，点从点向左运动，速度为每秒3个单位长度，、同时运动，运动时间为有下列结论：若点表示的数是3，则；若，则；当时，；当时，点是线段的中点；其中正确的有 （填序号）12（2023秋安徽六安七年级校考期末）如图，已知、是
12、内部的两条射线，平分，平分，若，则的度数为 度；若，则的度数为 度(用含x的代数式表示)13（2023春四川达州七年级校考阶段练习）已知点A、B、C都在直线l上，点C是线段的三等分点，D、E分别为线段中点，直线l上所有线段的长度之和为91，则 14（2023秋福建福州七年级校考期末）已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）15（2023秋湖北武汉七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，P，Q分别是的中点，若，则 16（2023秋福建福州七年级校考期末）已知
13、有理数a，b满足：如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），下列结论：；当点B与点O重合时，；当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变所有结论正确的序号是 17（2023秋福建福州七年级校考期末）已知有理数a，b满足：如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），下列结论：；当点B与点O重合时，；当点C与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则；在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变所有结论正确的
14、序号是 18（2023秋湖南邵阳七年级统考期末）如图，在直线上，线段，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，为的中点，为的中点，设点的运动时间为秒(1)若点在线段上运动，当时， ；(2)若点在射线上运动，当时，求点的运动时间的值；(3)当点在线段的反向延长线上运动时，线段、有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由19（2023秋福建泉州七年级校考期末）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义(1)【理解与应用】如图，点C在线段AB上若，则
15、_；若，则_(2)【拓展与延伸】已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动设运动时间为t（单位：s）小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；t为何值时，20（2023秋河南新乡七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：如图1，点在线段上，分别是，的中点若，求的长(1)根据题意，小明求得_(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究设
16、，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答如图1，分别是，的中点，则_如图2，分别是，的三等分点，即，求的长若，分别是，的等分点，即，则_21（2023春黑龙江哈尔滨七年级校考阶段练习）已知：射线在内部，平分(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，求的度数22（2023秋安徽池州七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；（3）如图2
17、，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由23（2023秋河北邢台七年级校联考期末）已知，平分，平分(1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数24（2023山西吕梁七年级统考期末）综合与探究【背景知识】如图甲，已知线段，线段 在线段上运动，E，F 分别是 ，的中点(1)若 ，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请 求出的长度，如果变化，请说明理由；【类比探究】(3)对于角，也有和线段类似的规律 如图乙，已知在内部转动，分别平分和，若度，度，求2
18、5（2023江苏七年级课时练习）（理解新知）如图，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点 这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图，若，点N是线段CD的“奇妙点”，则 ；（3）（解决问题）如图，已知，动点P从点A出发，以速度沿AB向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿BA向点A匀速移动，点P、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止设移动的时间为 t，请求出 为何值时，A、P、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“奇妙点”26（2022广东茂名七年级期末
19、）已知：AOB60，COD90，OM、ON分别平分AOC、BOD（1）如图1，OC在AOB内部时，AOD+BOC ，BODAOC ；（2）如图2，OC在AOB内部时，求MON的度数；（3）如图3，AOB，COD的边OA、OD在同一直线上，将AOB绕点O以每秒3的速度逆时针旋转直至OB边第一次与OD边重合为止，整个运动过程时间记为t秒若MON5BOC时，求出对应的t值及AOD的度数27（2023江苏七年级专题练习）如图1，射线OC在的内部，图中共有3个角：、，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是的“定分线”（1）一个角的平分线_这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若，且射线PQ是的“定分线”，则_(用含a的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若=48，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90时停止旋转，旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止当PQ是的“定分线”时，求t的值
