1、专题01 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题一、单选题1（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】为偶函数，即函数关于对称，又函数在上单调递增，函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或.故选：B.2（2023全国高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】根据题意，当时，所以在上为增函数，因为是定义在R上的奇函数，所以在R上为增函数，因为，所以，所以，所以不等式可化为，所以，解得或，所以不等式的解集为，故选：C3（2023全国高三专题练习）已知偶函数的定义域为，且当时，则
2、使不等式成立的实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】当时，所以在上单调递增，且，不等式即为.又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，所以，解得.综上可知，实数的取值范围为，故选：A.4（2023全国高三专题练习）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以，又，所以不等式，可化为，即，又因为在上单调递增，所以在R上单调递增，所以，解得.故选：D.5（2023全国高三专题练习）已知函数为偶函数，且当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】当时，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增，又因为函数为上的偶函数，所以函数在上
3、单调递减则不等式，即等价于，解得或故选：D6（2023全国高三专题练习）已知函数，则关于x的不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】因为，所以函数为偶函数，当时，有，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即恒成立，所以函数在区间上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在区间上单调递减，所以关于的不等式可转化为，解得.关于x的不等式的解集为，故选：B.7（2023全国高三专题练习）函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】函数的定义域满足，即定义域为 ，又，故为奇函数，而 在上随x的增大而减小，故在上为单调递减函数，则由不等式可得不等式，故 ，解得 ，故选：D8（2023全国高三专题练习
4、）已知函数，不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】函数的定义域为，且，所以为奇函数，在上递增，则可得在上单调递增，可以变为，即，所以，记，在上是增函数，且，所以的解集为，故选：C9（2023全国高三专题练习）已知函数，则关于x的不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】函数的定义域为，所以函数为奇函数，因为，所以函数在上单调递增，所以，所以，即，解得 所以不等式的解集为故选：A10（2023上海高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】设函数，则函数是定义域为，根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数，所以在上单调递增；又，所以是奇函数
5、，其图象关于原点对称；又，即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以是定义域为的增函数，且其图像关于点对称，即有，即 由得 ，即，即，所以 ，解得 故选：A11（2023全国高三专题练习）已知函数 ，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】设 ，显然定义域为R，是奇函数，时，是增函数，是增函数，是增函数，所以是增函数，又是奇函数，所以时，是增函数，从而在上是增函数，即，不等式的解集为，故选：A12（2023春广东清远高三校考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，当时，且不恒为零，所以，
6、函数在上为增函数，由可得，则，可得，整理可得，解得.故选：D.13（2023春江苏苏州高三统考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【解析】因为函数，令，则，因为，所以函数为奇函数，因为，所以函数在区间上单调递增，不等式可化为，又因为，所以，又因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：C.14（2023春四川成都高三树德中学校考阶段练习）已知函数，则关于t的不等式的解集为（）ABCD【答案】A【解析】，令，所以为奇函数，因为，所以为单调递增函数，由得，即，所以，解得.故选：A.15（2023春河南高三校联考阶段练习）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端
7、，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为设函数，若实数a满足不等式，则a的取值范围为（）ABCD【答案】D【解析】由题意可知：的定义域为，因为，所以函数为奇函数，又因为，且在上为减函数，由复合函数的单调性可知：在上为增函数，因为，所以，所以，解得：或，所以实数的取值范围为，故选：D.16（2023全国高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，且当时，若对任意，均有则实数的最大值是（）ABCD【答案】A【解析】易知，函数在上单调递增，由，得，又，且函数为偶函数，两边平方
8、化简，则在恒成立，令，则，即，解得，综上：的最大值为故选：17（2023春江西九江高三校考阶段练习）函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）ABC0D【答案】A【解析】是定义在上的偶函数，且当时，当时为增函数，则等价于，即，即对任意恒成立，设，则有，解得，又，.故选：A.18（2023春安徽安庆高三宿松县程集中学校考阶段练习）设是定义在上的奇函数,且当时,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是()ABCD【答案】A【解析】 是定义在上的奇函数,且当时, 当,有,即 在上是单调递增函数,且满足不等式在恒成立,恒成立对恒成立 解得:则实数的取值范围是:.故选:
9、A.19（2023浙江模拟预测）已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】令，由于，所以得为奇函数.又因为在上单调递减，所以在上单调递减.已知对于任意的实数，恒有，整理得：，即，由于为奇函数，得，由于在上单调递减，得对于任意的实数恒成立，即对于任意的实数恒成立.当时，不恒成立，故，当时，有，解得.故选：C20（2023全国高三专题练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由题可知且，令，则且定义域为关于原点对称，即为奇函数， 函数与在上均单调递增，与在上单调递增，在上单调递增，即在上也单调递增且，又为奇函数，在上单调递增
10、，不等式等价于，在R上单调递增，解得， 实数a的取值范围是，故选：A.21（2023全国高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是ABCD【答案】C【解析】因为,所以函数为偶函数，又知当时，所以函数在上是增函数，所以原不等式转化为即，所以，解得，故选C.22（2023浙江高三专题练习）函数，则使得成立的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】 且令 得，所以当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；若，则 或 解不等式得或即的解集为 ，故选C二、多选题23（2023全国高三专题练习）已知函数，实数满足不等式，则（）ABCD【答案】AC【解析】因为，所以为奇函数，因为，所以上单调递增，由
11、，得，所以，即，因为在R上是增函数，所以，故A正确；因为在上是增函数，所以，故C正确；因为在R上是增函数，所以，故D错误；令，可验证B错误.故选：AC三、填空题24（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】函数的定义域为，所以，函数为偶函数，当时，为增函数，因为，则，所以，所以，所以，因为，故恒成立，由可得，解得.因此，原不等式的解集为.故答案为：.25（2023全国高三专题练习）若函数为奇函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】因为函数为R上的奇函数，所以，解得，检验可得此时，函数为R上的奇函数，所以，易知为R上的增函数，所以不等式等价于，所以，解得，所以原
12、不等式的解集为.故答案为：.26（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是_.【答案】，【解析】构造函数，那么 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到，的定义域为，且，所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称不等式 等价于，等价于结合单调递增可知，所以不等式的解集是，故答案为：，27（2023全国高三专题练习）已知函数，则关于的不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意可知，定义域为，设，由函数在上的增函数，在为增函数，且，所以关于对称，故在为增函数，且在处连续，在上的增函数，故函数在上递增， ，且在上递增，原不等式等价于则，解得.故答案为：.28（2023春辽宁大连高三
13、校联考期中）已知，若恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】令，则有，为奇函数，图像关于点对称，的图像关于对称，且，由，所以是上的增函数，等价于，所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在在上的最大值当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即故答案为：.29（2023全国高三专题练习）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_【答案】【解析】由，解得：或，故函数的定义域为，又，为上的偶函数；当时，单调递增，设，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；由可知，解得 故答案为：.30（2023春江苏连云港高二校考阶段练习）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围_.【答案】【解析】由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为定义域上的偶函数，所以，即不等式可化为，当时，函数根据初等函数的单调性，可得函数为单调递减函数，所以函数在上单调递增，在区间上单调递减，由，可得，整理得且，即且在上恒成立，设，可得，其中，当时，单调递增；当时，单调递减，所以.设，可得，当时，所以，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.
