1、2016-2017学年河南省驻马店市正阳二中高二（下）开学数学试卷（理科）一.选择题：1数列an的前n项和Sn=3n25n，则a6的值为（）A78B58C50D282不等式2x2x30的解集为（）ABCD3设数列an中，已知a1=1，an=1+（n1），则a3=（）ABCD24在ABC中，a=2，A=30，C=45，则SABC=（）ABCD5若不等式（m1）x2+（m1）x+20的解集是R，则m的范围是（）A1，9）B2，+）C（，1D2，96设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是（）ABC1，6D7在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合x|ax2+bx+c
2、0”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A都真B都假C否命题真D逆否命题真8已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线过圆Q：x2+y24x+6y=0的圆心，则双曲线C的离心率为（）ABCD39下列命题中正确的是（）A若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题B“”是“”的充分不必要条件Cl为直线，为两个不同的平面，若l，则lD命题“xR，2x0”的否定是“x0R，0”10一个空间几何体的正视图，侧视图如图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（）A6cm2B8cm2C10cm2D20cm211如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中
3、，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A+BCD+12方程（x）=0表示的曲线为（）A一条直线和一个圆B一条射线与半圆C一条射线与一段劣弧D一条线段与一段劣弧二.填空题：13在ABC中，C=150，BC=1，则AB=14如果直线L1：y=2x+1与椭圆相交于A、B两点，直线L2与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则L2的方程是15已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=16函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为三.解答题：17已知命题p：“1x5是x2（a+1）x+a0的充分不必要条件”，命题
4、q：“满足AC=6，BC=a，CAB=30的ABC有两个”若pq是真命题，求实数a的取值范围18已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求角A的大小；（）若a=1，求b+c的值19已知双曲线C的方程为：=1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（3，2）的双曲线的方程20直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由21已知动点P与两定
5、点A（2，0），B（2，0）连线的斜率之积为（）求动点P的轨迹C的方程；（）若过点F（，0）的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线l的方程22已知函数f（x）=xlnx（1）求f（x）的极值（2）当且x11x2时，求证：lnx1+lnx24ln（x1+x2）2016-2017学年河南省驻马店市正阳二中高二（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：1数列an的前n项和Sn=3n25n，则a6的值为（）A78B58C50D28【考点】数列递推式【分析】利用an=SnSn1计算可得结论【解答】解：Sn=3n25n，Sn1
6、=3（n1）25（n1），an=SnSn1=（3n25n）3（n1）25（n1）=6n8（n2），又a1=S1=35=2满足上式，an=6n8，a6=668=28，故选：D2不等式2x2x30的解集为（）ABCD【考点】一元二次不等式的解法【分析】将左边因式分解，再利用一元二次不等式的解法规律可求【解答】解：因式分解得：（x+1）（2x3）0，不等式2x2x30的解集为，故答案为 A3设数列an中，已知a1=1，an=1+（n1），则a3=（）ABCD2【考点】数列递推式【分析】由a1=1，an=1+（n1）求出a2，a3即可【解答】解：a1=1，an=1+（n1），a2=1+=1+1=2，a
7、3=1+=1+=；故选C4在ABC中，a=2，A=30，C=45，则SABC=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由正弦定理可得求出c值，利用两角和正弦公式求出sinB的值，由SABC =acsinB 运算结果【解答】解：B=1803045=105，由正弦定理可得：，c=2sinB=sin（60+45）=+=，则ABC的面积SABC =acsinB=22=+1，故选：C5若不等式（m1）x2+（m1）x+20的解集是R，则m的范围是（）A1，9）B2，+）C（，1D2，9【考点】一元二次不等式的解法【分析】若m1=0，即m=1时，满足条件，若m10，即m1，若不等式（m1）x2+（m1）x+2
8、0的解集是R，则对应的函数的图象开口朝上，且与x轴没有交点，进而构造关于m的不等式，进而得到m的取值范围【解答】解：当m1=0，即m=1时，原不等式可化为20恒成立，满足不等式解集为R，当m10，即m1时，若不等式（m1）x2+（m1）x+20的解集是R，则，解得：1m9；故选：A6设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3xy的取值范围是（）ABC1，6D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3xy可得y=3xz，则z为直线y=3xz
9、在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3xz平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），zmax=6故选A7在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合x|ax2+bx+c0”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A都真B都假C否命题真D逆否命题真【考点】四种命题的真假关系【分析】题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题在解答时，首先要判断准原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而可得解答【解答】解：对于原命题“若抛物线y=ax2+bx+c
10、的开口向下，则x|ax2+bx+c0”可知a0，x|ax2+bx+c0”一定成立，故原命题是真命题；又因为逆命题为“x|ax2+bx+c0，则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”当a=1，b=2，c=3时，显然x|ax2+bx+c0=x|1x3，但是抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，所以逆命题不成立是假命题又由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题故选D8已知双曲线C：=1（a0，b0）的一条渐近线过圆Q：x2+y24x+6y=0的圆心，则双曲线C的离心率为（）ABCD3【考点】双曲线的简单
11、性质【分析】求得圆心，代入双曲线的渐近线方程，求得=，由离心率公式e=，即可求得双曲线C的离心率【解答】解：由x2+y24x+6y=0得圆Q的标准方程为（x2）2+（y+3）2=13，圆心为（2，3），半径为，由双曲线的渐近线方程y=x，则=，由双曲线的离心率e=，双曲线C的离心率，故选：A9下列命题中正确的是（）A若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题B“”是“”的充分不必要条件Cl为直线，为两个不同的平面，若l，则lD命题“xR，2x0”的否定是“x0R，0”【考点】命题的真假判断与应用【分析】由复合命题的真假判断判断A；由充分必要条件的判定方法判断B；由l，可得l或l
12、判断C；直接写出全程命题的否定判断D【解答】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为假命题，故A错误；由，不一定有，反之，由，一定得到“”是“”的必要不充分条件，故B错误；l为直线，为两个不同的平面，若l，则l或l，故C错误；命题“xR，2x0”的否定是“x0R，0”，故D正确故选：D10一个空间几何体的正视图，侧视图如图，图中的单位为cm，六边形是正六边形，则这个空间几何体的俯视图的面积是（）A6cm2B8cm2C10cm2D20cm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据已知中已给出的正视图和侧视图，我们可以判断出该几何体的形状为正六棱柱，则其俯视图也为矩形，再根据已知中
13、所标识的数据，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则，我们易求出俯视图的边长，进而求出面积【解答】解：由该几何体的三视图，我们易得这个几何体为正六棱柱，且底面两平行边之间的距离为2，高为5则易得底面的对角线长为4，故其俯视图是一个长为4，宽为5的矩形故其俯视图的面积为45=20故选：D11如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A+BCD+【考点】相等向量与相反向量【分析】由题意可得 =+=+=+ ，化简得到结果【解答】解：由题意可得 =+=+=+=+（）=+（）=+，故选A12方程（x）=0表示的曲线为（）A一条直线和一
14、个圆B一条射线与半圆C一条射线与一段劣弧D一条线段与一段劣弧【考点】曲线与方程【分析】根据（x）=0，可得x=或=0，从而可得结论【解答】解：（x）=0，x=或=0（2y4），x2+（y1）2=9（x0）或x=y（2y4）故选D二.填空题：13在ABC中，C=150，BC=1，则AB=【考点】正弦定理【分析】由A为三角形的内角，根据cosA的值求出sinA的值，再由sinC及a的值，利用正弦定理求出c的值，即为AB的值【解答】解：A为三角形的内角，cosA=，sinA=，sinC=sin150=，BC=a=1，由正弦定理=得：AB=c=故答案为：14如果直线L1：y=2x+1与椭圆相交于A、B
15、两点，直线L2与该椭圆相交于C、D两点，且ABCD是平行四边形，则L2的方程是y=2x1【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】由ABCD是平行四边形可知直线l1l2，再由l1过点（0，1），知l2过点（0，1），由此可导出l2的方程【解答】解：由题意可知，直线l1l2，l2的斜率k=2ABCD是平行四边形，l1过点（0，1），l2过点（0，1），直线l2的方程是y+1=2x，即y=2x1故答案为：y=2x1；15已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|=3【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】设AB的方程为y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简利用根与系数的关
16、系可得x1+x2=1，x1x2=b3，根据AB的中点（，+b） 在直线x+y=0上，求出b值，由|AB|=求得结果【解答】解：由题意可得，可设AB的方程为 y=x+b，代入抛物线y=x2+3化简可得 x2 +x+b3=0，x1+x2=1，x1x2=b3，故AB 的中点为（，+b）根据中点在直线x+y=0上，+（+b）=0，b=1，故 x1x2=2，|AB|=3，故答案为316函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为2xye=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）=xlnx，
17、得f（x）=lnx+1，则f（e）=lne+1=2，又f（e）=e，函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为ye=2（xe），即2xye=0故答案为：2xye=0三.解答题：17已知命题p：“1x5是x2（a+1）x+a0的充分不必要条件”，命题q：“满足AC=6，BC=a，CAB=30的ABC有两个”若pq是真命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】本题的关键是给出命题p：“1x5是x2（a+1）x+a0的充分不必要条件”，命题q：“满足AC=6，BC=a，CAB=30的ABC有两个”为真时a的取值范围，在利用p假q真给出a的取
18、值范围【解答】解：对于命题p：“1x5是x2（a+1）x+a0的充分不必要条件”，1x5是1xa的真子集a5对于命题q：“满足AC=6，BC=a，CAB=30的ABC有两个”3a6若pq是真命题p假q真则，综上，实数a的取值范围：3a518已知ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）求角A的大小；（）若a=1，求b+c的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（）利用正弦定理把已知等式转化成角的正弦的关系式，整理求得tanA的值，进而求得A（）利用向量积的性质求得bc的值，进而利用余弦定理求得b2+c2的值，最后用配方法求得答案【解答】解：（）ABC中，sinAcosB+s
19、inBsinA=sinC，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB+sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB整理得sinA=cosA，即tanA=，A=（）ABACcosA=|=3，bc=3，即bc=2，a2=b2+c22bccosA，即1=b2+c222，b2+c2=1+6=7，b+c=19已知双曲线C的方程为：=1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（3，2）的双曲线的方程【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【分析】（1）利用双曲线的方程的标准形式，求出a、b、c 的值，即得离心率的值（2）根据题意中
20、所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（0）；将点代入方程，可得=1；即可得答案【解答】解：（1）由题意知a2=9，b2=16，所以c2=a2+b2=25，则a=3，c=5，所以该双曲线的离心率e=（2）根据题意，则可设双曲线的标准方程为=，（0）；又因为双曲线经过点A（3，2）代入方程可得，=；故这条双曲线的方程为=120直三棱柱ABCA1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为？若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由【
21、考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（1）先证明ABAC，然后以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则能写出各点坐标，由与共线可得D（，0，1），所以=0，即DFAE； （2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2，2（1），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos，|=，解出的值即可【解答】（1）证明：AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1AE=A，AB面A1ACC1，又AC面A1ACC1，ABAC，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），
22、设D（x，y，z），且0，1，即（x，y，z1）=（1，0，0），则 D（，0，1），所以=（，1），=（0，1，），=0，所以DFAE； （2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面DEF的法向量为=（x，y，z），则，=（，），=（，1），即，令z=2（1），则=（3，1+2，2（1）由题可知面ABC的法向量=（0，0，1），平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，|cos，|=，即=，解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求21已知动点P与两定点A（2，0），B（2，0）连线的斜率之积为（）求动点P的轨迹C的方程；（）若过点F（，0）
23、的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线l的方程【考点】轨迹方程【分析】（）设出P的坐标，由化简整理可得曲线C的方程；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x=my，代入椭圆方程整理得（m2+4）y2my1=0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为，则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程【解答】解：（）设P（x，y），由，得，整理得：曲线C的方程为；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知l的斜率一定不为0，故不妨
24、设l：x=my，代入椭圆方程整理得（m2+4）y2my1=0，=12m2+4m2+16=16m2+160，则，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为，则点E的坐标为（x1+x2，y1+y2）由点E在椭圆上，即，整理得又M，N在椭圆上，即，故x1x2+4y1y2=2，又=，将代入上式解得m=即直线l的方程是：x=y+1，即22已知函数f（x）=xlnx（1）求f（x）的极值（2）当且x11x2时，求证：lnx1+lnx24ln（x1+x2）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）得到，根据ln（x1+x2）0，证明即可【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+）因为f（x）=lnx+1，令f（x）=0，即x=，当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0，所以f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+），故当时，f（x）取得极小值；证明：（2）依题意，f（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）f（x1）=x1lnx1，所以，同理，两式相加得，因为0x1+x21，所以ln（x1+x2）0，而，故lnx1+lnx24ln（x1+x2）2017年4月12日
