1、 高三一轮（理） 3.1 任意角,弧度制及任意角的三角函数【教学目标】 1.了解任意角的概念； 2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化； 3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。【重点难点】 1.教学重点：任意角,弧度制和任意角三角函数的概念； 2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图考纲再现: 考试内容 要求层次了解 理解 掌握任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切北 京 近 五 年
2、 主 要 考 查1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 从近五年高考情况来看，本课时在高考中一般不直接考查， 常与三角恒等变形进行综合考查，但本讲是学习后边内容的基础，是学好三角函数必须要掌握的基本内容.真题再现1. 【2015福建高考】若 ， 且 为第四象限角，则 的值等于（ ） 2.【2014课标卷】如图所示，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则yf(x)在0，的图象大致为()解析:以O为坐
3、标原点，射线OA为x轴的正方向，坐系则P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，故M到直OP的距离为f(x)|sinxcosx|sin2x|，x0，故选B.。学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢环节二：知识梳理：知识点1角的有关概念1从运动的角度看，可分为正角、_和_2从终边位置来看，可分为_和轴线角3若与角的终边相同，则用表示为2k(kZ)知识点2弧度的定义和公式1定义:长度等于_的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2.换算关系与相关公式角的弧度数公式|(
4、弧长用l表示)角度与弧度的换算1rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r2知识点3任意角的三角函数1).任意角的三角函数定义：任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin ，cos ，tan (x0).2）.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.名师点睛：1必会结论(1)象限角与轴线角象限角：轴线角：(2)任意角三角函数的定义设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan .2必清误区(1)第一象限角、锐角、小于90的角是三个不
5、同的概念，前者是象限角，后两者是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用考点分项突破考点一： 角的概念及其集合表示1终边在直线yx上的角的集合是_【解析】在(0，)内终边在直线yx上的角为，终边在直线yx上的角的集合为2若角的终边与角的终边相同，则在0,2内终边与角的终边相同的角的个数为_【解析】2k(kZ)，(kZ)，依题意02，k，k0,1,2，即在0,2内与终边相同的角为，共三个跟踪训练1：1设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限角 B第二象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析由在第三象限，所以2k2k(kZ
6、)，所以kk(kZ)cos0，故B 2.已知角的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角的集合为_2.解析:在0360范围内，终边落在阴影内的角为90135或270315.所以终边落在阴影所表示的范围内的角的集合为|90k360135k360，kZ|270k360315k360，kZ|902k1801352k180，kZ|90(2k1)180135(2k1)180，kZ|90n180135n180，nZ归纳：1终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线(2)按逆时针方向写出0,2内的角(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合(4)求并集化简集合2确定k
7、，(kN*)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出k或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在位置考点二: 扇形的弧长、面积公式 (1)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_(2)已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l，若100，r2，求扇形的面积；若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心【解析】(1)设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.角的弧度数 (2)Slrr24，由题意知l2r20，即l202r，Slr(202r)r(r5)225，当r5时，S的最大值为25.当r5时，l2025
8、10，2(rad)即扇形的面积最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.跟踪训练2：1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是() A2 Bsin2 Bsin2 C. D2sin1解析设圆的半径为r，则r，所以由公式l|r，故选C.2已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为_ cm和圆心角为_弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是_ cm2.解析设此扇形的半径为r，弧长为l，则l2r4，l42r，S扇形lr(42r)r(r1)21，当r1时，(S扇形)max1，此时2. 归纳：弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略1明确弧度制下弧长公式lr，扇形的面积公式是Slrr2
9、(其中l是扇形的弧长，是扇形的圆心角)2求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量考点三：三角函数的定义 命题角度1利用三角函数的定义求三角函数值1已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()A. B. C D【解析】因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .2若角的终边经过点P(，m)(m0)且sin m，则cos 的值为_【解析】由题意知r，sin m，m0，m，r2，cos .命题角度2利用三角函数的定义求点的坐标3点P从(0,1)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为_【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x
10、cos ，ysin ，Q.4已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为_【解析】设P点坐标为(x，y)，由题意知xcos，ysin，P点坐标为(1,1)命题角度3利用三角函数线解三角不等式5.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：sin解析：作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ跟踪训练3：1. 设90180，角的终边上一点为P(x，)，且cosx，求sin与tan的值；解析： r，cos，从而x，解得x0或x.90180，x
11、0，因此x.故r2，sin，tan.2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos_.解析：由题意可得，点A的横坐标为，由三角函数的定义得cos.3. 如果点P(sincos，2cos)位于第三象限，那么角所在的象限是()A 第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：3. 因为点P(sincos，2cos)位于第三象限，所以sincos0,2cos0，即所以为第二象限角，选B.4.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的解：作直线x交单位圆于C、D两点，连结OC,OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围故满足条
12、件的角的集合|2k2k，kZ集合：cos.归纳：三角函数定义的应用方法1已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解2已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值3已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标4. 单位圆及三角函数线,体现了数形结合的数学思想方法引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知
13、结构。通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。.通过跟踪训练，来锻炼学生独立解决问题的能力，到底知识和能力的内化。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。环节三：课堂小结：1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终
14、边与单位圆的交点.|OP|r一定是正值.2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.4.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.5.角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.6.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.学生回顾，总结.引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。环节四：课后作业：学生版练与测学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。
