1、2015-2016学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A（1，0，3）B（1，0，3）C（3，4，3）D（1，0，3）2抛物线y2=4x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cx=1Dx=13椭圆+=1的离心率是（）ABCD4命题“存在x0R，20”的否定是（）A不存在x0R，20B存在x0R，20C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x05如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A +BCD+6命题p：
2、“不等式的解集为x|x0或x1”；命题q：“不等式x24的解集为x|x2”，则（）Ap真q假Bp假q真C命题“p且q”为真D命题“p或q”为假7已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线8设abc0，“ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件9已知双曲线的两个焦点为F1（，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A=1B=1Cy2=1Dx2=110如图，正三棱
3、柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）ABCD11已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|PB|=3，则|PA|的最小值是（）ABCD512椭圆：（ab0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足MF1F2=2MF2F1，则离心率是（）ABCD二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于14已知平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60，则AC1的长为15给出下列命题：直线l的方向向量为=（1，1
4、，2），直线m的方向向量=（2，1，），则l与m垂直；直线l的方向向量=（0，1，1），平面的法向量=（1，1，1），则l；平面、的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则；平面经过三点A（1，0，1），B（0，1，0），C（1，2，0），向量=（1，u，t）是平面的法向量，则u+t=1其中真命题的是（把你认为正确命题的序号都填上）16过抛物线x2=2py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部若pq为假命题，q也为假
5、命题，求实数a的取值范围18命题：若点O和点F（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为3+2，+）判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小20如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线21如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（）求异面直线NE与AM所成角的
6、余弦值；（）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由22已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值2015-2016学年山西省运城市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A（1，0，3）B（1，0，3）C（3，4，3）D（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示【专题】对应思想
7、；定义法；空间向量及应用【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），=（21，22，03）=（1，0，3）故选：A【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题2抛物线y2=4x的准线方程为（）Ax=2Bx=2Cx=1Dx=1【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，可求抛物线的准线方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，抛物线的准线方程是x=1故选D【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题3椭圆+=1
8、的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率【解答】解：椭圆+=1中a=3，b=2，c=，e=，故选：C【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题4命题“存在x0R，20”的否定是（）A不存在x0R，20B存在x0R，20C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x0【考点】特称命题；命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0R，2
9、0”的否定是“对任意的xR，都有2x0”故选：D【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题5如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）A +BCD+【考点】相等向量与相反向量【分析】由题意可得=+=+=+ ，化简得到结果【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（）=+（）=+，故选A【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题6命题p：“不等式的解集为x|x0或x1”；命题q：“不等式x24的解集为x|x2”，则（）Ap真q假Bp假q
10、真C命题“p且q”为真D命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假【专题】计算题【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的【解答】解：x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x24的解集为x|x2或x2”，故命题q错误A，B，C不对，D正确应选D【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假7已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N若=，其中为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义
11、、性质与方程【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（a，0）、B（a，0）；因为=，所以y2=（x+a）（ax），即x2+y2=a2，当=1时，轨迹是圆当0且1时，是椭圆的轨迹方程；当0时，是双曲线的轨迹方程当=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程故选D【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力8设abc0，“ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A充分非必要条件B
12、必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义【分析】要判断：“ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc0的情况下，先判断，“ac0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc0，ac0；反之，当abc0，ac0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc0，ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件故选B【点评】判断充要条件的方法是：若p
13、q为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系9已知双曲线的两个焦点为F1（，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A=1B=1Cy2=1Dx2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a
14、，进而求得b，则问题解决【解答】解：设双曲线的方程为=1由题意得|PF1|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20又|PF1|PF2|=2，4a2=2022=16a2=4，b2=54=1所以双曲线的方程为y2=1故选C【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力10如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可【解答】解：由题意可知底面
15、三角形是正三角形，过A作ADBC于D，连接DC1，则AC1D为所求，sinAC1D=故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键11已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|PB|=3，则|PA|的最小值是（）ABCD5【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】由|AB|=4，|PA|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离【解答】解：因为|AB|=4，|PA|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=故选C【点评】本题考查双曲线的基本性质
16、，解题时要注意公式的灵活运用12椭圆：（ab0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足MF1F2=2MF2F1，则离心率是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（c，0），且倾斜角为60，从而知MF2F1=30，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率【解答】解：椭圆的方程为+=1（ab0），作图如右图：椭圆的焦距为2c，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，倾斜角MF1F2=60，又MF1F2=2MF2F1，MF2F
17、1=30，F1MF2=90设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，2a=（+1）c，该椭圆的离心率e=1故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（c，0）是关键，属于中档题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆
18、定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=5故答案为：5【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化属基础题14已知平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60，则AC1的长为【考点】棱柱的结构特征【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长【解答】解：平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BAD=BAA1=DAA1=60，=，2=（）2=+2|cos60+2|
19、cos60+2cos60=1+1+1+=6，AC1的长为|=故答案为：【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用15给出下列命题：直线l的方向向量为=（1，1，2），直线m的方向向量=（2，1，），则l与m垂直；直线l的方向向量=（0，1，1），平面的法向量=（1，1，1），则l；平面、的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则；平面经过三点A（1，0，1），B（0，1，0），C（1，2，0），向量=（1，u，t）是平面的法向量，则u+t=1其中真命题的是（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用【
20、分析】根据直线l、m的方向向量与垂直，得出lm；根据直线l的方向向量与平面的法向量垂直，不能判断l；根据平面、的法向量与不共线，不能得出；求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出u+t的值【解答】解：对于，=（1，1，2），=（2，1，），=1211+2（）=0，直线l与m垂直，正确；对于，=（0，1，1），=（1，1，1），=01+1（1）+（1）（1）=0，l或l，错误；对于，=（0，1，3），=（1，0，2），与不共线，不成立，错误；对于，点A（1，0，1），B（0，1，0），C（1，2，0），=（1，1，1），=（1，1，0），向量=（1，u，t）是平面的法向量，即；则
21、u+t=1，正确综上，以上真命题的序号是故答案为：【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目16过抛物线x2=2py（p0）的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在y轴左侧），则=3【考点】抛物线的简单性质【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作AA1x轴，BB1x轴则可知AA1OFBB1，根据比例线段的性质可知=，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得xA+xB和xAxB的表达式，进而可求得xAxB=（）2，整理后两边同除以xA2得
22、关于的一元二次方程，求得的值，进而求得【解答】解：如图，作AA1x轴，BB1x轴则AA1OFBB1，=，又已知xA0，xB0，=，直线AB方程为y=xtan30+即y=x+，与x2=2py联立得x2pxp2=0xA+xB=p，xAxB=p2，xAxB=p2=（）2=（xA2+xB2+2xAxB）3xA2+3xB2+10xAxB=0两边同除以xA2（xA20）得3（）2+10+3=0=3或又xA+xB=p0，xAxB，1，=3故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识考查了学生综合分析问题和解决问题的能力三、解答题（本大题共6小题，共70分）17已知命题
23、P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部若pq为假命题，q也为假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义【专题】计算题；综合题【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a1或a3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为1a3，根据pq为假命题，q也为假命题，最后取交集即可【解答】解：方程表示双曲线，（3+a）（a1）0，解得：a1或a3，即命题P：a1或a3；点（2，a）在圆x2+（y1）2=8的内部，4+（a1）28的内部，解得：1a3，即命题q：1a3，由pq为假命题，q也为假命题，实数a的取值范围是1a1【点评
24、】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法考查了学生分析问题和解决问题的能力属中档题18命题：若点O和点F（2，0）分别是双曲线y2=1（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为3+2，+）判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由【考点】双曲线的简单性质【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明的取值范围为3+2，+）【解答】解：此命题为真命题证明如下：F（2，0）是已知双曲线的左焦点，a2+1=4，解得a2=3，双曲线方程为，设点P（
25、x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），=（x0+2，y0），=（x0，y0），=x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，当时，取得最小值=3+2，的取值范围为3+2，+）【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题【专题】计算题；向量法【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为，显然为锐角，设2个法向量的夹角，利用2个向量的数量积可求cos，则由
26、cos=|cos|求出二面角的大小【解答】解：如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，BMAC，BMCC1BM平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）=（2，2，2），=（2，0，0），令z=1，解得x=0，y=1n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos=|cos|=，解得：=二面角B1A1CC1的大小为【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为，2个平面法向
27、量的夹角，则和 相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反20如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【考点】轨迹方程；抛物线的应用【专题】计算题【分析】由OAOB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OMAB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB由OAAB，得依点A在AB上，得直线AB方程由OMAB，得直线OM方程
28、设点M（x，y），则x，y满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式，可得（）+=x2+，整理得由、两式得由式知，yAyB=16p2x2+y24px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能21如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（）在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由【考
29、点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【专题】空间位置关系与距离【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，求得=（0，1，1），可设=（0，）由ES平面AMN可得，解得 的值，可得的坐标以及|的值，从而得出结论【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系则有题意可得 D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）=（，0，1），=（1，0，1），
30、cos=，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN， =（0，1，1），可设=（0，）又=（，1，0），=+=（，1，），由ES平面AMN可得，即，解得=此时， =（0，），|=，故当|= 时，ES平面AMN【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题22已知，椭圆C过点A，两个焦点为（1，0），（1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值【考点】椭圆的应
31、用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】（）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程（）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解【解答】解：（）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为（）设直线AE方程为：，代入得设E（xE，yE），F（xF，yF），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，所以，又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错
